Matematizando: tabuleiro de xadrez

O xadrez é disputado sobre um tabuleiro dividido em 64 casas de cores alternadas. Não importando efetivamente as cores das casas, as de coloração mais claras são denominadas "brancas" e as de coloração mais escuras "pretas". 

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O objetivo do jogo de xadrez é dar xeque-mate ao Rei adversário, ou seja, colocando-o sob ameaça de captura (xeque), sem que ele tenha como escapar desse xeque. Para isto, cada jogador dispõe de 16 peças, sendo: 1 Rei; 1 Dama; 2 Bispos; 2 Cavalos; 2 Torres; 8 Peões.

• Torre: se movimenta nas direções ortogonais, isto é, pelas linhas (horizontais) e colunas (verticais), não podendo se mover pelas diagonais. Ela pode mover quantas casas desejar pelas colunas e linhas, porém, apenas em um sentido em cada jogada.
• Bispo: se movimenta nas direções diagonais, ou seja, na direção das casas da mesma cor. Ele pode mover quantas casas desejar pelas diagonais, porém, apenas em um sentido (cada jogada).
• Dama ou Rainha: se movimenta quantas casas quiser ou puder, na diagonal, vertical ou horizontal, porém, apenas em um sentido em cada jogada, a dama anda com os movimentos de todas as outras peças (exceto o cavalo), andando quantas casas quiser.
• Rei: pode se mover em todas as direções somente uma casa de cada vez, desde que o movimento não seja para uma casa ameaçada por uma peça adversária. O rei também pode capturar qualquer peça adversária (exceto o outro Rei), desde que a mesma não tenha outra peça defendendo-a. 
• Cavalo: se movimenta em "forma de L", ou seja, anda duas casas na horizontal ou vertical e depois uma casa na vertical ou horizontal, ou vice-versa. O cavalo pode saltar sobre qualquer peça sua ou do adversário. A captura ocorre quando uma peça adversária se encontra na casa final do movimento realizado pelo cavalo.
• Peão: move-se em coluna (vertical) somente para a frente e uma casa, nunca para trás. Quando um peão alcança a última fileira do tabuleiro (fileira 8 para as brancas ou 1 para as pretas) ele é promovido, tornando-se uma Torre, Bispo, Cavalo ou Dama, conforme o desejo do jogador.

Matematizando

1. De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num tabuleiro de xadrez (i. e. um tabuleiro 8 x 8)? 

Solução

O tabuleiro possui 32 quadrados brancos e 32 quadrados pretos. Para se escolher um quadrado preto existem 32 possibilidades e para a escolha de um quadrado branco temos, também, 32 possibilidades. Logo, temos 32 x 32 = 1024 maneiras distintas de se escolher um quadrado preto e um quadrado branco.

2. De quantas maneiras distintas podemos colocar num tabuleiro de xadrez um rei branco e um preto de modo que um não ataque o outro? 

Solução

O rei branco pode ser colocado em um dos 64 quadrados do tabuleiro. Contudo, o número de quadrados que ele ataca depende da posição em que ele se encontra. Portanto, dividimos o problema em três casos: 

Caso I. O rei branco encontra-se em um dos quatro cantos do tabuleiro. Nessa posição, ele ataca 4 quadrados, incluindo o que ele se encontra. Logo restam 60 quadrados para colocar o rei preto. 

Caso II. O rei branco ocupa um quadrado do bordo, mas não um dos cantos (existem 24 quadrados desse tipo). Nessa posição, ele pode atacar 6 quadrados, restando 58 quadrados para colocar o rei preto. 

Caso III. O rei branco ocupa qualquer quadrado que não esteja no bordo do tabuleiro (existem 36 quadrados desse tipo). Nessa posição, ele ataca 9 quadrados, restando 55 quadrados para colocar o rei preto. Finalmente, temos 4 x 60 + 24 x 58 + 36 x 55 = 3612 maneiras distintas de colocar num tabuleiro de xadrez um rei branco e um preto de modo que um não ataque o outro.

3. De quantas maneiras diferentes podemos colocar os 4 cavalos de um jogo de xadrez (2 brancos iguais e 2 pretos iguais) no tabuleiro do mesmo jogo (64 casas)?

Solução

Como existem 2 cavalos de cada cor, precisamos escolher 2 casas entre as 64 disponíveis para colocar, por exemplo, os cavalos brancos. Isso pode ser feito de C64, 2 modos. Uma vez colocados os brancos, devemos escolher 2 casas entre as 62 restantes, a fim de colocar os cavalos pretos. Isso pode ser feito de C62, 2  maneiras. Assim, o resultado procurado é:

C64, 2 × C62, 2 = 2016 ×  1891 =3812256

Referência:

FREIRE, Benedito Tadeu V.. Notas de aula: análise combinatória. UFRN: 2001.<https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA220/n02.pdf>. Acesso em 07 mar. 2021.

HAZZAN, Samuel e IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, binômio e probabilidade. Volume 5. 8ª Ed. São Paulo: Editora Atual, 2013.