Problemas de US$ 1 milhão

Conhecido pela capacidade de falar de matemática de forma divertida, britânico lança obra recheada de enigmas até hoje indecifráveis e que valem um bom dinheiro

texto André Julião

Marcus du Sautoy entendeu ainda cedo que a matemática não deveria ficar restrita aos cálculos, fórmulas e equações. Para ele, quase tudo pode ser explicado em termos matemáticos, e o que não pode é um mistério empolgante que um dia ainda será resolvido. Esses enigmas ainda não solucionados são o mote de seu livro Os mistérios dos números – uma viagem pelos grandes enigmas da matemática (que até hoje ninguém foi capaz de resolver), lançado no Brasil pela Zahar. Mais do que um pesquisador na área, Sautoy tem se notabilizado como divulgador da disciplina. Ele escreve em revistas de divulgação científica e jornais e é figurinha fácil em programas de rádio e TV na Grã-Bretanha. Seu talento para explicar matemática às massa rendeu-lhe a Cátedra Simonyi para a Compreensão Pública da Ciência da Universidade de Oxford, onde Sautoy é professor. A cátedra foi criada em 1995, financiada pelo húngaro-americano Charles Simonyi, antigo programador da Xerox e da Microsoft famoso por ser o primeiro homem a ir duas vezes ao espaço como turista espacial. Sua intenção era de que o premiado fizesse importantes contribuições para a compreensão pública de algum campo científico. Seu primeiro titular deveria ser o evolucionista Richard Dawkins. Sautoy sucedeu Dawkins em 2008, com a aposentadoria do polêmico cientista militante do ateísmo. 

Em Os mistérios dos números, Sautoy apresenta de forma divertida conceitos que podemos até ter visto na escola, mas cuja apresentação provavelmente não foi tão intrigante como a que ele faz. “O sistema educacional opta por privilegiar o lado utilitário e funcional da matemática e não as belas e excitantes ideias. É como aprender escalas e arpejos num instrumento musical e nunca ouvir música de verdade”, disse o autor por e-mail à Unesp Ciência, da beira da piscina, enquanto aproveitava um feriado na Inglaterra. “Este livro é meu manifesto para o que deveria ser ensinado nas escolas”, completa o professor. 

No primeiro capítulo, por exemplo, em que se dedica a mostrar os enigmas que cercam os números primos, Sautoy usa o exemplo de uma espécie de cigarra que aparece nas florestas dos Estados Unidos e no Canadá a cada 17 anos (um número primo, ou seja, divisível apenas por um e si mesmo). O inseto, da espécie Magicicada septendecim, passa todo esse tempo debaixo da terra, sugando as raízes das árvores para se alimentar. Em um dia de maio do 17º ano de seu ciclo de vida, as cigarras saem da toca e começam a cantar umas para as outras. O barulho é tão grande que muitas pessoas se mudam da região nessa época. Depois de fertilizadas, as fêmeas depositam os ovos na superfície e, após seis semanas de muito barulho, todas as cigarras morrem e a floresta fica em silêncio pelos próximos 17 anos. 

Encontro fatal 

A teoria mais usada para explicar esse fenômeno é a de que um possível predador também costumava aparecer periodicamente na floresta, sincronizando sua chegada com a das cigarras, quando então podia se banquetear delas. Com a seleção natural regulando sua vida em ciclos de números primos (existem ainda espécies que aparecem a cada 13 anos, e outras a cada sete, ambos igualmente números primos), as cigarras se depararam com predadores com muito menos frequência do que se tivessem um ciclo de número não primo. “Por exemplo, suponhamos que os predadores apareçam a cada 6 anos. As cigarras que surgem a cada 7 anos irão coincidir com os predadores apenas a cada 42 anos. Por outro lado, as que aparecem a cada 8 anos irão coincidir com os predadores a cada 24 anos; cigarras que surgem a cada 9 anos coincidirão ainda mais amiúde: a cada 18 anos”, escreve. Com um ciclo de 17 anos, o encontro da cigarra com seu predador vai demorar mais de 100 anos para ocorrer. 

O talento de Sautoy para encontrar em outras ciências e, mesmo no dia a dia, exemplos de aplicação da matemática foi apurado durante os anos como estudante da mesma Universidade de Oxford em que dá aulas hoje. “O sistema de Oxford encoraja os estudantes de matemática a interagir com os de outras áreas. Então eu passei muito tempo explicando para filósofos, historiadores e músicos as maravilhas da minha área de estudo. Acho que foi graças a essa atmosfera interdisciplinar como estudante que eu me dei conta de que tinha uma habilidade para explicar conceitos da matemática para não-matemáticos”, diz. “Fiz também muito teatro, acho que é por isso que eu gosto de fazer programas de TV sobre matemática. Aliás, acabo de escrever uma peça chamada X&Y sobre questões que trabalho na matemática. Espero levá-la ao Brasil um dia!” 

Para quem ainda não se convenceu a ler o livro, Sautoy, autor também do aclamado A música dos números primos, lançado aqui em 2007, dá a chance para o leitor ganhar US$ 1 milhão. É quanto o empresário americano Landon Clay oferece para quem resolver um dos seis “Millenium Prize Problems” ainda sem solução. O único deles resolvido até agora, conhecido como Conjectura de Poincaré, foi solucionado pelo russo Grigori Perelman em 2002. Em 2010, o Clay Mathematics Institute, fundado por Landon Clay, anunciou que Perelman era o vencedor de um dos prêmios milionários, mas este recusou a oferta, alegando que o reconhecimento pela solução era suficiente. 

Segundo Sautoy, quem se propuser a resolver algum dos problemas deve ter “pensamento lateral”, uma tradução aproximada de “lateral thinking”, termo cunhado pelo médico maltês Edward de Bono para descrever a solução de problemas através de uma abordagem indireta e criativa. “Deve ser alguém que possa olhar para um problema de um novo jeito, perguntar uma nova questão, encontrar um método alternativo de solucioná-lo. Eu acredito ainda que esses problemas precisam de alguém que possa combinar toda uma gama de formas matemáticas de pensar”, afirma o autor. 

A recompensa maior, segundo Sautoy, sempre será a resolução do problema em si. Perguntado se às vezes não é frustrante ser um matemático, principalmente quando não se consegue solucionar um problema, ele diz: “Com certeza! Mas, de certa forma, essa também é a graça da coisa. Porque a excitação e o afluxo de adrenalina que ocorrem quando você finalmente resolve um problema que foi tão difícil de solucionar compensa toda a frustração”.

Referência:

Revista: Unesp Ciência, setembro de 2013 - Ano 5, nº 452013  <http://www.unesp.br/aci_ses/revista_unespciencia/acervo/45/livros>. Acesso em 11 abr 2016.

O Vôo do Falcão Peregrino

Falcão Peregrino

Ao mergulhar sobre uma presa, um falcão peregrino não utiliza o caminho mais curto, que seria uma linha reta. Em vez disso faz seu trajeto ao longo de uma espiral bem especial: a espiral logarítmica. 

Mas o que é uma espiral logarítmica?

Espiral logarítmica

A espiral logarítmica foi estudada por Bernoulli, e é a curva que forma com todas as rectas, situadas no seu plano e passando por um ponto fixo desse plano, um angulo constante. Esta expressão é dada, em termos das coordenadas polares r e Q, por

r(Q)=R e^{Q cot a}

onde R é o raio associado a Q=0. Esta expressão indica-nos a distância à origem, O, de um ponto da curva em função de Q . Equivalentemente, a expressão pode ser dada na forma log(r/R)=Q cot a, que é a origem do nome de espiral logaritmica.

Porque os falcões preferem esta trajetória? 

Para não perder uma presa, o falcão mergulha mantendo a vítima sempre no centro do campo de visão de um de seus aguçados olhos. Porém, como os olhos do falcão situam-se nas laterais da cabeça, o único jeito de ficar de olho na vítima é descer circundando a presa à medida que se aproxima, mas mantendo sempre sua inclinação em relação ao alvo. A trajetória resultante é uma espiral que faz sempre o mesmo ângulo com a direção que aponta para o centro, isto é, uma espiral logarítmica. Vôo em espiral logarítmica, um ataque certeiro!

Tirando o máximo proveito da velocidade e da visão

Os falcões peregrinos voam a grandes altitudes e conseguem localizar presas pequenas como passarinhos a um quilômetro e meio de distância. Mas para tirar o máximo proveito de sua acuidade visual e manter a presa em foco, precisa usar a linha de visão de sua fóvea profunda, o que exige que sua cabeça faça um ângulo de 40 graus com a direção da presa. Por outro lado, por questões aerodinâmicas, para obter máxima velocidade de vôo, o falcão deve manter corpo e cabeça alinhados e voar sempre para frente. 

