Multiplicação de números com sinais iguais e diferentes

 

Todos nós conhecemos muito bem os números naturais: 

0, 1, 2, 3, … 

Esses números são intuitivos e entendemos completamente o que eles representam. Entretanto, em um belo dia, criamos um novo tipo de número, e os chamamos de números inteiros. Tomamos uma reta e um ponto nela e chamamos este ponto de 0. Assim, os números crescem para esquerda como cresciam para a direita, mas dizemos que aqueles são negativos, enquanto estes são positivos. 

É possível demonstrar que, dados as definições de número, adição e multiplicação, os naturais gozam dessas seguinte propriedades. Assim, se a, b, c são números naturais, então

Comutatividade da soma e multiplicação:

a+b=b+a

a.b=b.a

Associatividade da soma e multiplicação:

(a+b)+c=a+(b+c)

(a.b).c=a.(b.c)

Elemento neutro da soma e multiplicação:

a+0=0+a=a

a x 1=a x 1 =a

Lei do corte:

a+c=b+c implica a=b

Distributividade da multiplicação em relação à adição:

(a+b).c= a.c+ b.c

Para os inteiros há mais uma propriedade.

Existência e unicidade do oposto:

a+(-a)=0

Dado esses fatos, vamos ver quanto é a(-b).

a.(-b)=a.(-b)+0=a.(-b)+(a x 0)= a.(-b)+a.(b+(-b))=a.(-b)+a.b+a.(-b)

Logo, 

a.(-b)=a.(-b)+a.b+a.(-b)

Pela lei do corte: 

0=a.b+a.(-b)

Somando -(ab)de ambos os lados: 

a.(-b)=-(a.b)

Logo, o produto de um número positivo com um número negativo é número negativo

Quanto é (-a)(-b)?

-(a.b)+(-a).(-b)=(-a).b+(-a).(-b)=(-a).(b+(-b))=(-a).(0)=0

Logo, 

-(a.b)+(-a).(-b)=0

Somando ab de ambos os lados: 

(-a).(-b)=a.b

Conclui-se que o produto de dois números negativos é um número positivo.