Primo Módulo 6

 Mostre que todo primo (exceto 2 ou 3) é congruente módulo 6 a 1 ou 5. 

Demonstração

Todo número inteiro é expresso por uma das formas 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4 e 6n + 5. 

As formas 6n, 6n + 2, 6n + 4 são características de números pares, inclusive o 2 (para 6n + 2, com n = 0). Portanto, todos esse números, exceto 2, são compostos.

A forma 6n + 3, caracteriza os múltiplos de 3.  Para n = 0, 6n + 3 = 3  que é primo.  Para os demais, 6n + 3 são compostos. 

Assim, as formas 6n + 1 e 6n + 5 podem constituir números primos, exceto o 2 e o 3 conforme relatado acima. 

Deste modo, os restos das divisões dos primos, exceto 2 ou 3, por 6, são 1 ou 5.  

Portanto, podemos conclui que os primos, exceto 2 e 3, são congruentes com 1 ou 5. 

c.q.d.