MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

Sejam Bem-Vindos a MatheusMáthica....

Seguidores

quinta-feira, 25 de fevereiro de 2010

Aritmética do chefe + empregado

Chefe esperto + Empregado esperto = Lucro
Chefe esperto + Empregado burro = Produção
Chefe burro + Empregado esperto = Promoção
Chefe burro + Empregado burro = Hora Extra

A matemática do homem + mulher

HOMEM ESPERTO + MULHER ESPERTA = ROMANCE
HOMEM ESPERTO + MULHER BURRA = CASO
HOMEM BURRO + MULHER ESPERTA = CASAMENTO
HOMEM BURRO + MULHER BURRA = GRAVIDEZ

Em 6 ou 8 pedaços?

 
 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

São mais que parecidas

 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

Cabri Géomètre II

O Cabri Géomètre II  (ou simplesmente Cabri) é um software de construção em geometria.

Desenvolvido pelo Institut d'Informatiqe et  de  Mathematiques  Appliquees  em  Grenoble (IMAG) e  é  o  resultado  da colaboração constante de cientistas da informática, especialistas em educação e professores.  
É um software de construção que nos oferece “régua e compasso eletrônicos”, sendo a interface de menus de construção em linguagem clássica da Geometria. Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem.


Através de menus e botões, esta nova versão do Cabri apresenta uma interface gráfica amigável, tornando-o muito mais fácil de ser utilizado do que em versões anteriores.

Característica
    Portanto o Cabri possui muitos recursos na construção das Figuras geométricas possibilitando movê-las e deformá-las, permitindo ao estudante explorar e investigar desde a geometria elementar até a geometria mais avançada. O programa pode ser utilizado para diferentes níveis de aprendizado, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio.

    Com o Cabri II, as aulas de Geometria se tornam mais dinâmicas e produtivas, fazendo com que os objetivos educacionais sejam amplamente atingidos.

    quarta-feira, 24 de fevereiro de 2010

    O Diabo dos Números

    Um livro de cabeceira para todos aqueles que têm medo da Matemática

    O Diabo dos Números de H. Magnus Ensenberger, conta a história de Roberto, um menino  de 11 anos imaginativo que sonha com peixes enormes que engolem seres humanos, escorregas intermináveis que terminam em abismos e outras maluquices e que considera a Matemática um amontoado de números e fórmulas sem qualquer sentido.
    A relação de Roberto com a Matemática começa a modificar-se quando, num dos seus milhares de sonhos, Roberto encontra Teplotaxl, o Diabo dos Números.

    Em 12 noites, 12 sonhos, o diabo muda por completo a imagem que o rapaz tem da Matemática. O personagem desafia Roberto com problemas e enigmas que, ao longo dos 12 sonhos, o fazem perceber que aprender a Matemática pode ser uma boa aventura. Números triangulares, expoentes, séries de Bonatchi, fracções, tornam-se numa grande festa e perdem a sua usual aparência ameaçadora.

    No final do livro, o autor faz um "Aviso" aos leitores. Há termos que são utilizados no livro que não são adequados em Matemática.

    O Diabo dá-nos duas pistas que fazem do livro uma leitura essencial para todos os professores de Matemática. A primeira, que nem sempre as dificuldades dos estudantes em relação à Matemática são problemas dos estudantes mas resultado de uma inadequação relativa à forma como a Matemática é ensinada na escola. A segunda, que sem desafios a vencer é difícil conseguir que os alunos se encantem com as matérias.

    Editora: Companhia das Letras
    Autor: HANS MAGNUS ENZENSBERGER
    ISBN: 8571647186
    Origem: Nacional
    Ano: 2000
    Edição: 1ª
    Número de páginas: 266
    Acabamento: Brochura
    Formato: Médio
    Gênio Indomável
    Em Boston, um jovem de 20 anos chamado Will Hunting (Matt Damon) que já teve algumas passagens pela polícia e é servente de uma universidade, revela-se um gênio em matemática e, por determinação legal, precisa fazer terapia, mas nada funciona, pois ele debocha de todos os analistas, até se identificar com um deles, Sean Maguire (Robin Williams).

    Neste longa de 1997, o gênio escondido por trás de Will Hunting foi descoberto quando um professor coloca no quadro-negro um problema matemático que julga ser de impossível solução pelos alunos que freqüentam suas aulas. Alguns dias depois, o professor é surpreendido com a resposta anotada numa das lousas do corredor da universidade, assim como a solução do problema equacionada em suas diversas etapas.

    Esta obra é considerada uma inspiração para descobrirmos o gênio que existe dentro de cada um de nós e um estímulo para corrermos atrás de uma chance de nos aprofundar, expandir e aperfeiçoar nossos conhecimentos.


