Matematizando: tabuleiro de xadrez

O xadrez é disputado sobre um tabuleiro dividido em 64 casas de cores alternadas. Não importando efetivamente as cores das casas, as de coloração mais claras são denominadas "brancas" e as de coloração mais escuras "pretas". 

Fonte: Autor

O objetivo do jogo de xadrez é dar xeque-mate ao Rei adversário, ou seja, colocando-o sob ameaça de captura (xeque), sem que ele tenha como escapar desse xeque. Para isto, cada jogador dispõe de 16 peças, sendo: 1 Rei; 1 Dama; 2 Bispos; 2 Cavalos; 2 Torres; 8 Peões.

• Torre: se movimenta nas direções ortogonais, isto é, pelas linhas (horizontais) e colunas (verticais), não podendo se mover pelas diagonais. Ela pode mover quantas casas desejar pelas colunas e linhas, porém, apenas em um sentido em cada jogada.
• Bispo: se movimenta nas direções diagonais, ou seja, na direção das casas da mesma cor. Ele pode mover quantas casas desejar pelas diagonais, porém, apenas em um sentido (cada jogada).
• Dama ou Rainha: se movimenta quantas casas quiser ou puder, na diagonal, vertical ou horizontal, porém, apenas em um sentido em cada jogada, a dama anda com os movimentos de todas as outras peças (exceto o cavalo), andando quantas casas quiser.
• Rei: pode se mover em todas as direções somente uma casa de cada vez, desde que o movimento não seja para uma casa ameaçada por uma peça adversária. O rei também pode capturar qualquer peça adversária (exceto o outro Rei), desde que a mesma não tenha outra peça defendendo-a. 
• Cavalo: se movimenta em "forma de L", ou seja, anda duas casas na horizontal ou vertical e depois uma casa na vertical ou horizontal, ou vice-versa. O cavalo pode saltar sobre qualquer peça sua ou do adversário. A captura ocorre quando uma peça adversária se encontra na casa final do movimento realizado pelo cavalo.
• Peão: move-se em coluna (vertical) somente para a frente e uma casa, nunca para trás. Quando um peão alcança a última fileira do tabuleiro (fileira 8 para as brancas ou 1 para as pretas) ele é promovido, tornando-se uma Torre, Bispo, Cavalo ou Dama, conforme o desejo do jogador.

Matematizando

1. De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num tabuleiro de xadrez (i. e. um tabuleiro 8 x 8)? 

Solução

O tabuleiro possui 32 quadrados brancos e 32 quadrados pretos. Para se escolher um quadrado preto existem 32 possibilidades e para a escolha de um quadrado branco temos, também, 32 possibilidades. Logo, temos 32 x 32 = 1024 maneiras distintas de se escolher um quadrado preto e um quadrado branco.

2. De quantas maneiras distintas podemos colocar num tabuleiro de xadrez um rei branco e um preto de modo que um não ataque o outro? 

Solução

O rei branco pode ser colocado em um dos 64 quadrados do tabuleiro. Contudo, o número de quadrados que ele ataca depende da posição em que ele se encontra. Portanto, dividimos o problema em três casos: 

Caso I. O rei branco encontra-se em um dos quatro cantos do tabuleiro. Nessa posição, ele ataca 4 quadrados, incluindo o que ele se encontra. Logo restam 60 quadrados para colocar o rei preto. 

Caso II. O rei branco ocupa um quadrado do bordo, mas não um dos cantos (existem 24 quadrados desse tipo). Nessa posição, ele pode atacar 6 quadrados, restando 58 quadrados para colocar o rei preto. 

Caso III. O rei branco ocupa qualquer quadrado que não esteja no bordo do tabuleiro (existem 36 quadrados desse tipo). Nessa posição, ele ataca 9 quadrados, restando 55 quadrados para colocar o rei preto. Finalmente, temos 4 x 60 + 24 x 58 + 36 x 55 = 3612 maneiras distintas de colocar num tabuleiro de xadrez um rei branco e um preto de modo que um não ataque o outro.

3. De quantas maneiras diferentes podemos colocar os 4 cavalos de um jogo de xadrez (2 brancos iguais e 2 pretos iguais) no tabuleiro do mesmo jogo (64 casas)?