Como se pode resolver este problema? 

A solução para o falcão é voar ao longo de uma espiral logarítmica, com cabeça e corpo alinhados ao longo da linha de  logarítmica, com cabeça e corpo alinhados ao longo da linha de vôo a um ângulo de 40 graus com a linha de visão da presa, até que quase 90 % da distância tenha sido coberta. Nesse ponto, a acuidade binocular é suficiente para guiar um ataque em linha  a acuidade binocular é suficiente para guiar um ataque em linha reta. Portanto, a espiral logarítmica propicia ao falcão peregrino ataques rápidos e certeiros!

Referência:

Devlin, K. O Instinto Matemático. Editora Record, 2009.
Tucker, V.; Tucker, A.; Akers, A.; Enderson, H. Curved Flight Paths and Sideways Vision in Peregrine Falcons. The Journal of Experimental Biology, vol. 203, pp. 3755–3763, 2003. 

Site:http://www.mat.uc.pt/~picado/conchas/espiral.html 

Montagem: Matheusmáthica

Matatemática e os blocos de Neve

Muitas formas geométricas abundam no mundo natural em nosso redor, embora nem sempre visíveis a olho nu. A geometria está particularmente presente, sobretudo em elementos que tendem a cristalizar, ainda que apenas por pouco tempo, por exemplo, ao caminhar numa estrada coberta de neve estamos, na verdade, caminhando no meio de um conjunto magnífico de formas geométricas.  

“A geometria da molécula transforma-se na geometria do floco de neve”

Libbrecht

 

O cristal de neve é formado quando o vapor d’água dentro das nuvens se condensa em gelo. As moléculas de H2O se juntam em um entrelaçamento hexagonal, e essas moléculas começam a se aglutinar. O pequeno núcleo de um cristal tem pedaços ásperos com muitas oscilações químicas ligadas também a áreas “macias”; um cristal cresce em um prisma de seis lados porque as moléculas que chegam se ligam aos pedaços ásperos em seis pontos distintos. Essas áreas crescem mais rápido do que as partes “macias”, e logo se constrói uma forma hexagonal básica com seis pontas e seis facetas.

A neve é um fenómeno metereológico que consiste na queda de cristais de gelo. Nem sempre os flocos de neve atingem o chão. Na maioria das vezes, à medida que os flocos caem a temperatura do ar vai aumentando e os flocos derretem caindo como chuva. Assim só teremos neve se o ar estiver frio o suficiente para mantê-los congelados até ao chão.

Portanto, a neve é formada nas camadas mais altas das nuvens, quando a temperatura lá em cima está abaixo de zero. À medida que a altitude aumenta, a temperatura diminui, o que facilita a formação da neve. As gotas de água congelam e formam-se em flocos de neve. Isto é comum em grandes altitudes mas nem toda a neve chega ao chão. Nas montanhas é comum nevar mesmo com a temperatura perto dos quatro graus positivos, pois a grande altitude e pressão inferior à atmosférica impede que a neve se derreta.

(…)Os flocos de neve que batiam no rosto do Roberto, foram-se tornando maiores e ele reparou que nenhum daqueles flocos de neve era igual. Todos eles eram diferentes, grandes e brancos, e a maioria tinha seis pontas. E quando se olhava com mais atenção, via-se que o padrão se repetia: estrelas de seis pontas dentro de uma estrela de seis pontas, raios que se dividiam em raios cada vez mais pequenos, dentes que produziam outros dentes. (…)

In “O Diabo dos Números”

 

Flocos de neve também apresentam simetria radial, isto é, todos os flocos de neve apresentam uma simetria hexagonal em relação a qualquer reta que passse pelo seu centro. Cada revolução de 60º ao redor deste eixo produz um desenho idêntico ao original. Este fato é explicado fisicamente, pelo modo como as moléculas de água se combinam ao congelar.

 

O número infinito de combinações de padrões hexagonais explica a crença comum de que não existem dois flocos de neve idênticos, todos diferem um dos outros, mas o padrão hexagonal básico, com seis faces, é comum a todos eles. Em virtude disso, o  floco  de  neve  possui  um  eixo  de  rotação  de  ordem  6,  perpendicular  ao plano da figura e passando por seu centro, e seis eixos de rotação de ordem 2.

