Número Euleriano ou Constante de Napier

 Você sabia que "e" (2,71828...) é uma constante numérica, assim como, pi (3,14159...).  

O valor de "e" é encontrado em muitas fórmulas matemáticas, como aquelas que descrevem um aumento ou diminuição não linear, como crescimento ou decaimento (incluindo juros compostos), a "curva de sino" estatística, a forma de um cabo suspenso ou um arco permanente. 

Esse número irracional e transcendente também aparece em alguns problemas de probabilidade, alguns problemas de contagem e até mesmo no estudo da distribuição de números primos. No campo da avaliação não destrutiva ela é encontrada em fórmulas como as usadas para descrever a atenuação do ultrassom em um material. A energia sonora decai à medida que se afasta da fonte sonora por um fator relativo a "e". 

Seu valor mais utilizado é de aproximadamente 2,71828, entretanto já foram calculado, por Sebastian Wedeniwski, 869.894.101 casas decimais deste número. 

e = 2,71828182845904523536028747135266...

O valor de "e"  pode ser encontrado quando se aplica o limite n tendo ao mais infinito na na expressão 

( 1 +1n)n

O número "e" foi estudado pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler na década de 1720, embora sua existência estivesse mais ou menos implícita no trabalho de John Napier, o inventor dos logaritmos, em 1614. Euler também foi o primeiro a usar a letra e para em 1727 (o fato de ser a primeira letra de seu sobrenome é coincidência). 

Como resultado, às vezes e é chamado de Número Euleriano ou Constante de Napier. Foi provado por Euler que "e" é um número irracional, então sua expansão decimal nunca termina, nem é periódica.

Outra maneira eficaz de calcular o valor de "e" é por meio da soma infinita de fatoriais como denominadores do numerador 1. Assim, 

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

Existem outras maneiras de encontrar essa constante, você sabe dizer quais?

A Constante de Kaprekar

A Constante de Kaprekar é uma característica do número inteiro 6174, descoberta pelo matemático indiano D. R. Kaprekar, que funciona da seguinte maneira:

a) Escolha um número de quatro dígitos. (a única condição é que tenha pelo menos dois dígitos diferentes)
b) Ordene os dígitos do número em ordem decrescente e depois crescente.
c) Subtraia o menor número do maior.

d) Repita os outros passos b) e c).

O processo acima, conhecido como rotina de Kaprekar, sempre convergirá para o seu ponto fixo, o valor 6174, em no máximo sete iterações.

Por exemplo, escolhendo o número 1988, façamos:

9881-1889 = 7982
9872-2789 = 7083
8730-0378 = 8352
8532-2358 = 6174

Obedecendo a  rotina de Kaprekar teste isso para outros números de quatro dígitos. 

Depois faça essa rotina para os números de três dígitos e descubra qual é o valor da constante e o máximo de iterações possíveis.

O significado da palavra Matemática

Para alguns pesquisadores a matemática é a ciência que estuda, por método dedutivo, objetos abstratos (números, dimensões) e as relações existentes entre eles. Para outros, é a área do conhecimento que envolve o estudo da aritmética, álgebra, geometria, trigonometria, bem como da estatística e dos diferentes tipos de cálculos, em busca da sistematização de quantidades, medidas, espaços, estruturas e variações.

Nesse contexto, o significado da palavra 'matemática' também tem visões diferentes, sendo assim, para alguns desses pesquisadores essa verbete vem da palavra grega μ?θημα 'mathema' que representa conhecer ou entender. Outros investigadores defende a junção  desse termo com a parte 'tica' que também vem do grego, especificamente, do 'techne', que expressa técnica ou arte. Dessa forma, eles entende que palavra matemática expressa 'a técnica para conhecer'. Existe também pesquisadores que defende que a supracitada palavra deriva do termo grego 'matemathike' que tem significado de 'ensinamentos'.

É muito difícil definir o significado da palavra matemática, pois toda definição pontuada dificilmente conseguirá expressar todo o sentido desse termo. Entretanto, é importante ter uma ideia da sua origem e da sua significação.

Um número irracional no denominador?

Por Mateus Oliveira

De modo geral, o denominador (a parte de baixo) de uma fração não pode ter números irracionais. Se isso acontecer com um problema que estiver resolvendo, você vai ter que multiplicar a fração por um ou mais valores que ajudem a remover essa expressão. Mas, qual é o motivo para não deixar um número irracional no denominador?