Solução

Como existem 2 cavalos de cada cor, precisamos escolher 2 casas entre as 64 disponíveis para colocar, por exemplo, os cavalos brancos. Isso pode ser feito de C64, 2 modos. Uma vez colocados os brancos, devemos escolher 2 casas entre as 62 restantes, a fim de colocar os cavalos pretos. Isso pode ser feito de C62, 2  maneiras. Assim, o resultado procurado é:

C64, 2 × C62, 2 = 2016 ×  1891 =3812256

Referência:

FREIRE, Benedito Tadeu V.. Notas de aula: análise combinatória. UFRN: 2001.<https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MA220/n02.pdf>. Acesso em 07 mar. 2021.

HAZZAN, Samuel e IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: combinatória, binômio e probabilidade. Volume 5. 8ª Ed. São Paulo: Editora Atual, 2013.

Criação do xadrez, segundo a lenda contada por Malba Tahan

O xadrez e sua lenda

Existem diversas mitologias associadas à criação do xadrez, sendo uma das mais famosas aquela que a atribui a um jovem brâmane indiano chamado Lahur Sessa. Segundo a lenda, contada em "O Homem que Calculava", do escritor e matemático brasileiro Malba Tahan:

"Em um reino muito distante havia um rei que estava muito triste. Sua vida era monótona. Um dia, afinal, o rei foi informado de que um moço brâmane solicitava uma audiência que vinha pleiteando havia já algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença. E o jovem começou a falar:

 

– Meu nome é Lahur Sessa e venho da aldeia de Namir, que trinta dias de marcha separam desta bela cidade. Ao recanto em que eu vivia chegou a de que o nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Grande mal será para o país, se o nosso dedicado soberano se enclausurar, como um brâmane cego dentro de sua própria dor. Deliberei, pois, inventar um jogo que lhe desse alegria novamente. E é isto que me traz aqui.
 

Tabuleiro de Xadrez

Como todos os soberanos, este também era muito curioso, e não aguentou para saber o que o jovem sábio lhe trouxera. O que Sessa trazia ao rei consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em sessenta e quatro quadradinhos, ou casas, iguais. Sobre esse tabuleiro colocavam-se, não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhes permitiam movimentar-se por vários modos. 

 

Sessa explicou pacientemente ao rei, aos monarcas vizires e cortesãos que rodeavam, em que consistia o jogo, ensinando-lhes as regras essenciais. (...) Depois, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe:
 

– Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente, que de tanto me serviu para o alívio de velhas angústias. Diz-me o que queres, qualquer das maiores riquezas, que te será dado.
 

– Rei poderoso, não desejo nada. Apenas a gratidão de ter-te feito algum bem que basta.
 

– Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais. Por favor, diga-me o que pode ser-te dado. Ficarei magoado se não aceitar.
 

– Então, o invés de ouro, prata, palácios, desejo em grãos de trigo. Dar-me-ás um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, dezesseis pela quinta, e assim sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro.
 

Todo mundo ficou espantado com o pedido. Tão pouco!
 

– Insensato, chamou-lhe o rei, donde já se viu tanto desamor pelos bens materiais?
 

Chamou então, o rei, os algebristas mais hábeis da corte, e ordenou-lhes que calculassem o valor. Após muito tempo, voltaram. Perguntou-lhes o rei, interrompendo a partida que então jogava:
 

- Com quantos grãos de trigo poderei, afinal, desobrigar-me da promessa que fiz ao jovem Sessa?
 

- Rei magnânimo! - declarou o mais sábio dos matemáticos. - Calculamos o número de grãos de trigo que constituirá o pagamento pedido por Sessa, e obtivemos um número cuja grandeza é inconcebível para a imaginação humana.
 

Avaliamos, em seguida, com o maior rigor, a quantas ceiras corresponderia esse número total de grãos, e chegamos à seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a Lahur Sessa equivale  a uma montanha que, tendo por base a cidade de Taligana, seria cem vezes mais alta do que o Himalaia! A índia inteira, semeados todos os seus campos, taladas todas as suas cidades, não produziria em 2 000 séculos a quantidade de trigo que, pela vossa promessa, cabe, em pleno direito, ao jovem Sessa!
 

O soberano hindu via-se, pela primeira vez, diante da impossibilidade de cumprir a palavra dada.

Lathur Sessa como bom  súdito, não quis deixar aflito o seu soberano, assim, abriu mão de seu pedido, mas mostrou ao rei uma nova maneira de pensar. Ganhou com isso um manto de honra e ainda 100 sequins de ouro.
 

 

Explicação:
 

Assim chegou-se a este resultado:

 

1, 2, 4, 16, 32, 64, ... 

