O que são Quatérnions?

Os quatérnions constituem-se em uma clara generalização do sistema dos números complexos.

Sabemos que os números complexos são obtidos pela soma x + yi, onde x e y são números reais e i satisfaz a condição: i² = -1.

 

Já os quatérnions são formados pela adição x + yi + zj + xk,  ou seja: 

Q = x + yi + zj + wk

onde x, y, z e w são reais e i, j e k, satisfazem as condições: 

i² = j² = k² = ijk = -1

ij = -ji = k
jk = -kj = i
ki = -ik = j 

Com isso, as partes imaginárias apresentam a propriedade de serem não-comutativos em relação a multiplicação.

Histórico

Após descobrirem a representação dos números complexos, várias pessoas tentaram descobrir números "super-complexos'', como os números complexo é representado pelo plano, muitos tentaram uma solução usando não mais pares de números reais mas sim triplas de números reais, ou seja, objetos da forma (x,y,z). 

Embora a definição da propriedades aditiva complexa seja válida destes objetos, o mesmo não o é com relação as propriedades multiplicativas, e neste ponto algumas propriedades falharam. 

"As dificuldades que muitas pessoas têm sentido em relação à doutrina das Quantidades Negativas e Imaginárias em Álgebra fizeram com que eu, desde há muito, concentrasse minha atenção nelas ..." Hamilton

Em torno de 1830 Hamilton procurava por tal sistema de triplas. Ao contrário de outros matemáticos que atacaram este problema, Hamilton tinha claro a abstração do problema: as propriedades multiplicativas dos números complexos "deveriam'' ser satisfeitas para as triplas, assim como a distributividade (a adição não apresenta problemas). 

Após várias tentativas infrutíferas, ficou claro para Hamilton que alguma daquelas propriedades não deveria ser satisfeita. Foi só em outubro de 1843 que Hamilton descobriu como uma estrutura coerente poderia ser obtida, bastando para isso abrir mão de apenas uma daquelas propriedades. A solução era procurar não por triplas (x,y,z) mas sim por quadras (x,y,z,w). Assim, tal sistema foi denominado quatérnions. 

A partir de sua invenção, a multiplicação de números complexos dá conta do produto de segmentos orientados, cujo resultado pode ser interpretado como uma rotação no plano. Essa possibilidade de operacionalização, por sua vez, contribuiu para que entidades de natureza mista, número-direção, se estabelecessem definitivamente.

Referência:

HAMILTON, W.R. The mathematical papers, v. III, Álgebra. Cambridge, University Press, Brooke Crutchley, University Printer, 1967.

Seti: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica