Pré-Cálculo

O livro Pré-Cálculo é fruto do trabalho de vários professores que vêm lecionando os cursos de Pré-Cálculo na UFRGS, que abriga também diversas atividades oferecidas pelo Departamento de Matemática aos alunos das disciplinas de Cálculo pelo Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática. Nesse sentido, os capítulos do livro são escritos por diferentes professores em uma linguagem de transição entre a linguagem formal dos livros de Cálculo e a dos livros de Matemática do Ensino Médio, sempre que possível, a teoria é apresentada através de exemplos motivadores. Este material encontrasse disponível para download gratuitamente clicando aqui.

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Autores: Doering, Claus Ivo; Nacul, Liana Beatriz Costi; Doering, Luisa Rodriguez 

Conteúdos: Cálculo; Funções reais; Geometria analítica; Polinômios; Pre-calculo; Trigonometria

Série: Graduação. Edição: 3. ed. Editora: Editora da UFRGS. Ano: 2012.

Acessado em 13 Ago. 2020.

Frações Decimais

Você Sabia?

Que em 1585, Simon Stevin de Bruges utilizou-se de frações decimais sendo representadas com dígitos como décimos, centésimos e milésimos. A forma de representar tais casas decimais ainda era diferente da nossa atual. Cada casa possuía um círculo acima ou depois de cada dígito. Dentro deste círculo, encontrava-se o expoente correspondente à posição de base 10 ocupada por tal casa. Por exemplo, um número como 3,54 tinha a seguinte descrição:

É importante ressaltar que inicialmente foi pensando que Stevin tinha inventado as frações decimais até meados do século XX, mas os pesquisadores descobriram mais tarde que esse conceito já foram introduzidas pelo islâmico al-Uqlidisi em um livro escrito em 952. Além disso, o desenvolvimento sistemático de frações decimais foi dada bem antes de Stevin, especificamente no livro Miftah al-Hisab escrito por al-Kashi em 1427. Após uma década, Joost Bürgi substituiu os círculos com expoentes para apenas um círculo sobre o algarismo que separa inteiros de decimais. Assim, teríamos:

Bürgi também se dedicou ao estudo de formas mais sucintas de se operar com números extensos. Para isto, utilizava-se de métodos matemáticos muito semelhantes aos logaritmos. Foi somente com John Napier, em 1614, que tal abordagem foi primeiramente publicada e divulgada entre a comunidade matemática. E o uso de logaritmos deu às frações e aos decimais o fôlego necessário. Napier passou a separar as partes inteiras das decimais e centesimais com ponto, o que nos causa confusões até hoje. A explicação é porque no Brasil utilizamos a notação de Wilbord Snellius, separando inteiros e casas decimais pela vírgula.

Prof. Mateus Oliveira

Referência:

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. São Paulo: Ed. da UNICAMP, 2004.

Função Polinomial do 1º grau

Definição:

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 2x - 1, onde a = 2 e b = - 1

f(x) =  x + 7, onde a = 1 e b =  7

f(x) = - x, onde a = -1 e b = 0

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, ele está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Note que para x = 0, temos f(0) = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy, especificamente, sempre no ponto (0, b).

Gráfico:

O gráfico dessa função é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Quando o coeficiente de x é positivo (a > 0) a função é crescente, no sentido anti-horário o ângulo entre o eixo Ox e a reta será sempre menor que 90º. Já quando o coeficiente de x é negativo (a < 0) a função é decrescente, no sentido anti-horário o ângulo entre o eixo Ox e a reta será sempre maior que 90º. 

Dica: 

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos distintos e ligá-los com o auxílio de uma régua;

Um ponto da reta sempre será (0, b), então basta encontrar somente mais um outro ponto qualquer;

Se b ≠ 0, então encontre o ponto f(x) = 0, ou seja, o zero da função, para isso basta resolver a equação ax + b=0 que terá como solução S = {-b/a}. Logo, o outro ponto será sempre (-b/a, 0).

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função f(x) = 2x - 1, pelas dicas dadas, temos de imediato os seguintes pontos (0, -1) e (1/2, 0). Logo, basta localizar os pontos no plano cartesiano e traçar uma reta que passe por eles.

Prof. Mateus Oliveira

Registros Matemáticos

Ao observar o mundo que nos cerca, percebemos que é difícil encontrar uma situação que não esteja direta ou indiretamente relacionada com a Matemática. Por exemplo, quantos atletas participam de um jogo de futebol, quantos metros quadrados tem o seu quarto, qual foi a quantidade de água que você bebeu hoje?

Autor:

Hoje, contamos e registramos quaisquer quantidades com símbolos e regras estabelecidos, mas isso nem sempre foi assim.

Você sabe dizer como surgiu os números?

Prof. Mateus Oliveira

Questão 41 da ITA/2020

A Amizade Quadrática

A Amizade Quadrática acontece quando a soma dos algarismos de cada número elevado ao quadrado é igual ao outro número que também está sendo elevado ao quadrado como, por exemplo, o 13 e 16. 

Note que 13² = 169 e a soma dos seus algarismos é  1 + 6 + 9 = 16. 

Já 16² = 256 onde a soma dos algarismos são 2 + 5 + 6 = 13.

Logo, existe uma amizade quadrática entre o número 13 e o 16.

Você consegue encontrar outros números com essa propriedade? Compartilhe conosco.

Prof. Mateus Oliveira

Referência:

MALBA, T. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1994.

Quadro Mágico sempre 34

Quadrado Mágico sempre 15

Quadrado 12 por 12

Quadrados, quadrados, quadrados

Diferença entre quadrados: uma demonstração geométrica

Autor: Mateus Oliveira

Uma explicação algébrica:


Nota-se na figura acima dois quadrados com áreas x² e y², assim, foi imposta a seguinte diferença:

x² - y²

Resultando nos retângulos de áreas y(x-y) e no quadrado  de área (x - y)²:

2y.(x - y) + (x - y)²

E colocando (x-y) em evidencia encontramos a área do retângulo final, pois 

(x - y).(x - y + 2y) = (x - y).(x + y)

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Prof. Mateus Oliveira