Questão 169 da prova azul do segundo dia do Enem 2018

(Enem 2018) Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material publicitário de um estaleiro para divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento. No desenho desse navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1 : X.

Os valores possíveis para X são, apenas,

 

A) X > 1 500.      B) X < 3 000.    C) 1 500 < X < 2 250.     D) 1 500 < X < 3 000.    E) 2 500 < X < 3 000.

 

Processo Resolutivo

 

Sabendo que a escala é dada pela a razão entre a medida do desenho e a medida da realidade, tem-se:

A unidade no desenho é cm. Então:

 

15 m = 1500 cm e 90 m = 9000 cm

 

i)                    No desenho, a altura do guindaste deve estar entre 0,5 cm e 1 cm. Tem-se:

 

 

 

Para o guindaste, devemos ter 1 500 < x < 3 000.

 

ii)                  No desenho, o comprimento da esteira deve ser maior que 4 cm. Tem-se

 

 

Se o comprimento no desenho deve ser maior que 4, então x deve ser menor que 2250, ou seja,  x < 2250.

 

Por (i) e (ii) tem-se que 1 500 < X < 2 250.

 

Questão 174 da prova azul do segundo dia do Enem 2013

 (Enem 2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.

Esse número é:

 

A) menor que 10.

B) maior que 10 e menor que 20.

C) maior que 20 e menor que 30.

D) maior que 30 e menor que 40.

E) maior que 40.

 

Processo Resolutivo

 

A escala apresenta a relação entre duas medidas, a do desenho e a real. No mapa do Brasil, 1 unidade do desenho equivale a 25.000.000 do real. Já no mapa do Rio de Janeiro, 1 unidade equivale  a 4.000.000 do real.

 

Assim, temos:

 

 

Logo,

 

 

Então, o número de vezes que foi ampliada a área é um um número maior que 30 e menor que 40.

Questão 136 da prova azul do segundo dia do Enem 2012

(Enem 2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

 

A) 1:700                   

B) 1:7 000                

C) 1:70 000                   

D) 1:700 000                

E) 1:7 000 000

 

Processo Resolutivo

 

A escala mostra a razão entre o desenho e a realidade. Assim, o atleta percorreu uma distância dez vezes maior que a maratona, portanto 420Km, convertendo esta distância para centímetros, 420Km= 42000000cm, assim

 

 

 

Questão 145 da prova azul do segundo dia do Enem 2012

(Enem 2012) Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?

 

A) I                            

B) II                         

C) III                             

D) IV                       

E) V

 

Processo Resolutivo

Sendo ℓ a medida do lado de cada quadrado, tem-se em

Assim,  as alturas das árvores I, II, III, IV e V, são respectivamente: 900ℓ, 450ℓ, 900ℓ, 1350ℓ e 675ℓ.

Portanto, a árvore IV tem a maior altura real.

Questão 161 da prova azul do segundo dia do Enem 2011

(Enem 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela Caatinga, em quase 800 mil km² de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo.

Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010.

 Segundo esse levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de:

 

A) 250.           

B) 25.                         

C) 2,5.                          

D) 0,25.                       

E) 0,025.

 

Processo Resolutivo

 

A densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km², é de:

Questão 146 da prova azul do segundo dia do Enem 2011

(Enem 2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:

 

A) 1 : 250.              

B) 1 : 2 500.             

C )1 : 25 000.        

D) 1 : 250 000.          

E) 1 : 25 000 000.

 

Processo Resolutivo

 

O mapa observado pelo estudante está na escala de:

 

Questão 137 da prova azul do segundo dia do Enem 2011

 (Enem 2010) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT) O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetros, “maior olho do mundo voltado para o céu”.

Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm.

Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?

 

A) 1 : 20                 

B) 1 : 100                 

C) 1 : 200              

D) 1 : 1 000             

E) 1 : 2 000

 

Processo Resolutivo

 

Sendo de 42 m = 4200 cm o diâmetro do espelho primário do telescópio e 2,1 cm o diâmetro do olho humano, a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano e o diâmetro primário do telescópio citado é:

O Problema do Sofá em Movimento

O matemático Leo Moser colocou em 1966 o seguinte curioso problema matemático: "qual é a forma da maior área do avião que pode ser movida em torno de um canto em ângulo reto em um corredor bidimensional de largura 1?"

Podemos começar com um quadrado 1 por 1.

Esse semicírculo com raio 1 se sai melhor. Tem área π2.