Salientamos que o hexágono regular é uma figura de seis lados, e diz-se regular se todos eles tiverem o mesmo comprimento e se os seus ângulos tiverem todos a mesma amplitude e  já simetria radial, isto é, são simétricos em relação às retas que passam pelo seu centro

 

Referência:

Ensenberger, Hans M. Diabo dos numeros. Companhia das Letras, 2006

Site: Agrupamento de Escolas de S. Silvestre
Site: Educação Pública

Revista: Temas (versão eletrônica)

A Matemática do Abacaxi

Provavelmente você deve conhecer o abacaxi, que é uma deliciosa fruta originária da América Central e México, rica em vitamina C e sais minerais como cálcio, ferro e  fósforo, cujo nome científico é Ananas comosus pertencente  à  família Bromeliaceae, a planta adulta é constituída por raízes fasciculares superficiais e um  talo (caule) em  forma de clava curta.

Possui folhas (bráctea) longas e duras em forma de calhas inseridas no talo, formando uma densa espiral que, partindo da base, formam uma roseta. O abacaxi é um fruto composto, resultado do fenômeno da inlorescência da qual origina-se de 100 a 200 frutos simples (“gomos“)

Mas, você já observou as espirais formadas pelos gomos da casca dele? E sua parte interna?

Então tome um abacaxi e observe as espirais à direita e à esquerda que são formadas na casca do mesmo. Se você retirar a casca do abacaxi, você verá claramente os "olhos" que aparecem junto à  parta  interna  da  fruta.  Normalmente a espiral no abacaxi está apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 13, 21 ou 34.

Voltando a casca, note que cada gomo tem a forma aproximada de um hexágono e participa de três espirais que se cruzam. Formando o menor ângulo com o eixo do abacaxi, 8 espirais paralelas circulam a fruta. Com um ângulo maior, são 13 espirais paralelas e com ângulo maior ainda, são 21 espirais. Não preciso nem lembrar que 8, 13 e 21 são números sucessivos na seqüência de Fibonacci.

Portanto, um abacaxi tem 8 diagonais num sentido e 13 num outro, ou seja, ele possui uma quantidade de espirais num sentido e outra quantidade diferente no sentido inverso, a relação entre elas quase sempre pertence a sequência de Fibonacci. Em ambos os sentidos podemos desenvolver as funções logarítmicas. 

Não deixe de comer o abacaxi!

Referência:

Vários autores. Matemática - Ensino Médio. 2ª. Ed. Curitiba: SEED-PR, 2006. p. 216.

Fernandes, Alexsander P. de Almeida. Analogia de aspectos matemáticos implícitos no cotidiano (monografia). ADAMANTINA, S. Paulo, 2008.

Site: Matemática Essêncial

A Matemática das borboletas

Asseguram os naturalistas que certas borboletas ostentam, em suas asas, números expressos por algarismos indo-arábicos. Essas curiosas borboletas quando voam levam a Matemática para o céu.
 

A mais curiosa das borboletas matemáticas é a dirphia Sabina Walker que ostenta, em suas asas, o algarismo 1 em preto. Essa borboleta tem a preocupação de ser a n.° 1 entre os coleópteros.
 

Borboleta interessante é a chamada Callicore Peruviana que pode ser encontrada com facilidade no Paraná e em Minas Gerais, A Callicore apresenta um 88 numa asa e outro 88 naoutra asa. A repetição é certa, pois as asas das borboletas são rigorosamente simétricas. O desenho de uma asa é exatamente igual ao desenho da outra asa.
 

Esta bela e curiosa borboleta que os naturalistas denominam Catagramma sorana Godt mostra-nos em cada asa um oitenta com os dois algarismos bem destacados. O matemático diria: 

80 de um lado, e 08 do outro

O nome Catagramma deriva-se do grego Kata (sobre) e gramma (carta).
Essa borboleta vem provar que o zero à esquerda de um número pode ter uma significação especial.

Referências:

TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática, 2º edição. Rio de Janeiro, edt. Bloch, 1973.

