Um número irracional no denominador?

Por Mateus Oliveira

De modo geral, o denominador (a parte de baixo) de uma fração não pode ter números irracionais. Se isso acontecer com um problema que estiver resolvendo, você vai ter que multiplicar a fração por um ou mais valores que ajudem a remover essa expressão. Mas, qual é o motivo para não deixar um número irracional no denominador?

Por exemplo, se você encontrar 3/√3 na sua solução, vai ser preciso racionalizar para eliminar a √3 do denominador.

A razão pra isso é algo bem simples, pois está relacionado a possibilidade de diminuir o erro (desvio) da conta. É fácil entender… todo número irracional, quando é escrito na forma decimal (0,abcdef…) acaba-se cometendo um erro de aproximação/arredondamento, concorda? 

Pois bem, se esse termo “impreciso” estiver no numerador essa “imprecisão” é dividida, ou seja, o erro é minimizado. Por outro lado, se deixarmos o termo “impreciso” no denominador, maximizaremos o erro/desvio do resultado.

Vou utilizar um exemplo que não tem a ver com irracionais, porém vai facilitar a compreensão desse argumento:

Observando a fração 1/1 é fácil notar que o resultado é 1, certo?

Se houver uma imprecisão no numerador, por exemplo 0,99, a fração fica 0,99/1 = 0,99, ou seja, foi desviado somente 0,01 do resultado correto.

Agora suponha que a mesma imprecisão esteja no denominador. Assim, tem-se que 1/0,99 = 1,010101…, ou seja, foi desviado do resultado correto um valor aproximado de 0,010101…

Notou como é melhor (mais exato ou preciso) deixar o termo impreciso no numerador?

Demonstração para um inteiro ímpar

Demonstre que se a é um inteiro ímpar então a²  ≡ 1 (mod. 8)

 

Demonstração

Todos os inteiros são de uma das formas, 4k, 4k + 1, 4k + 2  ou 4k + 3.  

Sendo assim, serão ímpares as formas 4k + 1 e 4k + 3.

Logo,

 a² = (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 

= 8(2k² + k) + 1 = 8n + 1  ≡ 1 (mod. 8)

e

 a² = (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 

= 16k² + 24k + 8 + 1 = 8(2k² + 3k + 1) + 1= 8n' + 1   ≡ 1 (mod. 8)

c.q.d.

Demonstração do mdc (a, m) = mdc (b, m)

Demonstre que, se a ≡ b (mod. m) então mdc (a, m) = mdc (b, m). 

Demonstração

Se a ≡ b (mod. m) então a = xm + r e b = ym + r. Assim, temos duas possibilidade:

Para r = 0, m é um divisor de a ⇒ mdc (a, m) = m. 

Da mesma forma, m é um divisor de b ⇒ mdc (b, m) = m. 

Dessa forma, concluímos que mdc(a, m) = m = mdc (b, m).

Para r ≠ 0, mdc (a, m) = mdc (m, r) e mdc (b, m) = mdc (m, r) de acordo com o algoritmo de Euclides ou processo das divisões sucessivas. 

Dessa forma, mdc (a, m) = mdc (m, r) = mdc (b, m).

c.q.d.

Primo Módulo 6

 Mostre que todo primo (exceto 2 ou 3) é congruente módulo 6 a 1 ou 5. 

Demonstração

Todo número inteiro é expresso por uma das formas 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4 e 6n + 5. 

As formas 6n, 6n + 2, 6n + 4 são características de números pares, inclusive o 2 (para 6n + 2, com n = 0). Portanto, todos esse números, exceto 2, são compostos.

A forma 6n + 3, caracteriza os múltiplos de 3.  Para n = 0, 6n + 3 = 3  que é primo.  Para os demais, 6n + 3 são compostos. 

Assim, as formas 6n + 1 e 6n + 5 podem constituir números primos, exceto o 2 e o 3 conforme relatado acima. 

Deste modo, os restos das divisões dos primos, exceto 2 ou 3, por 6, são 1 ou 5.  

Portanto, podemos conclui que os primos, exceto 2 e 3, são congruentes com 1 ou 5. 

c.q.d.

Primo Módulo 4

 Mostre que todo primo (exceto 2) é congruente módulo 4 a 1 ou 3. 

Demonstração

Todo número inteiro tem uma das formas 4n, 4n + 1, 4n + 2 ou 4n + 3.

Se k é primo, então k = 4n e K = 4n + 2 são pares. Assim, esse números, exceto k =2, são números compostos.

Dessa forma, se k é primo (exceto 2) ele terá uma das formas 4kn+1 ou 4n + 3. 

Portanto, os restos das divisões por 4 serão 1 ou 3, o que implica que são congruentes com 1 ou 3. 

c.q.d.