Podemos continuar a fazer melhorias. O matemático John Hammersley notou que, se o semicírculo for cortado em dois quartos de círculo, que são separados e o espaço entre eles preenchido com um bloco retangular, obtemos uma forma de sofá maior, que pode ser movida na esquina se apenas um buraco semicircular menor também for removido do bloco retangular.

Em 1992, Joseph Gerver encontrou uma forma melhor, com uma área um pouco maior de cerca de 2.2195. Gerver não conseguiu provar que sua solução era ótima. Até hoje, 50 anos após a pergunta, ainda é a melhor solução.

Tentativas de encontrar limites superiores foram feitas. Os matemáticos definiram uma "constante do sofá", que é apenas a resposta para esse problema! Yoav Kallus e Dan Romik provaram um limite superior em junho de 2017, limitando o sofá constantemente a 2,37.

Referências:

D. Romik. Equações diferenciais e soluções exatas no problema do sofá em movimento. Para aparecer em Matemática Experimental.

Y. Kallus, D. Romik. Limites superiores aprimorados no problema do sofá em movimento. Pré-impressão, 2017.

Movendo o problema do sofá na Wikipedia.

E. W. Weisstein. Movendo o problema do sofá no Wolfram MathWorld.

J. L. Gerver. Ao mover um sofá em uma esquina. Geometriae Dedicata 42 (1992), 267-283. doi: 10.1007 / BF02414066.

P. Gibbs. Um estudo computacional de sofás e carros. Pré-impressão, 2014.

Quadrados Iguais

Dois quadrados de lado 1 têm um centro comum. Mostre que a área da interseção é maior que 3/4.

Solução

Observe que um dos quadrados pode ser obtido do outro via rotação ao redor do centro comum. Essa rotação delineia um círculo inscrito no quadrado. Assim, a área da interseção deve ser maior que á área do círculo, a qual é π/4 e que é maior que 3/4.

Número Euleriano ou Constante de Napier

 Você sabia que "e" (2,71828...) é uma constante numérica, assim como, pi (3,14159...).  

O valor de "e" é encontrado em muitas fórmulas matemáticas, como aquelas que descrevem um aumento ou diminuição não linear, como crescimento ou decaimento (incluindo juros compostos), a "curva de sino" estatística, a forma de um cabo suspenso ou um arco permanente. 

Esse número irracional e transcendente também aparece em alguns problemas de probabilidade, alguns problemas de contagem e até mesmo no estudo da distribuição de números primos. No campo da avaliação não destrutiva ela é encontrada em fórmulas como as usadas para descrever a atenuação do ultrassom em um material. A energia sonora decai à medida que se afasta da fonte sonora por um fator relativo a "e". 

Seu valor mais utilizado é de aproximadamente 2,71828, entretanto já foram calculado, por Sebastian Wedeniwski, 869.894.101 casas decimais deste número. 

e = 2,71828182845904523536028747135266...

O valor de "e"  pode ser encontrado quando se aplica o limite n tendo ao mais infinito na na expressão 

( 1 +1n)n

O número "e" foi estudado pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler na década de 1720, embora sua existência estivesse mais ou menos implícita no trabalho de John Napier, o inventor dos logaritmos, em 1614. Euler também foi o primeiro a usar a letra e para em 1727 (o fato de ser a primeira letra de seu sobrenome é coincidência). 

Como resultado, às vezes e é chamado de Número Euleriano ou Constante de Napier. Foi provado por Euler que "e" é um número irracional, então sua expansão decimal nunca termina, nem é periódica.

Outra maneira eficaz de calcular o valor de "e" é por meio da soma infinita de fatoriais como denominadores do numerador 1. Assim, 

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

Existem outras maneiras de encontrar essa constante, você sabe dizer quais?

A Constante de Kaprekar

A Constante de Kaprekar é uma característica do número inteiro 6174, descoberta pelo matemático indiano D. R. Kaprekar, que funciona da seguinte maneira:

a) Escolha um número de quatro dígitos. (a única condição é que tenha pelo menos dois dígitos diferentes)
b) Ordene os dígitos do número em ordem decrescente e depois crescente.
c) Subtraia o menor número do maior.

d) Repita os outros passos b) e c).

O processo acima, conhecido como rotina de Kaprekar, sempre convergirá para o seu ponto fixo, o valor 6174, em no máximo sete iterações.

Por exemplo, escolhendo o número 1988, façamos:

9881-1889 = 7982
9872-2789 = 7083
8730-0378 = 8352
8532-2358 = 6174

Obedecendo a  rotina de Kaprekar teste isso para outros números de quatro dígitos. 

Depois faça essa rotina para os números de três dígitos e descubra qual é o valor da constante e o máximo de iterações possíveis.