    Titulo original: (Good Will Hunting)
    Lançamento: 1997 (EUA)
    Direção: Gus Van Sant
    Atores: Matt Damon , Robin Williams , Ben Affleck , Stellan Skarsgard , Minnie Driver
    Duração: 126 min
    Gênero: Drama


    Trailer



     

    segunda-feira, 22 de fevereiro de 2010

    Sequência numérica III

    Determine o próximo número da sequência:



    1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ... 






    Referência:

    sábado, 20 de fevereiro de 2010

    Teorema do Arbelo de Arquimedes

     Teorema:

    Sejam  P, Q e R três pontos sobre uma reta, com Q entre P e R. Em seguida, construímos semicírculos em um mesmo lado da reta com diâmetros PQ, QR e PR. Um arbelo é uma figura limitada por esses três semi-circulos. Traçamos a perpendicular a PR em Q, interceptando o semi-círculo maior em S. Então a área do arbelo é igual a área C do círculo com diâmetro QS.

    Demonstração 

     
    c.q.d.
    Fonte: Roger B. Nelsen, Lewis & Clark College

    Hexágono regular inscrito em um círculo com 6 lúnulas sobre seus lados

    Teorema: 

    Se um hexágono regular está inscrito em um círculo e 6 lúnulas são construídas sobre seus lados, então a área do hexágono é igual a área das  6 lúnulas mais a área de um círculo cujo diâmetro é igual ao comprimento do lado do hexágono. (Hipócrates de Chios,  440 a.C.)


    Demonstração

     c.q.d.

    Fonte: Roger B. Nelsen, Lewis & Clark College

    quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010

    Pérola da raiz




    Autor da imagem: Desconhecido



    Referência:

    Pérola do Seno



    Autor da imagem: Desconhecido



    Referência:

    Matemática do papagaio - Fala Mestre com Thomas O'brien

    O educador Thomas O`Brien trocou a decoreba pelo construtivismo. E sugere que seus colegas sigam o mesmo caminho

    "O que eu chamo de matemática do
    papagaio é fazer o aluno decorar
    conteúdos para apresentá-los toda
    vez que o professor desejar".

    "Comecei a lecionar há 35 anos pelo modo tradicional: anestesiava o paciente, empurrava fórmulas e conceitos goela abaixo e depois testava para ver se estava tudo bem digerido!" Com essa frase, o matemático e educador americano Thomas O’Brien quebra logo de início as expectativas de quem imagina encontrar nele um sisudo estudioso da Aritmética. Aos 61 anos de idade, construtivista ferrenho, ele lança mão do bom humor para pregar contra os métodos de ensino antigos "e ultrapassados". Tanto que criou um apelido para as velhas fórmulas de sala de aula: "É a matemática do papagaio".
    Diretor do Centro de Formação de Professores da Universidade do Sul de Illinois, em Edwardsville, O’Brien estuda há mais de trinta anos a construção do pensamento matemático na criança - vinte deles como pesquisador da Organização do Tratado do Atlântico Norte (Otan). Tem diversos livros publicados em língua inglesa e contribui para a elaboração dos currículos nacionais da disciplina nos Estados Unidos. Sua conversão ao construtivismo aconteceu em casa, graças a seus três filhos. "Observando o desenvolvimento cognitivo deles, eu vi como constroem uma visão de mundo significativa, inteligível e previsível a partir de sua própria experiência, acumulada desde o nascimento", explica.

    Essas conclusões coincidem com as idéias do psicólogo e filósofo suíço Jean Piaget (1896-1980), que O’Brien passou a usar como guia nas ações pedagógicas. Nesta entrevista, concedida durante visita a São Paulo, ele fala de suas teorias sobre o ensino de Matemática, critica a memorização e destaca os fundamentos básicos para lecionar com qualidade.

    Por que o senhor chama o jeito tradicional de ensinar de matemática do papagaio?

    Thomas O’Brien: Porque ele se apóia na memorização de fatos e procedimentos totalmente desvinculados do contexto da vida real. O princípio é ao mesmo tempo básico e desprezível: empurrar conceitos que devem ser relembrados e recitados pelos alunos toda vez que o professor desejar. É mais ou menos o mesmo processo adotado com os papagaios ensinados.

    Esse sistema ainda funciona em muitos países?

    Sim, e não é um problema apenas de regiões pobres ou em desenvolvimento. Infelizmente, a matemática do papagaio ainda é praticada em um grande número de salas de aula no mundo todo, inclusive em nações ricas, como os Estados Unidos.

    Por que o senhor considera esse sistema tão ruim?

    Porque ele restringe o ensino à Aritmética. Outras áreas importantes da disciplina, que não se prestam à simples memorização, como a Geometria, ficam desprezadas. Além disso, as crianças são proibidas de usar calculadoras e não têm espaço para desenvolver o raciocínio ou inventar estratégias de resolução de problemas originais.

    Alguns educadores argumentam que o uso da calculadora deixaria a mente "preguiçosa"…
    Se calcular trouxesse algum ganho de inteligência, os computadores seriam grandes gênios, pois não há quem bata a rapidez com que calculam! Ou melhor, desde que haja alguém para ligá-los, digitar os comandos adequados e avaliar os resultados obtidos. Aí, sim, eles mostram sua inesgotável capacidade de executar sem descanso tarefas maçantes e repetitivas, como calcular. O grande talento das pessoas é pensar. A elas devemos pedir o que é próprio da mente humana: selecionar dados, organizar informações, elaborar hipóteses, formular questionamentos, avaliar resultados e tantas outras coisas desse tipo.

    Saber de cor conceitos, dados e fatos matemáticos não é um sinal de que eles foram aprendidos?

    De forma alguma! É preciso deixar claro que eu não tenho nada contra a memória em si. Acho que ela é muito importante - para compreender isso, basta ver uma pessoa que sofra do mal de Alzheimer, às vezes incapacitada de lembrar o próprio nome. Mas, no meu entender, a memória é apenas uma de nossas muitas capacidades intelectuais. No caso da educação matemática, mesmo na faixa dos 5 ou 6 anos, é a construção de uma intrincada teia de idéias que leva ao saber, não uma coleção de fatos prontos apresentados a ela.

    É possível comprovar esse ponto de vista?
     
    "No método tradicional, as crianças são proibidas
    de usar calculadora e não têm espaço para
    desenvolver o raciocínio".


     Claro. Uma pesquisa sobre determinados fatos numéricos, feita por mim e mais dois colaboradores com turmas de 4ª, 5ª e 6ª séries, mostrou a inutilidade da memorização pura e simples. Uma das perguntas era: "Quanto é 6 x 3?" Quase todos os jovens responderam corretamente. Mas, quando pedimos para relacionar a questão a uma situação da vida real ou para fazer uma frase na qual aparecesse o fato de que 6 x 3 = 18, os resultados mudaram drasticamente: 75% dos alunos de 4a série, 85% dos de 5a e 30% dos de 6a falharam em criar um exemplo de multiplicação. Pelo menos metade das histórias incorretas confundiam a multiplicação com a adição. Só para citar um exemplo, talvez o mais dramático, veja como uma das crianças explicou o que havia compreendido: "Seis meninos e três meninas foram a uma festa. Quantas pessoas havia lá? Dezoito". É demais, não?

    Que princípios básicos um profissional do Ensino Fundamental deve seguir para oferecer uma educação de qualidade?

    Em primeiro lugar, ter sempre em mente que o conhecimento é uma construção pessoal. Isto é, cada pessoa tem seu próprio modo de raciocinar para chegar a uma conclusão. "Minha" cidade de São Paulo, minha visão como estrangeiro tem muito em comum com a de meus amigos e de outros turistas, mas nunca será igual à deles porque cada um de nós apreendeu e organizou as impressões sobre o "ambiente São Paulo" de uma forma pessoal. Como os adultos nesse exemplo, as crianças também têm seu jeito individual de captar a realidade - e ela será sempre diferente para cada uma. Não se deve exigir, portanto, que toda a classe raciocine da mesma maneira para chegar à solução de um problema. Outra característica natural da mente é o questionamento, a busca do novo. A mente nunca está satisfeita. Assim que atinge um objetivo, logo procura outro desafio, cada vez mais difícil de conquistar. Esses processos naturais de aprendizagem constante podem ser interrompidos se o educador passa a dizer aos alunos o que (e como) eles devem pensar.

    Levando em conta essas diretrizes, como deveriam ser as atividades propostas dentro de uma sala de aula?

    O melhor é evitar as instruções diretas. Partindo de tarefas, problemas e investigações adequadas ao nível de desenvolvimento da turma, o professor deve levar todos os estudantes a construir relações, princípios e idéias. E, tão importante quanto, oferecer certo nível de dificuldade, de modo a motivar e desafiar os jovens.

    Dentro desses preceitos, é possível trabalhar em grupos com a classe?