 

A soma dos 64 primeiros termos dessa progressão é obtida por meio de uma fórmula muito simples, estudada em matemática elementar.
 

Aplicada a fórmula, obtemos para o valor da soma:

 

  S = 2⁶⁴ - 1 

 

Para obter o resultado final devemos elevar o número 2 a sexagésima quarta potência, isto é, multiplicar 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2..... tendo esses produto sessenta e quatro fatores iguais a dois.

Depois do trabalhoso cálculo chegamos ao seguinte resultado: 

 

S = 18 446 744 073 709 551 616 - 1 

 

 

Resta agora, efetuar essa subtração. Da tal potência de dois tirar 1. E obtemos o resultado final: 

 

S = 18 446 744 073 709 551 615 

 

Esse número gigantesco, de vinte algarismos, exprime o total de grãos de trigo que impensadamente o lendário Rei prometeu, em má hora, ao não menos lendário Sessa, inventor do jogo de xadrez.

Referência:

TAHAN, Malba: O Homem que Calculava. 64 ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003. 

Site: Wikepédia

Montagem: Matheusmáthica 

Criação do jogo de xadrez

Xadrez e  sua origem

"O xadrez é uma luta gostosa de emoções” 

Lasker 

Existem diversas versões associadas à criação do jogo de xadrez, muitas pessoas defendem com todas as forças que a origem do xadrez foi na Índia, enquanto alguns outros afirmam com toda certeza que ele surgiu na China muito antes do que na Índia. Infelizmente não chegamos a um acordo sobre tudo isso, pois a origem do xadrez já foi atribuída até ao rei Arthur, ao rei Salomão, aos sábios mandarins contemporâneos de Confúcio, aos Egípcios e aos Gregos, no cerco à Tróia, para distrair os soldados. 

O correto é que tenha se originado na Ásia. O  jogo foi inicialmente proposto e amplamente aceito nesta região devido a seu caráter estratégico e lógico que minimizava o fator sorte. O xadrez é um do jogos mais prestigiados do mundo, sendo tratado muitas vezes como arte ou ciência. Contundo, o documento mais antigo é provavelmente a pintura mural da câmara mortuária de Mera, em Sakarah (nos arredores de Gizé, no Egito). Ao que parece, essa pintura, representa duas pessoas jogando xadrez e data de aproximadamente 3 000 anos antes da era cristã. 

"O tabuleiro de xadrez simboliza a tomada de controle, não só sobre adversários e sobre um território, mas também sobre si mesmo, sobre o próprio eu, porquanto a divisão interior do psiquismo humano é igualmente o cenário de um combate" 

Chevalier e Gheerbrant

Na Índia era conhecido como "o jogo do exército" ou "Chaturanga" e podia ser jogado com dois ou mais jogadores. Algumas teorias recentes indicam que uma regra matemática relacionada ao quadrado mágico poderia reger os movimentos das peças. Graças as viagens dos mercadores e dos comerciantes o jogo se espalhou para leste (China) e oeste (Pérsia). Mais adiante os árabes estudaram profundamente o jogo e se deram conta que ele estava bastante relacionado com a matemática, escreveram vários tratados sobre isto e aparentemente foram os primeiros a formalizar e escrever suas regras.

A primeira menção do xadrez está em um poema Persa em qual menciona que a vinda do jogo foi na Índia. Ele também é mencionado na poesia épica de Firdousi (940-1021). Por volta do ano 651 d.C., com a conquista da Pérsia, os árabes adotam este jogo, valorizando-o e difundindo-o por todo o Norte da África. Foi no último período da Idade Média, que o xadrez recebe sua denominação atual. O processo de difusão do jogo ocorre entre os séculos VI e IX quando chega a Europa com a invasão dos mouros pela península ibérica, Itália e Grécia.

"O Xadrez para mim é como a lógica para a inteligência."

Guilherme Serafim

Uma outra versão bastante aceita para a origem é de que ele tenha se originado na China em 204-203 a.C. por Han Xin, um líder militar, para dar às suas tropas algo para fazer no acampamento de inverno. Um jogo conhecido como "go" que tem um rio, um canhão, um cavalo, uma torre, um rei, um peão e um bispo, sendo que estas quatro últimas peças localizam-se na mesma posição do xadrez ocidental. As peças tem inscrições em caracteres chineses e são colocadas em "pontos". Há duas referências do xadrez na literatura antiga chinesa. A primeira foi de uma coleção de poemas conhecida como "Chu chi". O autor chamava-se Chii Yuan. A segunda é de um famoso livro de filosofia conhecido como "Shuo Yuan" que citava Chu Chi.