Por exemplo, se você encontrar 3/√3 na sua solução, vai ser preciso racionalizar para eliminar a √3 do denominador.

A razão pra isso é algo bem simples, pois está relacionado a possibilidade de diminuir o erro (desvio) da conta. É fácil entender… todo número irracional, quando é escrito na forma decimal (0,abcdef…) acaba-se cometendo um erro de aproximação/arredondamento, concorda? 

Pois bem, se esse termo “impreciso” estiver no numerador essa “imprecisão” é dividida, ou seja, o erro é minimizado. Por outro lado, se deixarmos o termo “impreciso” no denominador, maximizaremos o erro/desvio do resultado.

Vou utilizar um exemplo que não tem a ver com irracionais, porém vai facilitar a compreensão desse argumento:

Observando a fração 1/1 é fácil notar que o resultado é 1, certo?

Se houver uma imprecisão no numerador, por exemplo 0,99, a fração fica 0,99/1 = 0,99, ou seja, foi desviado somente 0,01 do resultado correto.

Agora suponha que a mesma imprecisão esteja no denominador. Assim, tem-se que 1/0,99 = 1,010101…, ou seja, foi desviado do resultado correto um valor aproximado de 0,010101…

Notou como é melhor (mais exato ou preciso) deixar o termo impreciso no numerador?

Frações Decimais

Você Sabia?

Que em 1585, Simon Stevin de Bruges utilizou-se de frações decimais sendo representadas com dígitos como décimos, centésimos e milésimos. A forma de representar tais casas decimais ainda era diferente da nossa atual. Cada casa possuía um círculo acima ou depois de cada dígito. Dentro deste círculo, encontrava-se o expoente correspondente à posição de base 10 ocupada por tal casa. Por exemplo, um número como 3,54 tinha a seguinte descrição:

É importante ressaltar que inicialmente foi pensando que Stevin tinha inventado as frações decimais até meados do século XX, mas os pesquisadores descobriram mais tarde que esse conceito já foram introduzidas pelo islâmico al-Uqlidisi em um livro escrito em 952. Além disso, o desenvolvimento sistemático de frações decimais foi dada bem antes de Stevin, especificamente no livro Miftah al-Hisab escrito por al-Kashi em 1427. Após uma década, Joost Bürgi substituiu os círculos com expoentes para apenas um círculo sobre o algarismo que separa inteiros de decimais. Assim, teríamos:

Bürgi também se dedicou ao estudo de formas mais sucintas de se operar com números extensos. Para isto, utilizava-se de métodos matemáticos muito semelhantes aos logaritmos. Foi somente com John Napier, em 1614, que tal abordagem foi primeiramente publicada e divulgada entre a comunidade matemática. E o uso de logaritmos deu às frações e aos decimais o fôlego necessário. Napier passou a separar as partes inteiras das decimais e centesimais com ponto, o que nos causa confusões até hoje. A explicação é porque no Brasil utilizamos a notação de Wilbord Snellius, separando inteiros e casas decimais pela vírgula.

Prof. Mateus Oliveira

Referência:

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. São Paulo: Ed. da UNICAMP, 2004.

A Amizade Quadrática

A Amizade Quadrática acontece quando a soma dos algarismos de cada número elevado ao quadrado é igual ao outro número que também está sendo elevado ao quadrado como, por exemplo, o 13 e 16. 

Note que 13² = 169 e a soma dos seus algarismos é  1 + 6 + 9 = 16. 

Já 16² = 256 onde a soma dos algarismos são 2 + 5 + 6 = 13.

Logo, existe uma amizade quadrática entre o número 13 e o 16.

Você consegue encontrar outros números com essa propriedade? Compartilhe conosco.

Prof. Mateus Oliveira

Referência:

MALBA, T. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1994.

A misteriosa divisão 1/9801

Você sabia que:


   1    =  0, 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
9801         10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
                 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
                 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
                 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
                 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
                 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
                 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
                 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
                 90 91 92 93 94 95 96 97 99 00
                 ...

Nota-se um único pulo na contagem de 00 a 99.

Será que existe alguma outra divisão com essa característica?

Se você conhecer, então compartilhe conosco.

Prof. Mateus Oliveira

Dízima Periódica: o caso do 0,999...