    Não só é possível como considero indispensável, pois ao propor atividades em grupos estamos também transmitindo a importância da cooperação. Muitas das sugestões de minha coleção de livros Desafios e Investigações podem ser realizadas em conjunto pelos alunos. Um exemplo é o desafio número 21 do primeiro volume, destinado a investigar em crianças de 8 anos situações envolvendo probabilidades. A classe deve ser dividida em equipes de três ou quatro. Pede-se, então, que um dos estudantes imagine um número de dois algarismos. Os demais fazem perguntas, tentando descobrir o número pensado pelo colega. As questões devem partir de táticas, anotadas pelas equipes conforme o trabalho se desenrola. Uma regra, determinada pelo professor, pode ser proibir os números com algarismos repetidos, como 44 ou 66, porque eles são mais óbvios. O ideal é fazer com que o desafio envolva as características matemáticas. Por exemplo, questionar se o número misterioso é par ou ímpar, se tem um determinado algarismo nele e assim por diante.

    Como se dá a avaliação nesse tipo de ensino proposto pelo senhor?
     
    "Numa concepção construtivista, as dificuldades
    são um desafio a ser superado pelos alunos
    com a mediação do mestre".

    Considerando que a construção do conhecimento é um processo, a avaliação também deve ser processual e acompanhar o caminho seguido individualmente por cada estudante. Além disso, precisa ser contínua, transformando-se num rico instrumento para o educador conhecer sua turma, avaliar a eficiência do próprio trabalho e saber se é o caso de buscar novos caminhos para superar eventuais dificuldades. Numa concepção construtivista de ensino, as dificuldades são na verdade um desafio a ser superado pelos alunos com a mediação do mestre.

    Como educador construtivista, que aspectos das idéias de Piaget o sr. destaca?

    A maioria das pesquisas em Psicologia e Educação tem como objetivo descobrir qual é a reação de um certo organismo a um determinado estímulo. Por exemplo, é comum os estudiosos proibirem os indivíduos estudados de dormir, testarem um conjunto de questões X com um grupo e um conjunto de questões Y com outro, e observarem as reações. Piaget passou mais de cinqüenta anos pesquisando justamente a situação contrária: como o organismo interpreta o estímulo? O que faz com ele? Como atua sobre ele? Para reforçar a importância dessa questão costumo contar uma história vivida por um conhecido meu. Ele perguntou a um garoto de 5 anos: "Quanto são 9 + 9?". O menino respondeu: "Fácil. Nove é menos que 10.

    Se 10 + 10 são 20, logo 9 + 9 são 19". Alguns professores poderiam concentrar-se na resposta e dizer: "Errado!" ou "Não, querido, o certo é dezoito. Venha cá, eu vou mostrar a você". Atitudes assim desestimulam a criança a pensar por si própria, a elaborar cada vez mais sua rede interna de conhecimento. Acertadamente, meu amigo valorizou mais o complexo raciocínio realizado pelo menino para chegar à sua conclusão do que o fato de dezenove não ser a resposta matematicamente correta. Para estimular ainda mais a mente de seu pequeno aprendiz, perguntou: "E quanto são 9 + 10?" Ao fazer isso, ele colocou um novo desafio e atingiu o que, na minha opinião, deveriam ser os principais objetivos de qualquer processo educacional: ensinar a pensar, a construir alternativas e a desenvolver a inteligência. Numa visão construtivista, isso significa ser capaz de adaptar-se às demandas do ambiente. Em resumo, permitir que o aprendiz transforme o pensamento em ação e a ação, em movimento.
    Agosto 2000
    Maria de la Luz Mariz
    Foto: Alexandre Marchetti

    A História do Número 1- Parte 6

    A História do Número 1- Parte 5

    A História do Número 1- Parte 4

    A História do Número 1- Parte 3

    A História do Número 1- Parte 2

    A História do Número 1- Parte 1

    A fila dos gatos.

    Cinco gatos estão sentados em fila sobre um muro.
      
    Entre o Fofinho e o Bichano está um gato.  
    Entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos.  
    Entre o Tareco e o Malhado está um gato.  
    Entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos.  

    Como estão os gatos dispostos na fila?

    Gato e Meio

    Se gato e meio come rato e meio em minuto e meio, em quanto tempo um gato come dois ratos?

    Você sabe quanto vale um centilhão?

    O maior número aceito no sistema de potências sucessivas de dez, é o centilhão, registrado pela primeira vez em 1852. 

    Representa a centésima potência de um milhão, ou o número 1 seguido de 600 zeros (embora apenas utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).





    Referência:  

     

    Soma de números naturais que dá -1

    Demonstração
     
    Seja:
    S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32...

    Note que é uma PG de razão 2, então a partir do segundo elemento colocamos o 2 em evidência, assim:
    S = 1 + 2( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32...)

    Daí temos que:
    S = 1 + 2S
     
    Agora subtraímos 2S em ambos lados:
    S - 2S = 1 + 2S
     
     Multiplicando por (-1) a igualdade, obtemos:
    - S = 1

     Portanto:
    S = -1

    c.q.d.


    Obviamente a demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que a soma de números naturais é um número natural (ou alguém tem alguma dúvida?).

    TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !

    quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010

    Equação Diferencial 2

    -Porque a Equação Diderencial não foi aceita como jurada de um concurso?


     




    Porque ela era Parcial.

    Equação Diferencial 1

    -Porque ninguem gostava da Equação Diferencial?

     




    Porque ela era Ordinaria

    segunda-feira, 8 de fevereiro de 2010

    PSICOLOGIA

    A Psicologia dedica-se basicamente ao estudo do comportamento humano. Conhecer as emoções e os problemas das pessoas e ajudá-las a encontrar o equilíbrio e o bem-estar é a principal tarefa do psicólogo.

    Os cursos de Psicologia oferecem três áreas de formação profissional aos universitários: clínica, escolar e organizacional.

    A Psicologia clínica permite ao terapeuta atuar em hospitais psiquiátricos, instituições de repouso, de reabilitação, ou em clínica própria. Esse profissional está habilitado a auxiliar pessoas ou grupos que necessitem de ajuda para superar dificuldades emocionais.

    Na área escolar o psicólogo trabalha com alunos, professores, diretores, funcionários e familiares. Sua principal função é, através de diagnósticos, ajudar a minimizar os problemas relacionados à aprendizagem escolar.
    O psicólogo organizacional atua junto a empresas, cuidando para que haja uma relação saudável entre empregados e empregadores.

    O mercado de trabalho para o psicólogo é vasto, pois esse profissional, seja qual for o setor em que atua, tem como responsabilidade ajudar as pessoas a restabelecer a saúde
    mental e encontrar o equilíbrio de suas emoções - tarefa de grande necessidade nos dias conturbados que vivemos.

    A Matemática mostra-se importante para o trabalho do psicólogo, principalmente para a análise de dados estatísticos e avaliação de testes.


    Referência:

    Machado, Antônio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau - Vol 3. S. Paulo: Atual, 1996.

    ODONTOLOGIA

    Durante muito tempo, as atividades básicas da odontologia foram executadas por pessoas não qualificadas, como barbeiros e ambulantes, que tratavam dos dentes das pessoas em instalações precárias, sem as mínimas condições de higiene e sem fazer uso de nenhum tipo de anestesia.

    No entanto, desde a formação da primeira escola dentária (em 1840, nos Estados Unidos) até os dias de hoje, o progresso da odontologia tem sido notável e muito rápido.
    Definida como a ciência encarregada de prevenir, diagnosticar e tratar enfermidades, deformações, lesões nos dentes e tecidos bucais, a odontologia moderna divide-se em várias especializações: periodontia, ortodontia, endodontia, odontopediatria, implantodontia, prótese, dentística, cirurgia e odontologia preventiva e social.

    O dentista está habilitado a exercer sua profissão como clínico geral ou como especialista - título este obtido através de cursos que podem ser feitos após o término da graduação.
    O profissional dessa área pode montar consultório próprio ou trabalhar em clínicas particulares, escolas, empresas, prontos-socorros, policlínicas, creches, hospitais públicos e privados.

    No Brasil, o campo de trabalho para o dentista é - pelo menos em termos numéricos - bastante vasto. Tanto a odontologia preventiva quanto as demais especialidades dessa profissão são muito necessárias para que seja possível reduzir a lamentável estatística da Organização Mundial da Saúde (OMS), segundo a qual 99% da população brasileira têm cáries nos dentes.

    A matemática serve ao dentista para calcular composições de amálgamas, posologias, doses de anestésicos e também para auxiliar no dimensionamento de próteses e aparelhos corretivos.

    Referência:

    Machado, Antônio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau - Vol 2. S. Paulo: Atual, 1996

    Você sabe o que são números regulares?

    Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.
     

    Exemplo:
    60 é um número regular, pois 60= 2².3.5.



    Referência: 

    domingo, 7 de fevereiro de 2010

    Torre de Hanoi

    A Torre de Hanói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares, também conhecida por torre do bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi publicada em 1883 pelo matemático frances Edouard Lucas, com o pseudônimo Prof. N. Claus (de Siam), um anagrama de seu nome. A publicação dizia que o jogo vinha do Vietnã, sendo popular também na China e no Japão, e acompanhava a caixa do quebra-cabeças. 

    A publicação também oferecia mais de um milhão de Francos para quem resolvesse o problema da Torre de Hanoi com 64 níveis, seguindo as regras do jogo, indicando que o número de movimentos seria 2 elevado a 64 menos 1 que é igual 18.446.744.073.709.551.615 o que daria cerca de 585 bilhões de anos, se cada movimento fosse feito em 1 segundo.