Mas existem vários tipos de xadrez: xadrez ocidental, xadrez chinês, xadrez japonês (shogi), xadrez coreano, xadrez burmês, xadrez cambojano, xadrez tailândes, xadrez malaio, xadrez indonésio, xadrez turco e possivelmente até xadrez etíope. Todos tem em comum certos aspectos como: o objetivo é dar xeque-mate ao rei, todos tem o rei no centro, uma torre no canto, um cavalo próximo a ela e peões em frente, e os movimentos dessas peças é idêntico ou quase idêntico ao do xadrez ocidental.

“o xadrez é um jogo de Estado, ou de corte; o imperador da China o praticava”  

Deleuze & Guattari

Durante o século XVII, o interesse pelo xadrez havia se estendido também à literatura, e o jogo era muito apreciado pelos intelectuais. Leibniz, o célebre matemático, considerava o xadrez um bom treinamento mental. O jogo de xadrez atingiu alto grau de popularidade em todo o mundo. Porém, sua prática original está fortemente relacionada a rotina de reis, imperadores e príncipes, ou seja, personagens de alto dignitário.

Portanto, podemos destacar na história do jogo o interesse na totalidade pela a inteligência, a superioridade intelectual, a estratégia, a criatividade e a habilidade Matemática. No entretanto, é interessante notar que estas variam conforme a localidade e a cultura onde é praticada.

 

Referência:

DELEUZE, Gilles e GUATTARI, Félix./ Mil Platôs - capitalismo e esquizofrenia. Vol. 5. Editora 34- São Paulo, 1997.

Julião, Taís. Uma etnografia do xadrez: símbolos e representações. (artigo em doc.)

Site: Clubede Xadrez

Site: Wipédia

"Matemática e Xadrez"

“O xadrez é a ginástica da inteligência”.

Goethe

Considerando o jogo como um instrumento de relacionamento e convivência humana, o xadrez foi uma das estratégias que facilitou o desenvolvimento da matemática em sua forma concreta de estruturas e reforçou o significado de conceitos.

"O xadrez é um mestre que fortalece o espírito e liberta do sofrimento."

Albert Einstein

O Xadrez e a Matemática, são ambas ricas em interdisciplinaridade, no qual, diversos  conceitos  enxadrísticos podem  ser aplicados à Matemática. Alguns  deles  são: estimativa,  coordenadas  cartesianas,  valores  absolutos,  noções  espaciais  e  de  lateralidade, geometria,  área  e  perímetro,  probabilidade,  estatística,  problemas  de  lógica,  progressão geométrica (PG), e vários outros. 

"O Xadrez é arte e cálculo."

Botvinnik

As aplicações xadrez-matemática são vastas e não são necessariamente de nível elementar, já que elas podem concernir: a análise combinatória e o cálculo de probabilidades; a estatística; a informática e isto em dois níveis: aquele da gestão dos torneios e aquele da programação propriamente dita do jogo; a teoria dos jogos de estratégia; o cálculo; a lógica; a topologia.

"O xadrez é uma ciência" 

Gottfried Leibniz

A verdadeira partida de xadrez desenvolve-se na mente do jogador; é lá que ocorre a multiplicidade de variantes e estratagemas que estarão apenas parcialmente representadas no tabuleiro. Um bom enxadrista deve ser capaz de visualizar várias jogadas à frente, sem mover as peças, até confiar em uma determinada linha de jogo. Da mesma forma, um bom matemático precisa abstrair o problema em sua mente, tratando de descobrir sua essência, apenas representando-o no papel quando encontrar a melhor forma de resolvê-lo.

"O Xadrez está mais perto da Matemática do que qualquer outra Ciência."

Karpov

O Xadrez auxilia no desenvolvimento das muitas competências de aprendizagem, enriquecendo seu nível cultural. Além disso, o jogo desenvolve também outras capacidades no enxadrista, como a memória, a concentração, crescimento do pensamento lógico, a valorização do respeito às regras, atenção, autoconfiança, organização, responsabilidade sobre seus atos, o aprendizado na vitória e na derrota. Portanto, temos diversas integração entre a matemática e o xadrez. 

Referências:

Duarte, Rafael de S.;Freitas, Maria Teresa M. - Jogo de Xadrez no Ensino da Matemática. (artigo - UFU).
Blog: Moto Clube do Porto
Site: Instituto Ser

Site: Colégio São José

Site: Wikiquote