Ao estudarmos as dízimas periódicas, umas das curiosidades mais questionadas é sobre a igualdade entre os números 0,999... e 1, ou seja,

Por que 0,999...=1?

Vamos pensar?

Suponhamos que o famoso x da Matemática seja igual a 0,999..., isto é

x = 0,999...    

E sabemos que numa equação se multiplicamos um lado por um número o outro lado também deverá ser multiplicado pelo mesmo número. Sendo assim, vamos multiplicar ambos os lados por 10. 

10 .(x) = 10.(0,999...)  

É importante lembrar que no lado da dízima basta a vírgula correr uma casa para direita. Assim:

10x = 9,999...

Agora podemos fazer uma operação de subtração entre as equações final e inicial, ou seja,

10x = 9,999...

 -  x = 0,999...

  9x = 9          

Note que 9x é o resultado da conta 10x - x = 9x e 9 da 9,999...-0,999..., por isso temos a seguinte equação:

9x = 9

Agora vamos isolar o x, para isso basta passar o 9 que está multiplicando para outro lado dividindo:

x=9/9

Logo, 

x = 1

Portanto, basta refletir que 0,999... = x =1, então 0,999...=1.

Prof. Mateus Oliveira.

Os números primos-palíndromos

Uma sequência de números primos-palíndromos: 

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929 , 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, ...

Quem era os afemeninados?

Lá pelos 1000 anos  a.C.  os  chineses representaram os números combinando círculos brancos e círculos pretos. Os brancos representavam números ímpares e os pretos, números  pares. 

Tal método também  encontramos  entre  os gregos, principalmente os Pitagóricos (discípulos de Pitágoras). Estes chamavam os números pares de “fêmeas”, e os ímpares de “machos” (com exceção do 1). O número 1 não era um número, mas o elemento formador de todos os outros números.

É interessante dentro da concepção dos números ímpares como sendo números machos, a dos números “afeminados”. Todo número ímpar que não fosse primo era considerado “afeminado”, como por exemplo, os números 9, 15, 25, etc.

A razão disso se achava na representação por meio de círculos.

Por exemplo, o número cinco  não era “afeminado”, pois podia ser obtido do “casamento” de um macho com uma fêmea, conservando-se a posição pré-estabelecida dos círculos.

Já o nove não podia ser obtido de um “casamento” perfeito entre macho e fêmea. Não se podia dizer que o nove resultava do casamento do 3 (macho) com o 6 (fêmea), pois não representava o três,  embora  os  círculos representassem o 6.

Aliás, o 5 representava o primeiro “casamento” perfeito, por isso o 5 representava o “matrimônio”. O seis por sua vez era o frio.

Referência:

Autores das imagens: Desconhecido

Montagem: Matheusmáthica

Curiosidade do ano 2011

É um mistério ou é pura Matemática?

Este ano tivemos quatro datas incomuns.... 

1/1/11

1/11/11

11/1/11

11/11/11  

Tem mais!

Pegue os últimos 2 dígitos do ano em que você nasceu mais a idade que você vai ter este ano e a sua soma será igual a 111 para todos! 

Por exemplo: 

A Joana nasceu em 1981 e vai fazer 30 anos. Portanto: 81 + 30 = 111

Você sabe explicar essa misteriosa matemática?

O resultado 111 é aplicado somente para quem nasceu no século XX. Quem nasceu no século XXI o resultado é 011. Se considerarmos o século em que as pessoas nasceram e ignorarmos o fato de que elas morrem, e o fato de que já se considerou o tempo entre as gerações de 100 anos teremos:

século XVIII – 311
século. XIX – 211
século XX – 111
século XXI – 011

As gerações estão em contagem regressiva?

Ainda não acabou!

Neste ano,  ainda teremos em outubro 5 domingos, 5 segunda feira e 5 sábados. Isto acontece uma vez a cada 823 anos. Estes anos são conhecidos como 'money bags' (Sacos de dinheiro).

É o Ano do dinheiro???

Referência:

Site: 50 e Mais

A Virada do Milênio

Na virada de 1999 para o ano 2000 todos comemoraram a chegada do novo milênio. Mas as comemorações foram um pouco adiantadas. Na verdade, o novo milênio começa no dia 1º de janeiro de 2001. 