    Edouard Lucas foi inspirado por uma lenda Hindu que falava de um templo em Bernares, cidade santa da Índia, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja função era melhorar a disciplina mental dos monges jovens. A lenda dizia que, no início dos tempos, foi dado aos monges de um templo uma pilha de 64 discos de ouro, dispostos em uma haste, de forma que cada disco de cima fosse menor que o de baixo. A atribuição que os monges receberam foi transferir a torre, formada pelos discos, de uma haste para outra, usando a terceira como auxiliar com as restrições de movimentar um disco por vez e de nunca colocar um disco maior sobre um menor. Os monges deveriam trabalhar com eficiência noite e dia e, quando terminassem o trabalho, o templo seria transformado em pó e o mundo acabaria.

    O Problema

    O problema da Torre de Hanoi envolve um ambiente formado por uma base, contendo 3 pinos, onde, em um deles, há uma pilha de discos furados no meio e de diâmetros diferentes ordenados de forma que o disco maior esteja em baixo e o menor esteja em cima, formando assim uma torre.

    O problema consiste na tranferência da torre de um pino a outro, obedecendo as seguintes restrições:

    a) Só é possível movimentar-se um disco por vez para qualquer pino;

    b) Um disco maior nunca poderá ser colocado sobre um menor;

    c) A solução deverá ser encontrada com o menor número de passos possível.

    O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.

    Veja a solução para o caso com 3 discos:


    A Torre de Hanói tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e solução de problemas.

    sábado, 6 de fevereiro de 2010

    A Poesia Visual

    A poesia utiliza, por vezes, formas matemáticas. 
    É o caso da poesia visual, onde as palavras ganham sentido pela sua disposição, a maior parte das vezes geométrica. 
    O poema transforma-se então num “objecto visual” que, mais que ser lido, tem de ser visto. 

    Por exemplo, no poema “Rio: o ir” de Arnaldo Antunes, as letras acabam por representar formas geométricas (o “o”, um círculo, e o conjunto de “i”s, um octógono). 
    Para além disso, são aqui aplicadas as rotações e as simetrias: o “R” apresenta-se numa posição diferente em todas as faces do octógono. Assim, podemos ler “Rio” e “o Ir”, conforme leiamos de fora para dentro, ou de dentro para fora, com o “R” virado ou não para o centro. 
    A finalidade desta ambiguidade é precisamente transmitir a ideia da corrente do rio, do movimento da água. Se olharmos para o poema enquanto conjunto de formas, também podemos sentir isso mesmo através da disposição da letra “R”.


    Este outro poema de Augusto de Campos, intitulado “SOS” apresenta também mais um recurso às  formas matemáticas para a transmissão da ideia do poema. 
    Dentro de um grande círculo negro, as palavras tomam uma disposição em espiral.
    Assim, à medida que o leitor vai lendo sente “o fechar-se sobre si mesmo” que o autor quer fazer transparecer. A sensação de solidão é muito mais forte e vai crescendo, culminando num “SOS” desesperado, um pedido de ajuda no meio do silêncio, quase do nada, sugeridos pelo grande fundo negro. 
    Este é um caso em que o sentido do poema é dramatizado pelo recurso à Matemática, neste caso concreto, a espiral.



    Em “Teorema”, de Franklin Capistrano, não são as formas que estão propriamente em jogo. 
    Neste poema, são aproveitados  símbolos matemáticos, bem como a famosa equação de Einstein sobre a energia: E=Mc2. Uma das interpretações possíveis deste poema toma as palavras entre parênteses por uma substituição dos verdadeiros factores da equação.
    Assim, “Teo” significa Deus, pois é o radical que encontramos em palavras como “Teologia”, vindo do grego “Teos” que significa exactamente o mesmo. “Zen”, segundo o Dicionário é uma “forma de budismo (…) no qual a meditação toma um lugar de relevo e é suscitada pelo amor à natureza e à vida, levando ao desenvolvimento da personalidade, mediante o conhecimento próprio”.
    Então podemos dizer que, por um lado, Deus é a energia, com todo o significado simbólico que possamos atribuir a esta afirmação. Por outro lado, se podemos saber a energia multiplicando a massa pela velocidade da luz ao quadrado (MC2), podemos então chegar a Deus e conhecer essa “energia” através da meditação, do amor à natureza e à vida, e do auto-conhecimento. 
    Por fim, a palavra “Zenite”, que designa o ponto mais alto ou o auge de algo, refere-se ao resultado desta “equação”, a finalidade de todos os “cálculos” atingir um ponto mais alto do conhecimento ou da existência espiritual. 

    Letra D

    DECÁGONO - Um polígono com 10 lados.

    DECÂMETRO - 10 metros. Representa-se por Dam.

