Teorema da Curva de Jordan e o campo de futebol

Um campo de futebol diferente

No futebol a regra é clara: a bola está fora de campo quando ultrapassa completamente as linhas que o delimitam, sejam de lateral ou de fundo. Do contrário, está dentro. Mas não há nada simples que não possa ser feito complicado, e saber se uma bola está dentro ou fora de campo pode se tornar um tanto mais difícil se, por exemplo, o campo fosse demarcado como na figura ao lado, onde a limitação do campo está de cor preta.

Pra você a bola "ponto A" está dentro ou fora de campo? 

Haveria muito mais espaço para discutir no dia seguinte se era mesmo escanteio ou se o gol era realmente válido. Impedimento, então…

Não é necessário um esforço muito grande para descobrir, graças a Marie Ennemond Camille Jordan, apesar de ter nome de mulher, ele foi um grande matemático que ficou reconheido pelo teorema que leva o seu nome, ou seja,  Teorema da Curva de Jordan. 

A maneira de se enunciar tal teorema, bem como a sua demonstração, pode variar dependendo do contexto em que será empregado e da necessidade de cada autor que irá utilizá-lo. De modo geral, e bem resumidamente, a idéia central do teorema na topologia é:

“Uma curva de Jordan separa o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada, sendo o traço da curva a fronteira comum das duas regiões.”

Uma  “Curva” pode ser entendida da maneira comum, embora em matemática uma reta também seja uma curva. Ela será “fechada” se seu início coincidir com seu fim, como em um círculo, e “simples” se não cruzar a si mesma. Essas curvas fechadas simples são também chamadas de curvas de Jordan. 

Apesar de parecer um teorema fácil de ser formaliado e demonstrado, Camille Jordan, foi o primeiro a declarar em 1887 e fornecer uma demonstração, posteriormente se descobriu que sua prova estava errada, consequentemente quase vinte anos depois que se chegou a uma demonstração rigorosamente correta.

Assim, uma forma simples de descobrir se um ponto está dentro ou fora de uma curva fechada: basta traçar uma reta que vá do ponto até o exterior e contar quantas vezes ela corta a curva.

• Se nesse caminho a semi-reta cruzar a curva um número ímpar de vezes, então o ponto está dentro da curva. 
• Se for um número par, está fora.

Intuitivamente é fácil entender isto. Se a bola está dentro de campo, para sair basta cruzar a demarcação uma vez. O número 1 é ímpar. A bola pode até voltar para dentro de campo depois disso, cruzando novamente a linha, mas para sair terá então que cruzá-la ainda outra vez. O que está dentro de campo deve sempre cruzar sua fronteira um número ímpar de vezes para acabar fora. Geralmente, e em um jogo de futebol com um campo decente, este número é 1.

Caso a bola já esteja fora de campo, para voltar ao jogo e tornar a sair, ela terá que cruzar as delimitações um número par de vezes. Pode entrar mais uma vez, mas para tornar a sair, completará um outro par. E assim por diante. O que está fora de campo sempre cruzará a linha um número par de vezes para voltar a ficar de fora.

Traçado retas ou curvas

Sabendo disto agora é fácil descobrir se a bola "ponto A" está dentro ou fora do campo apresentado. Note que foram traçadas quatro curvas, mas apenas uma seria necessária. De acordo com a figura ao lado temos os seguintes cruzamentos: AB=5, AC=9, AD=3 e AE=1. Assim, todas acabam cortando a curva um número ímpar de vezes para ir da bola que está no ponto A a um ponto exterior. Portanto a bola está dentro do campo.

Você pode ter notado os quadrados azuis nas semi-retas AD e AE. São pontos onde as retas tocaram a curva tangencialmente,ou seja, tais pontos não contam como cruzamentos. A regra é clara: a bola precisa ultrapassar completamente a marcação!

Salientamos que não é necessário que seja uma semi-reta ligando o ponto ao exterior. Você pode traçar uma reta não tão reta assim, ou mesmo uma curva tortuosa em seu caminho até a liberdade (ou o gol, ou o escanteio). Assim, toda curva que você poder traçar com um lápis e contar quantos cruzamentos faz até o exterior deve funcionar.

Referência:

Site: Sedentário
Site: Wikepédia