Justificativa

Até o ano 525 da Era Cristã, o mundo ocidental não contava os anos como hoje. O marco do início dos tempos era a fundação de Roma, o ano da legendária fundação da cidade pelos irmãos Rômulo e Rêmulo, chamado ano zero A.U.C ("ab urbecondita"). A Era Cristã em que vivemos foi inventada por Dionysius Exiguus (em português, Dênis, o Exíguo), a pedido do papa João 1°, no ano de 525 d.C (correspondente ao ano 1278 A.U.C.). O objetivo da reforma era acabar com a falta de sincronia entre as igrejas para o cálculo da Páscoa. 

O cálculo para a Páscoa mais conhecido até então havia sido criado pelo bispo da Alexandria, mas várias igrejas seguiam diferentes sistemas, numa confusão bíblica. No meio dos cálculos para o novo calendário da Páscoa, Dionysius resolveu não seguir o modelo do bispo de Alexandria, cujo marco inicial era o imperador Diocleciano. "Não queria perpetuar o nome do Grande Perseguidor dos Cristãos, mas numerar os anos a partir da encarnação do Nosso Senhor Jesus Cristo", escreveu. Estava criada a Era Cristã.

Se Dionysius era um ardente religioso, a parte matemática deixou a desejar. Ao calcular o ano de nascimento de Cristo, ele errou nas contas, e Cristo "nasceu" quando provavelmente já contava seis anos ou sete anos (não se sabe o ano exato do nascimento). Tivesse ele sido mais preciso, a virada teria sido em 1994 ou em 1995.

Outro fato que tem causado confusão até hoje é que Dionysius não incluiu o ano zero. Na sua cronologia, o fim do ano 1 antes de Cristo marcou a chegada do ano 1 depois de Cristo. Dessa forma, cada século I foi do início do ano 1 ao final do ano 100. O século II foi do início do ano 101 ao final do ano 200. Prosseguindo dessa forma, concluiremos que o século XX começou no início do ano 1901 e terminou no final do ano 2000. Pelo mesmo raciocínio, o século XXI começou no início do ano 2001 e somente terminará no final do ano 2100. 

O mesmo processo é aplicado ao milênio. O primeiro começou no início do ano 1 e terminou no final do ano 1000. Por isso, matematicamente o século 21 começou só no ano 2001 e não no ano 2000 e somente terminará em 31 de dezembro do ano 3000. Portanto, basta lembrar que a contagem dos anos não começou a partir do ano 0, mas do ano 1.

Referência:

Site: Canal Kids

Site: Silvestre

Maisonnave, Fabiano. Como se contam os anos. Especial para o UOL e Da Redação.

Star Trek e o número "pi"

Não sei se são admiradores da série de ficção científica "Star Trek", de origem americana , mas se o não são, provavelmente, alguns episódios viram. 

Queremos chamar atenção a um dos episódios de "Star Trek" de nº 36 que se intitulava "Wolf in The Fold". Uma vez que, neste episódio um ser energético tenta apoderar-se do computador da nave, o que tornaria impossível a continuação da sua missão. O sr. Spock (lembram-se das suas orelhas?) com a lógica que o caracterizava, resolve o problema pedindo ao computador que realize uma tarefa de tal modo complicada que o ser deveria desistir e ir procurar outro qualquer local para invadir, pois o computador estaria demasiado ocupado e ... baralhado! 

Baralhado? 

Como assim? 

A questão está no fato do sr. Spock ter pedido ao computador que calculasse o número "pi" até à última casa decimal, o que é tarefa impossível pois pi é uma dízima infinita e não periódica, mesmo para um computador avançadíssimo como o da nave de "Star Trek" isso constitui algo impossível.

Referência:
 

"Star Trek", Episódio nº 36, USA 1967.

Blog: Há Água em Mat.

Melancia Quadrada!

Melancia Quadrada!

Uma melancia oval pode ocupar muito espaço no refrigerador além de ficar desajeitada na prateleira, assim a melancia quadrada é um exemplo prático de uma modelagem matemática este formato permite guardar melhor a fruta na geladeira como também é mais fácil pra cortar, porém essas vantagens faz com que seu custo seja altíssimo. A idéia da melancia quadrada pertence ao agricultor Takashi Yamashita, 82,  que em 2006foi diretor da seção de "melancias" da cooperativa.

A forma quadrada é obtida antes que o fruto fique maduro com um mecanismo "secreto" que transforma a melancia, tipicamente redonda, em quadrada. No entanto, na busca do formato, a melancia quadrada perdeu seu sabor doce e se parece mais ao pepino. Por isso o produto tem mais uma finalidade decorativa e de longa vida pois pode ser conservado em média durante um ano e meio.

Referência:

Site: Ipc Digital

O número 9 na Bíblia

O número nove faz-nos pensar sobre tudo o que leva ao seu resultado, esse número apresenta uma aritmética social muito mais complexa que 3x3 ou que qualquer dezena cuja soma dos dois algarismos dê o número 9. Em vista de disso, temos que dentro do estudo da numerologia bíblica (não como superstição ou crendice popular, mas como análise da ordenação dos números nos relatos bíblicos) o número 9 aparece na Bíblia como o número da produtividade ou da frutificação no melhor da sua plenitude. 

Observe: 

O capítulo cinco de Gênesis que traz uma genealogia de Adão até Noé relaciona dentre os antecedentes de Noé, que representa o melhor fruto de sua geração, seis homens que viveram coincidentemente mais de 900 anos:

• Adão 930 anos;
• Sete 912 anos;
• Enos 905 anos;
• Quenã 910 anos;
• Jarede 962 anos;
• Matusalém 969 anos.

O próprio Noé viveu 950 anos (Gênesis 9.29). 

Foi também aos 99 anos de Abraão que Deus estabeleceu uma Aliança com o mesmo (Gênesis 17.1). 

O fruto do Espírito tem 9 manifestações (Gálatas 5.22,23). 

Os dons espirituais distribuídos pelo Espírito Santo também são 9 (I Coríntios 12.7-11). 

Das 100 ovelhas apenas uma se perdeu. As outras 99 permaneceram no aprisco (Mateus 18.12). 

Nove é o período de meses da gestação humana. 

A visão de Cornélio com o anjo, fato este que estabeleceu a propagação do evangelho aos gentios ocorreu à hora nona (Atos 10.1-3).

Referência:

Site: Igreja Batista Nacional Bereana

Nó impossível

Consegues pegar nas extremidades de uma corda e dar um nó sem as largar? 

Impossível! 

Ou será que não? 

Na verdade, é fácil de fazer, mas primeiro tens de saber um segredo matemático!

 Precisas de: um bocado de cordel ou corda (cerca de 75 cm)

 O que fazer:

1. Põe a corda sobre uma mesa.

2. Dá um nó nos teus braços, cruzando-os.

3. Debruça-te sobre a corda e pega numa extremidade da corda com cada mão.

4. Endireita-te e descruza cuidadosamente os braços, sem largar a corda.

O nó que estava nos teus braços foi transferido para a corda!

Referência:

Site: Um pouco de Matemática

"Um exercício complicado"

"Um exercício complicado"

Em 1895, o pintor russo, Nikolai Bogdanov-Belsky (1868-1945),  pintou um quadro conhecido por “Exercício Complicado”, que se trata em resolver o rápida e mentalmente o seguinte exercício:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) ÷ 365

 

Este exercício a primeira vista parece dificil. Na figura o mestre pintor reproduziu S. Rachinski, professor de ciências naturais, que deixou a presidência de uma universidade para se tornar um simples professor rural. O professor em sua escola inteligentemente cultivava o cálculo mental, com base na habilidade de usar as propriedades dos números. Os números 10, 11, 12, 13 e 14 tem uma curiosa propriedade:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365

Com esta observação a resposta é imediata. Uma vez sabendo esta propriedade o exercício deixa de ser complicado, e o resultado é:

( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² )÷ 365

( 365 + 365 ) ÷ 365

Portanto o resultado é 2. A álgebra permite agora comprovar se existem outras sequências de números que seguem esta mesma propriedade:

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x+ 4)²

x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) = (x² + 6x + 9) + (x² + 8x + 16)

3x² + 6x + 5 = 2x² + 14x + 25

x² - 8x - 20 = 0

As raízes desta equação do segundo grau são 10 e -2. Portanto temos duas sequências de números que compartilham desta propriedade: {10, 11, 12, 13, 14} e {-2, -1, 0, 1, 2}.

Referência:

Perelman, Yakov Isidorovich. Algebra Recreativa. (arquivo em pdf)