Conchas marinhas: a simplicidade e beleza da sua descrição matemática

O crescimento gnomónico

Todos nós já reparámos que a concha de qualquer molusco pequeno é idêntica à concha de um molusco grande da mesma espécie, com excepção do tamanho. Uma é um modelo exato, à escala, da outra. As conchas, com a sua forma auto-semelhante, podem ser representadas por superfícies tridimensionais, geradas por uma fórmula relativamente simples, com alguns parâmetros livres. Maravilhosamente, apesar da simplicidade dessas equações, é possível gerar uma grande variedade de tipos diferentes de conchas. Quais? Todos eles! (com muito poucas excepções: algumas espécies vivas e fósseis de Vermicularia e amonitas fósseis do género Didymoceras.) Isto mostra como muitas das formas que surgem na natureza são simples consequência da aplicação de geometria tridimensional a regras de crescimento básicas.
O molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha (a extremidade aberta ou "de crescimento"); e fá-lo de maneira a que a nova concha seja sempre um modelo exato, à escala, da concha mais pequena.
       

Estas condicionantes juntas têm uma consequência matemática: quase todas as conchas seguem um modelo de crescimento baseado numa espiral equiangular:

A superfície da concha é uma superfície tridimensional que pode ser vista como o resultado do deslocamento de uma curva C (a curva geratriz, que habitualmente é uma elipse) ao longo de uma espiral helicoidal H (a curva estrutural); o tamanho da curva C vai aumentando à medida que se desloca sobre H:
 

A forma de C descreve o perfil das secções da concha e da abertura da concha enquanto H determina a forma global da concha. Nem sempre C é uma elipse. É o caso da maravilha japonesa que é gerada por uma curva triangular.

Porquê H é uma espiral logaritmica helicoidal? Basicamente porque o molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha. Uma versão bidimensional deste fenómeno pode ser observado no crescimento dos cornos dos animais. Essencialmente é uma versão tridimensional deste fenómeno que conduz às estruturas em espiral das conchas dos moluscos. 

Fonte: http://www.mat.uc.pt/~picado/conchas/introd.html

Borboleta tem um plano de simetria

Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria.  A simetria na Natureza é um fenômeno único e fascinante. Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No entanto, no plano, a idéia básica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas.

Uma borboleta é um inseto de beleza harmoniosa que apresenta um eixo de simetria facilmente identificável, dividindo seu corpo e asas em duas metades extremamente semelhantes entre si, não apenas na forma, como também nos desenhos que as asas comportam.

Sua simetria é conhecida como bilateral. Este eixo de semetria está relacionado com seu equilíbrio, lhe dando estabilidade para executar seus graciosos movimentos de vôo. Assim como a borboleta, todos os animais que voam devem possuir simetrias em relação a um eixo central, lhe permitindo a possibilidade de deslocar pelo céu com desenvoltura.

A borboleta possui mais de um eixo de semetria. Mas não tão aparentes como sua simetria bilateral. A simetria funcional da borboleta, por exemplo, lhe permite se adaptar as mudanças do meio e com ele se relacionar sem deixar de existir como tal.

         

As aparências enganam

As próprias borboletas por vezes formam em suas asas grandes olhos simétricos, que embora falsos, assustam o provável predador.

Portanto a borboleta é um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza.

Os números de Fibonacci são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia).

Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360º para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a  2 x 360º ÷ 5 = 144º.

Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da seqüência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão freqüentemente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória.

A Matemática de uma Abelha

Mesmo que tenha sido somente em desenho, possivelmente você já viu uma colméia. Lembre-se de que o formato de cada “porta de entrada” é de um hexágono regular ( polígono regular de seis lado ).

Pode parecer uma pergunta tonta mas, as abelhas saberão matemática? O matemático grego, Papus  de Alejandría, matemático grego que viveu do ano 284 ao 305, terá respondido que sim!
O senhor Papus baseou esta afirmação na forma hexagonal que as abelhas dão aos favos.

As abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam de o guardar em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço.
Se só o podem fazer utilizando triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais difíceis de construir?
A resposta é um problema isoperimétrico (de igual perímetro). Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o  maior número de lados.

Desses três polígonos regulares, o hexágono é aquele que, com mesmo perímetro, permite maior área. É só lembrarmos disso para reconhecer que a natureza é sábia e com ela temos muita coisa útil a aprender.
Assim, cada dois hexágonos consecutivos, a abelha consegue construir um terço ( duas paredes ) de um novo alvéolo. Isso representa economia de material para a construção do casulo.
Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel.