O Campo de futebol e a Matemática

O campo e suas medidas oficiais

Se observamos o campo de futebol podemos identificar nele várias figuras geométricas, vários ângulos, segmentos de retas, pontos, circunferências, raio, diâmetro, perímetro, áreas, diagonais, arco, podemos trabalhar com medidas e suas transformações, ou seja, metros e centímetros.

Você já calculou o perímetro de um campo de futebol, suas áreas, área do gol, a área do círculo central, seu diâmetro, a diagonal do campo, são alguns tópicos que iremos mostrar baseado nas figuras abaixo:

Segundo Silva (2004):

Um campo de futebol tem 110 m de comprimento e 75 m de largura, qual o seu perímetro, ou seja, a medida do contorno do campo?

Perímetro = 2 x ( b + h ) , onde,  b = comprimento e h = largura

P = 110 m + 110 m + 75 m + 75 m = 2 x ( 110 m + 75 m ) 
P = 2 x ( 185 m )
P = 370 m

Portanto, o perímetro é de 370 m.

Já sabemos que as dimensões do campo de futebol são 110 m x 75 m, vamos calcular agora sua área:

Área = Base x Altura ( A = b.h ), onde, b = comprimento e h = largura

Medidas do campo = 110 m x 75 m
Ado campo = 110 m x 75 m
Ado campo = 8.250 m²

Portanto, o campo de futebol possui 8.250 m².

Sabendo que a área total do campo é 8.250 m², e nessa área estão 22 jogadores, vamos calcular a área equivalente a cada um desses 22 jogadores.

Assim, temos que:

Campo = 8.250 m²

Números de jogadores = 22

Ade cada jogador = 8.250 m² / 22 

Ade cada jogador = 375 m²

Portanto, cada jogador pode ocupar uma área de 375 m².

Agora iremos calcular a área que o goleiro tem que defender e o atacante tem para acertar e fazer o gol. As medidas das traves são 7,32 m de largura e 2,44 m de altura, conhecendo essas medidas podemos calcular a área que o goleiro tem que defender.

Área = b x h, onde,  b = comprimento e h = largura

Ado gol = 7,32 m x 2,44 m
Ado gol = 17,86 m²

Portanto, a área entre as traves é de 17,86 m², ou seja, o goleiro tem que defender uma área mais de 17 metros quadrados. 

Como estamos calculando várias áreas, podemos calcular também a área da grande área onde o goleiro pode trabalhar com a mão. A grande área tem 16,5 m de comprimento e 40,3 m de largura, com esses dados podemos calcular a área que o goleiro tem para trabalhar com as mãos.

Ada grande área  = b x h, onde, b = comprimento e h = largura

 

Ada grande área  = 16,5 m x 40,3m
Ada grande área  = 664,95 m²

Agora iremos calcular a área do círculo central. O diâmetro do círculo central é de 18,30 m, atribuindo a π ( pi ) o valor de 3,14 calcule a área do círculo central:

Área do círculo central = π x r², onde, π = pi = 3,14 e r = raio

E sabemos que:

Diâmetro = 18,30 m  

π = 3,14

Assim,

r = Diâmetro / 2 π

r = 18,30 / 2 π

r = 9,15 m

Logo,

 Ado círculo central  =  3,14 x ( 9,15 m )² 
 Ado círculo central  = 3,14 x 83,72 m²  Ado círculo central  = 262,88 m²

Portanto, o círculo central possui então uma área de 262,88 m². 

Referência:

BOAS, R. A. V., A Geometria do futebol: Um facilitador no ensino aprendizagem. 2008. 43 f. Monografia (Graduação em Matemática) * Centro Universitário de Lavras - UNILAVRAS, Lavras, 2008.

Montagem: Matheusmáthica

Teorema da Curva de Jordan e o campo de futebol

Um campo de futebol diferente

No futebol a regra é clara: a bola está fora de campo quando ultrapassa completamente as linhas que o delimitam, sejam de lateral ou de fundo. Do contrário, está dentro. Mas não há nada simples que não possa ser feito complicado, e saber se uma bola está dentro ou fora de campo pode se tornar um tanto mais difícil se, por exemplo, o campo fosse demarcado como na figura ao lado, onde a limitação do campo está de cor preta.

Pra você a bola "ponto A" está dentro ou fora de campo? 

Haveria muito mais espaço para discutir no dia seguinte se era mesmo escanteio ou se o gol era realmente válido. Impedimento, então…

Não é necessário um esforço muito grande para descobrir, graças a Marie Ennemond Camille Jordan, apesar de ter nome de mulher, ele foi um grande matemático que ficou reconheido pelo teorema que leva o seu nome, ou seja,  Teorema da Curva de Jordan. 

A maneira de se enunciar tal teorema, bem como a sua demonstração, pode variar dependendo do contexto em que será empregado e da necessidade de cada autor que irá utilizá-lo. De modo geral, e bem resumidamente, a idéia central do teorema na topologia é:

“Uma curva de Jordan separa o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada, sendo o traço da curva a fronteira comum das duas regiões.”

Uma  “Curva” pode ser entendida da maneira comum, embora em matemática uma reta também seja uma curva. Ela será “fechada” se seu início coincidir com seu fim, como em um círculo, e “simples” se não cruzar a si mesma. Essas curvas fechadas simples são também chamadas de curvas de Jordan. 

Apesar de parecer um teorema fácil de ser formaliado e demonstrado, Camille Jordan, foi o primeiro a declarar em 1887 e fornecer uma demonstração, posteriormente se descobriu que sua prova estava errada, consequentemente quase vinte anos depois que se chegou a uma demonstração rigorosamente correta.

Assim, uma forma simples de descobrir se um ponto está dentro ou fora de uma curva fechada: basta traçar uma reta que vá do ponto até o exterior e contar quantas vezes ela corta a curva.

• Se nesse caminho a semi-reta cruzar a curva um número ímpar de vezes, então o ponto está dentro da curva. 
• Se for um número par, está fora.

Intuitivamente é fácil entender isto. Se a bola está dentro de campo, para sair basta cruzar a demarcação uma vez. O número 1 é ímpar. A bola pode até voltar para dentro de campo depois disso, cruzando novamente a linha, mas para sair terá então que cruzá-la ainda outra vez. O que está dentro de campo deve sempre cruzar sua fronteira um número ímpar de vezes para acabar fora. Geralmente, e em um jogo de futebol com um campo decente, este número é 1.

Caso a bola já esteja fora de campo, para voltar ao jogo e tornar a sair, ela terá que cruzar as delimitações um número par de vezes. Pode entrar mais uma vez, mas para tornar a sair, completará um outro par. E assim por diante. O que está fora de campo sempre cruzará a linha um número par de vezes para voltar a ficar de fora.

Traçado retas ou curvas

Sabendo disto agora é fácil descobrir se a bola "ponto A" está dentro ou fora do campo apresentado. Note que foram traçadas quatro curvas, mas apenas uma seria necessária. De acordo com a figura ao lado temos os seguintes cruzamentos: AB=5, AC=9, AD=3 e AE=1. Assim, todas acabam cortando a curva um número ímpar de vezes para ir da bola que está no ponto A a um ponto exterior. Portanto a bola está dentro do campo.

Você pode ter notado os quadrados azuis nas semi-retas AD e AE. São pontos onde as retas tocaram a curva tangencialmente,ou seja, tais pontos não contam como cruzamentos. A regra é clara: a bola precisa ultrapassar completamente a marcação!

Salientamos que não é necessário que seja uma semi-reta ligando o ponto ao exterior. Você pode traçar uma reta não tão reta assim, ou mesmo uma curva tortuosa em seu caminho até a liberdade (ou o gol, ou o escanteio). Assim, toda curva que você poder traçar com um lápis e contar quantos cruzamentos faz até o exterior deve funcionar.

Referência:

Site: Sedentário
Site: Wikepédia

O Campo de futebol e a matemática

Se observamos o campo de futebol podemos identificar nele várias figuras geométricas, dessa forma, podemos utilizar um campo de futebol para exemplificar o que é: Ponto, reta e plano, uma vez que, não são definidos e temos a idéia intuitiva do que eles são.

Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino.

 

Ex.: O centro do campo represente o ponto: P. 

Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula  do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta.

 

Ex.: A linha que divide cada metade do campo representa a reta: r.

Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa (a), beta (b) e gama (g).

Ex.: O piso do campo representa o plano: a. 

BOLA DE FUTEBOL TEM A VER COM MATEMÁTICA?

ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL

Você já reparou no formato de uma bola de futebo?
E já observou as figuras que ela contém?
A bola de futebol pode ser vista como modelo de um Sólido Geométrico.
É aí que entra a Matemática!
Sólidos geométricos são estudados em Geometria e também estão presentes em várias outras áreas... 

ONDE TUDO COMEÇOU:

  

Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes. O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro.  

Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja a lado o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro:  

No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais. Se as arestas laterais de cada pirâmide retirada tem comprimento igual a 1/3 da aresta do icosaedro, resulta que cada face triangular do icosaedro original se transforma em uma face hexagonal regular do icosaedro truncado. Como o icosaedro original tem 20 faces triangulares, o icosaedro truncado fica com 20 faces hexagonais. Observe que nessa estrutura os vértices têm incidência de apenas 3 arestas. Isto influi na confecção da bola de futebol, facilitando a costura dos gomos.

Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas (lados costurados) e vértices (onde costuras distintas devem ser juntadas) do icosaedro truncado. O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer (como é o caso de nosso icosaedro truncado) através da fórmula

V - A + F = 2

Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.

"ELEMENTOS" DA BOLA DE FUTEBOL

Em nossa bola de futebol existem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Então F = 12 + 20. Segue do Teorema de Euler que V- A + 32 = 2, ou seja, V-A+30=0.

Observe que cada aresta é aresta de exatamente duas faces. Então, contando-se as arestas de todas as faces e somando, tem-se:

2A = 5F5 + 6F6 = 5x12+ 6x20 = 180, onde Fn é o número de faces de n arestas. Temos A = 90. Como V-A+30=0, segue que V = 60.

Portanto as bolas de futebol são poliedros Arquimedianos (inflados), que são formadas por 12 pentágonos (polígonos pretos na figura), 20 hexágonos (polígonos brancos na figura), 90 arestas e 60 verteices.

A Matemática que existe no futebol

A Matemática está presente no futebol, por exemplo, na elaboração das tabelas dos jogos, na geometria do campo, nas diversas estatísticas, que permitem avaliar o desempenho de cada time como também de cada jogador e pricinpalmente na bola. 

 

 

 

É notável que jogadores, sem perceber, fazem cálculos mentais para estimar a distância em que está o companheiro e a força que precisa ter o chute para a bola alcançá-lo, além disso, usam constantemente os dribles para buscar o melhor ângulos para chutar a bola.

Os técnicos, por sua vez, definem táticas em que estabelecem áreas no gramado para cada jogador do time ataque  ou defender. Enfim, há inúmeras possibilidades de aproveitamento dos jogos de futebol para entender a matemática.