Um navio que voltava de Salvador, foi atingida por uma violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, pela sua bravura, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.
No meio da noite um marinheiro resolveu tirar sua parte. Dividiu as moedas em 3 partes e sobrou uma moeda, que jogou ao mar, retirando a sua parte. Mais tarde outro marinheiro fez o mesmo, jogando também a moeda que sobra ao mar. Mais adiante o terceiro marinheiro repete a operação, retirando a sua parte e jogando a moeda sobrante ao mar. Pela manhã o almoxarife divide as moedas em três partes, distribui entre os 3, e fica como paga pelo trabalho, com a moeda que sobra.
Quantas eram as moedas inicialmente e quantas moedas cada marujo levou?
(adaptada)
Referência:
TAHAN, Malba: O Homem que Calculava. 64 ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003.
Sejam:
ResponderExcluirx: quantia inicial de moedas na caixa
a: quantia inicialmente levada pelo 1º marujo
b: quantia inicialmente levada pelo 2º marujo
c: quantia inicialmente levada pelo 3º marujo
y: quantia dada pelo almoxarife a cada um dos 3, no final
Assim, tem-se que:
{x = 3a + 1
{2a = 3b + 1
{2b = 3c + 1
{2c = 3y + 1
Tirando "c" em função de "y" na última equação e fazendo as substituições até chegar na 1ª equação, temos o seguinte:
2c = 3y + 1
c = (3y + 1)/2
2b = 3c + 1
2b = 3.[(3y + 1)/2] + 1
Resolvendo, temos:
b = (9y + 5)/4
2a = 3b + 1
2a = 3.[(9y + 5)/4] + 1
Resolvendo, encontramos:
a = (27y + 19)/8
x = 3a + 1
x = 3.[(27y + 19)/8] + 1
Resolvendo, chegamos à seguinte expressão:
x = (81y + 65)/8
Donde:
x = 81y/8 + 65/8
x = (80y + y)/8 + (64 + 1)/8
x = 80y/8 + y/8 + 64/8 + 1/8
x = 10y + y/8 + 8 + 1/8
x = 10y + 8 + (y + 1)/8
Como "y" é um valor inteiro (pois representa uma quantidade de moedas - e não temos "meia" moeda, nem "1/3" de moeda), temos que "x" também é um valor inteiro.
Mas, para que "x" seja inteiro, o quociente da divisão "(y + 1)/8" deve ser inteiro e, portanto, "y + 1" tem que ser "múltiplo de 8".
Assim, "y + 1" deve ser escrito na forma:
y + 1 = 8k , com k ∈ Z ("k" é inteiro)
Logo, temos:
y = 8k - 1
Fazendo a substituição, vem:
x = 10y + 8 + (y + 1)/8
x = 10.(8k - 1) + 8 + 8k/8
x = 80k - 10 + 8 + k
x = 81k - 2 , com k ∈ Z
Como "x" é um número entre 200 e 300, ou seja:
200 < x < 300
devemos ter k = 3, pois para valores menores que k = 3, obteremos resultados inferiores a 200; e para valores maiores que k = 3, obteremos resultados maiores que 300.
Assim, temos:
x = 81.3 - 2
x = 243 - 2
x = 241 moedas
Resposta 1: Inicialmente, as moedas eram em número de 241.
241 = 3a + 1
a = 80
160 = 3b + 1
b = 53
106 = 3c + 1
c = 35
70 = 3y + 1
y = 23
1º marujo ---> a + y = 103 moedas
2º marujo ---> b + y = 76 moedas
3º marujo ---> c + y = 58 moedas
almoxarife ---> Recebeu 1 moeda
atiradas ao mar ---> 3 moedas
Total = 103 + 76 + 58 + 1 + 3 = 241 moedas
Resposta 2: O 1º marinheiro levou 103 moedas; o 2º levou 76 moedas; e o 3º levou somente 58 moedas.
Abraço! ;)
Muito bom Júnior! Vi uma solução apresentada pelo Professor Cristiano que utiliza alguns artifícios e consegue uma solução menos trabalhosa.
ResponderExcluirVeja em:
https://www.youtube.com/watch?v=VZLZMspFgxU
Hilton
conseguiu uma solção menos trabalhosa.
Excelente!
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