    DECÊNIO - Espaço de dez anos.

    DECIGRAMA - Dácima parte do grama.

    DECÍMETRO - Palavra formada por deci (décimo) e metro. O decímetro (símbolo: dm) é a décima parte do metro.

    DÉCIMO - Dividindo-se uma unidade em 10 partes iguais, cada parte é um décimo dessa unidade. Um décimo pode ser indicado assim: 1/10. Ou assim: 0,1.

    DENOMINADOR - Na fração é o número que fica em baixo. É o número que indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima. Na fração 2/5 o denominador é o número 5.

    DEZENA - Grupo de 10 unidades.

    DIAGONAL - Segmento de reta que um vértice a outro não consecutivo de um polígono. O número de diagonais de um polígono é dado por (n² - 3n) / 2, onde n é o número de lados.

    DIAGRAMA EM ÁRVORE - É um diagrama que mostra todos os possíveis resultados de um acontecimento (bastante usado em programação).

    DIÂMETRO - No círculo, é o segmento de reta que passa pelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.

    DIFERENÇA - O resultado de uma subtração.

    DÍGITOS - Símbolos usados para escrever números em representação decimal ou alguma outra base. Em notação decimal os dígitos usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notação binária são usados apenas dois dígitos 0 e 1.

    DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - Grandeza do segmento de reta que une dois pontos.

    DISTRIBUTIVA - Lei que permite distribuir uma adição ou subtração em relação ao produto, sem alterar o resultado.
    A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
    A × (B - C) = (A × B) - (A × C)

    DIVIDENDO - O número que será dividido em uma operação de divisão. Na operação 9 ÷ 3 = 3, 9 é o dividendo.

    DIVISÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usada para saber o número de vezes que um número está contido em outro número.

    DIVISOR - É o segundo termo da divisão. É o que divide o dividendo. Na operação 15 ÷ 5 = 3, 5 é o divisor.

    DÍZIMA PERIÓDICA - Parte decimal de um número que se repete indefinidamente. Exemplo: 2,345345345...

    DODECÁGONO - Um polígono com com 12 lados.

    DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO - O conjunto de valores tomados pela variável independente. Representa-se por Dom.

    DÚZIA - Grupo de 12 unidades.

    Uma incógnita


    Tentei somar amores
    pra subtrair a solidão,
    acabei multiplicando as dores
    e dividi a frustração.  
    Quis elevar a minha vida à enésima potência, 

    integrei amigos, 
    anulei inimigos, 
    derivei o meu orgulho, 
    tracei as formas do meu destino, 
    sem régua, esquadro ou compasso.  

    Errei. 
    Apaguei, mas ficaram as marcas.  
    Comecei de novo. 
    Errei de novo. 
    Então apaguei de novo.
    E as marcas ficaram mais intensas.  

    Viver não é tão simples, 
    amar muito menos. 
    Os erros escritos se apagam. 
    Certas marcas somem, 
    outras jamais.


    Autor: Desconhecido

    Quando olhas para mim...


    Quando olhas para mim...
    Os números racionais viram irracionais
    Os reais imaginários 
    E os complexos ficam perplexos 

    Quando olhas para mim...
    O triângulo fica móvel 
    O círculo, quadrado 
    E o quadrado fica reverso 


    Quando olhas para mim... 
    Os conjuntos ficam sem elemento, 
    Os subconjuntos, maiores que os conjuntos 
    E o vazio desaparece. 

    Quando olhas para mim... 
    Os múltiplos viram primos, 
    Os primos, irmãos 
    E todos os números são divisíveis 


    Quando olhas para mim... 
    Os deltas ficam negativos, 
    As equações não têm raízes 
    E as funções sem domínio. 

    Quando olhas para mim... 
    As derivadas ficam sem limite, 
    Os gráficos, sem inflexão 
    E as tangentes nem se tocam. 


    Quando olhas para mim... 
    Os poliedros ficam sem faces, 
    O côncavo vira convexo 
    E o teorema de Euler fica sem nexo. 

    Quando olhas para mim... 
    O sistema fica impossível, 
    A matriz redonda 
    E o determinante se anula 


    Quando olhas para mim... 
    O sinal fica sem som, 
    A aula sem professor
    E o aluno bate com o dedo em meu ombro: 
    Mestre, a aula já acabou.



    Autor: Desconhecido

    sexta-feira, 5 de fevereiro de 2010

    Enviando 30% para!

     
     
     
    Autor da imagem: Desconehcido



    Referência:

    2 + 2?

     
     
     
    Autor da imagem: Desconehcido



    Referência:

    Segundo, James Jeans


    A Matemática não é um livro fechado.


     James Jeans

    A caça- A Matemática no antigo Egito

    Notamos na construção das PIRÂMIDES, uma perícia profunda na arte da engenharia. Dois papiros são as fontes principais de informações referentes à matemática egípcia antiga. O papiro de MOSCOU datado aproximadamente no ano 1850 a.C. onde encontramos um texto matemático que contém 25 problemas e o papiro RHIND (ou Ahmes) datado aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba AHMES de um trabalho mais antigo.  
    O papiro Rhind descreve os métodos de MULTIPLICAÇÃO e divisão dos egípcios, o uso que faziam das FRAÇÕES unitárias, o emprego da regra da falsa posição, a solução para o problema da determinação da ÁREA de um CÍRCULO e muitas aplicações da matemática a problemas práticos.  
    O sistema de numeração utilizado pelos EGÍPCIOS era o sistema de agrupamento simples com base 10. Todos os 110 problemas incluídos nos papiros de Moscou e de Rhind são numéricos, a maioria tem aparência prática e lida com questões sobre a DISTRIBUIÇÃO de pão e cerveja, sobre balanceamento de rações para gado e aves domésticas e sobre armazenamento de grãos. Para muitos desses problemas a resolução não exigia mais do que equação LINEAR simples, mas há alguns de natureza teórica, que tratam, por exemplo, de progressões ARITMÉTICAS e geométricas.   

    Encontre as palavras destacadas no texto:

    Encontrou?

    Cardano, Girolamo

    Cardano
    Cardano, Girolamo (1501-1576)

    Cardano foi encorajado a estudar tanto os clássicos quanto a matemática por seu pai, que era amigo de Leonardo da Vinci. Ele iniciou seus estudos universitários em 1520 em Pávia, completando-os em Pádua em 1526. Em 1534, tornou-se médico e professor de matemática em Milão. Em poucos anos Cardano transformou-se no mais famoso médico da cidade. 

    Em 1539, enquanto aguardava a publicação de Practica arithmetica, seu primeiro livro sobre matemática, soube que Tartaglia conhecia o método de resolução para equações cúbicas (ou do terceiro grau). Cardano conseguiu obter essa informação de Tartaglia, prometendo não revelá-la. Ele cumpriu a promessa durante seis anos, mas publicou o método em 1545 em seu Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus, comumente chamado de Ars magna.     

    Cardano escreveu mais de 200 trabalhos sobre medicina, matemática, física, filosofia, religião e música, embora hoje sua fama permaneça consolidada por suas contribuições no campo da matemática. Em Practica arithmetica, consagrada ao cálculo numérico, ele revelou sua grande capacidade matemática ao resolver muitos problemas algébricos complexos.

    Sua principal obra, Ars magna, apresentava muitas idéias novas sobre a álgebra, incluindo a solução das cúbicas e das quárticas. Além de suas contribuições em álgebra, Cardano também realizou grandes contribuições no campo da probabilidade, da mecânica e da astronomia.

    Principais obras: 

    Ars magna;
    Practica arithmetica.





    Referência:

    Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
    Site: Wikipédia

    Tartaglia, Niccolò

    Tartaglia
    Tartaglia, Niccolò (1499-1557)

    Tartaglia nasceu em Bréscia, Itália. Ainda criança feriu-se durante uma batalha (quando os franceses invadiram sua cidade) e ficou com um problema de fala. Deram-lhe o apelido de Tartaglia (que significa gago) e ele manteve o nome pelo resto da vida. Tornou-se professor e por fim diretor de uma escola. Em 1534, mudou-se para Veneza. Lá trabalhou na resolução das raízes das equações polinomiais. Conseguiu derrotar o rival Fior em uma competição para resolução de um problema matemático por já ter resolvido certos tipos de cúbicas.     

    Em seu trabalho Tartaglia soube como resolver a maior parte das cúbicas. Em 1539, Cardano convenceu Tartaglia a compartilhar seus segredos para a resolução das cúbicas. Tartaglia o fez, com a condição de que Cardano não as publicasse até que Tartaglia publicasse seus resultados. Cardano continuou a aprimorar o método e logo soube como resolver todas as equações cúbicas.

    Em 1545, ele publicou o método de solução, dando a Tartaglia crédito apropriado, mas renegando sua promessa de mantê-lo em segredo. Tartaglia sentiu-se ultrajado e o atacou verbalmente, mas não encontrou apoio porque Cardano tinha o apoio popular. Tartaglia contribuiu em outras áreas da ciência também. Seu modelo balístico determinou que a extensão teórica máxima de projetéis era obtida por um ângulo de 45 graus. Além disso, realizou trabalhos desenvolvendo novos resultados e idéias em importantes áreas de pesquisa e de confecção de mapas.  

    Referência:

    Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
    Site: Wikipédia