MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

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sábado, 31 de julho de 2010

Amores Proibidos

Amores Proibidos
Xênia é uma matemática  brilhante, imulsionada pelas equações desconhecidas. Ela é uma mulher com uma calma e equilíbrio aparentes, atraída pela lucidez e precisão, mas que no íntimo guarda sonhos e fantasia que a levam uma vida solitária. Ela anseia por encontrar sua verdadeira indentidade, até que conhece Ghost, um policial dez anos mais jovem com quem começa um intenso jogo de conquista e descoberta.



Título original: The Dangerous Sex Date
Duração: 97 minutos (1 hora e 37 minutos)
Gênero: Suspense
Direção: Maria Martinelli
Ano: 2001
País de origem: ITÁLIA



Observação: Recomendado para maiores de 16 anos  


BOLA DE FUTEBOL TEM A VER COM MATEMÁTICA?

ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL

Você já reparou no formato de uma bola de futebo?
E já observou as figuras que ela contém?
A bola de futebol pode ser vista como modelo de um Sólido Geométrico.
É aí que entra a Matemática!
Sólidos geométricos são estudados em Geometria e também estão presentes em várias outras áreas... 

ONDE TUDO COMEÇOU:

Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes. O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro.  



Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja a lado o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro:  


No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais. Se as arestas laterais de cada pirâmide retirada tem comprimento igual a 1/3 da aresta do icosaedro, resulta que cada face triangular do icosaedro original se transforma em uma face hexagonal regular do icosaedro truncado. Como o icosaedro original tem 20 faces triangulares, o icosaedro truncado fica com 20 faces hexagonais. Observe que nessa estrutura os vértices têm incidência de apenas 3 arestas. Isto influi na confecção da bola de futebol, facilitando a costura dos gomos.
Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas (lados costurados) e vértices (onde costuras distintas devem ser juntadas) do icosaedro truncado. O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer (como é o caso de nosso icosaedro truncado) através da fórmula

V - A + F = 2

Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.


"ELEMENTOS" DA BOLA DE FUTEBOL

Em nossa bola de futebol existem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Então F = 12 + 20. Segue do Teorema de Euler que V- A + 32 = 2, ou seja, V-A+30=0.

Observe que cada aresta é aresta de exatamente duas faces. Então, contando-se as arestas de todas as faces e somando, tem-se:

2A = 5F5 + 6F6 = 5x12+ 6x20 = 180, onde Fn é o número de faces de n arestas. Temos A = 90. Como V-A+30=0, segue que V = 60.


Portanto as bolas de futebol são poliedros Arquimedianos (inflados), que são formadas por 12 pentágonos (polígonos pretos na figura), 20 hexágonos (polígonos brancos na figura), 90 arestas e 60 verteices.

sexta-feira, 30 de julho de 2010

Matemática da Vida II

A "matemática da vida" não é simples.
Cada soma é também uma subtracção.
Quando somamos mais um ano aqueles que já vivemos, subtraímos um ano daqueles que nos restam para viver.
Esperamos demais para fazer o que precisa ser feito, num mundo que só nos dá um dia de cada vez...
Enquanto lamentamos que a vida é curta, agimos como se tivéssemos à nossa disposição um stock inesgotável de tempo.


Esperamos demais para dizer as palavras de carinho, para pôr de lado os rancores que devem ser expulsos, para expressar gratidão, para dar ânimo, para oferecer consolo.
Esperamos demais para executar as tarefas que estão esperando; para demonstrar amor que talvez não seja mais necessário amanhã.
Esperamos demais nos bastidores, quando a vida tem um papel para desempenharmos no palco.
Deus, também espera, que nós paremos de esperar.
Ele espera, que começamos a fazer agora tudo aquilo para o qual este dia e esta vida nos foram dados.

Meus amigos:

É hora de viver! 
Nossas dúvidas são traidoras e nos fazem perder o bem que poderíamos conquistar se não fosse o medo de tentar.

Autor: Desconhecido

O gato e o rato

Encontre a saída do labirinto abaixo. Este passatempo é ideal para o estimulo do poder de observação e do raciocínio lógico de crianças, jovens e adultos. Imprima e Divirta-se!
       


Referência:


Informativo de matemática II

Este segundo número contém:
 
Objetivo;
Curiosidade;
Absurdos matemáticos;
Mulheres na matemática;

ilusão de óptica;
Desafios;
Demonstrações;

Eventos. 


Observação: este informativo não tem fins lucrativos, são disponibilizados gratitamente para todos os dicentes do curso  matemática  da uesb, campus de Jequié, com intuito de divulagar a beleza que existe na matemática. 

Vale a pena baixar, e não esqueça de mandar suas críticas, dúvidas ou sugestões. Segue o link abaixo:

link:: http://www.4shared.com/document/TBMbnFPU/Informativo_02.html

Kepler, Johannes

Kepler
 Johannes Kepler (1571-1630)

"Feliz é o homem que se dedica ao estudo dos céus...
esse estudo lhe trará a felicidade".

Johannes Kepler, astrônomo, matemático e físico que nasceu em 27 de Dezembro de 1571 na cidade de Weil der Stadt, no Sul da Alemanha, no seio de uma família protestante. Com o auxílio de uma bolsa de estudo, ingressou em 1589 na Universidade de Tübingen, e aí aprendeu grego, hebreu, astronomia, física e matemática, salienatando que foi um aluno brilhante e sendo também o o primeiro cientista a solicitar explicações físicas dos fenômenos celestes.

O resultados do trabalho de toda sua vida, mudaram a astronomia e tiveram um papel fundamental no desenvolvimento da física de Newton e do cálculo. Seu trabalho favoreceu o descrédito do modelo geocêntrico de Ptolomeu e a aceitação da teoria heliocêntrica de Copérnico..

Tornou-se professor de matemática num colégio protestante de Graz, na Áustria e em 1596 publicou o seu primeiro trabalho, “Mysterium Cosmographicum”, onde defendeu que a medida de cada órbita planetária é determinada por um poliedro inscrito na órbita anterior.

Entre 1617 e 1621 publicou os sete volumes do “Epitome Astronomiae Copernicanae”, obra que se tornou a introdução mais importante à astronomia heliocêntrica, e que contrariava a concepção aristotélica do universo, na altura defendida pela Igreja Católica. Foi ainda autor de diversos artigos científicos sobre óptica, astronomia e matemática.

No seu percurso científico, é de destacar a convivência que teve com o prestigiado astrónomo dinamarquês Tycho Brahe, a quem viria a suceder, por ocasião da sua morte, em Outubro de 1601, como matemático da corte. Com esta sucessão, Kepler teve acesso a dados de Tycho Brahe que lhe permitiram, ao fim de várias tentativas, determinar as leis dos movimentos dos planetas e conquistar um lugar de destaque no desenvolvimento da astronomia.

Os muitos cálculos que Kepler teve de efectuar foram facilitados pelo aparecimento dos logaritmos de Neper, tendo sido Kepler o primeiro a publicar uma explicação rigorosa dos mesmos. Assim, eram muito rigorosas as tabelas astronómicas que veio a publicar, as “Tabulae Rudolphinae”.
Ao estudar o problema da determinação do volume de uma pipa de vinho, Kepler, utilizando métodos com raizes em Arquimedes, veio a colaborar nos primórdios do cálculo infinitesimal.

 Durante a sua vida, Kepler foi diversas vezes perseguido pela Contra-Reforma Católica. Em 1626 a sua casa foi incendiada, fato que o levou a deixar a Aústria e a refugiar-se em Ulm, Alemanha, onde imprimiu as “Tabulae Rudolphinae”, publicadas em 1627. Kepler então juntou-se à sua família em Regensburg, na Alemanha, onde faleceu devido a uma doença aguda 1630.

Principais obras: 

Astronomia nova; 
Harmonice mundi.



Referência:

Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Wikipédia
 

Sucessão de figuras

Na sucessão das figuras na parte superior as  letras  foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, completando-se corretamente a figura que  tem os pontos de interrogação obtém-se?





Boa sorte...


Referência:

FCC  - Técnico  Judiciário  - TRT-  24ª Região  -  2006
Montagem e adaptações: Matheusmáthica

terça-feira, 27 de julho de 2010

"A minha mente tem a história que tem"

John Nash
Lutou décadas contra a esquizofrenia - e acabou por vencê-la. Chama-se John Nash e é o génio matemático que inspirou o filme Uma Mente Brilhante

A conversa não é o seu forte. Fala lentamente e com alguma dificuldade na articulação das palavras. Umas vezes hesita, outras responde ao lado. Por vezes demonstra um sentido de humor que não chega a sê-lo completamente - e que talvez nem o seja de todo.

A sua mente só pode ser brilhante - uma beautiful mind, como reza o título original da aclamada biografia que a jornalista Sylvia Nasar publicou em 1998, e que por sua vez inspirou, em 2001, o filme homónimo de Ron Howard, com Russell Crowe no papel principal. Só assim é que se explica a extraordinária história de John Nash.

Nascido em 1928 nos Estados Unidos, Nash doutorou-se em 1950 pela Universidade de Princeton com uma tese de apenas 27 páginas que viria revolucionar a área matemática da Teoria dos Jogos. O "equilíbrio de Nash", que ele definiu nessa altura, faz hoje parte do vocabulário corrente desta disciplina científica.

A partir de finais dos anos 50, Nash desenvolveu esquizofrenia paranóide. A sua vida familiar e a sua carreira como matemático (já era considerado um génio por alguns) foram tragicamente truncadas. Perdeu o emprego, divorciou-se da mulher, Alicia, foi hospitalizado, medicado e tratado à força. Tornou-se um espectro de si próprio. Mesmo assim, durante os raros intervalos livres de delírio, continuou a fazer matemática de grande qualidade.

Nos anos 1970, Alicia voltou a acolhê-lo em sua casa (mais tarde voltariam a casar) e Nash regressou a Princeton. Passava o tempo a gatafunhar misteriosos códigos numéricos nos quadros e tornou-se conhecido como o "fantasma de Fine Hall" (o edifício do departamento de Matemática).
A partir de finais dos anos 1980, depois de 30 anos mergulhado nos delírios da esquizofrenia, começou a melhorar e em 1994 recebeu o Prémio Nobel da Economia.

Nash esteve em Portugal para participar na 24.ª Conferência Europeia de Investigação Operacional, na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Na segunda-feira à tarde, deu uma conferência na Aula Magna e, no sábado anterior, falou ao PÚBLICO sobre o seu singular percurso de vida e o seu trabalho científico passado e actual.

Revê-se na personagem interpretada por Russell Crowe no filme Uma Mente Brilhante, de Ron Howard? A história do filme é próxima da verdade ou muito afastada dela?

O filme é uma ficção selectiva, mas não está completamente afastada da realidade. Alicia e eu fomos consultados - isso fazia, aliás, parte do contrato do filme. Portanto, eles tinham licença artística, mas isso não tornou a história completamente fictícia.
Não diria que me revejo nele. O filme não diz absolutamente nada sobre os meus anos de formação, antes da minha chegada à Universidade de Princeton.

O seu contributo para a Teoria dos Jogos foi muito importante. O que é a Teoria dos Jogos?

A expressão "teoria dos jogos" é uma descrição popular. A mesma área científica poderia ter tido outro nome. A Teoria dos Jogos foi desenvolvida com a publicação de um livro [em 1947], por John von Neumann e Oskar Morgenstern, intitulado em inglês Theory of Games and Economic Behavior (Teoria dos jogos e Comportamento Económico), que se tornou muito influente. Mas Von Neumann já tinha publicado na Alemanha em 1928 - o ano em que eu nasci - um artigo intitulado Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, que significa "jogos sociais". E antes disso, tinha sido publicado em França um artigo com théorie du jeu no título. Von Neumann também publicou uma nota [em 1928] na Comptes Rendus de l'Académie des Sciences onde falava de théorie des jeux. Foi assim que o nome ficou.

É algo que permite a modelização matemática de comportamentos sociais e económicos?

Sim, mas com a ênfase nas escolhas alternativas e na ideia de estratégia - uma palavra de origem grega que significa a escolha de uma política. Há estratégia no xadrez e noutros jogos. Pode haver uma estratégia no futebol. Só que, aí, as estratégias têm como objectivo fazer com que o outro perca.
É o que chamamos um jogo de "soma zero". Todos os jogos de entretenimento e desportivos são desse tipo. Também podem ser de "soma constante", com um certo benefício para ambos os lados, como a final de um Mundial de futebol - mas onde o vencedor beneficia mais do que o outro.

E também há jogos onde todos perdem...

Sim, são os jogos de soma negativa. Por exemplo, podemos imaginar uma situação em que uma prisão obriga prisioneiros a entrar num duelo onde apenas um irá sobreviver.

No filme, há uma cena onde a sua personagem está à procura da solução para o problema dos jogos ditos não-cooperativos. Estão num bar, há um grupo de raparigas e o protagonista percebe de repente que...

Deixe-me interromper. A teoria dos jogos no filme não está nada bem apresentada. O argumentista não era um perito em teoria dos jogos.

O seu contributo para a teoria dos jogos é hoje conhecido como "equilíbrio de Nash" e mudou a maneira de fazer teoria dos jogos aplicada à economia. O que é o equilíbrio de Nash?

O equilíbrio de Nash define-se em termos de estratégias, do conceito de estratégia do jogador. Temos dois, três ou mais jogadores. Cada jogador tem um número finito de acções ou estratégias "puras" pelas quais pode optar, fazendo isto ou aquilo. Mas também existem estratégias mistas, que são planos baseados numa mistura de estratégias puras, em que uma certa probabilidade de ser escolhida é atribuída a cada estratégia pura.
Assim, se um jogador tiver três escolhas possíveis, três acções puras entre as quais optar, poderá optar por uma delas com uma probabilidade de 20 por cento, pela segunda com 50 por cento e pela terceira com 30 por cento, o que dá 100 por cento. E o conjunto das estratégias mistas dos jogadores apresenta um equilíbrio quando nenhum dos jogadores pode mudar de estratégia e aumentar os seus benefícios. O benefício tem de ser calculável a partir da estratégia mista em questão. Calcula-se o benefício previsto para todos os jogadores e cada jogador olha para a sua fatia.

Quando duas empresas competem pelo mesmo mercado, usam a sua teoria para ver se compensa produzir mais ou menos, ou subir ou descer os preços?

Essa é considerada uma óptima área de aplicação da teoria. Existe uma abordagem clássica que é equivalente a uma análise de teoria dos jogos em certos casos especiais. É o chamado equilíbrio de Cournot. É um conceito certamente mais antigo do que o equilíbrio de Nash, mas é um caso particular. Augustin Cournot, economista francês do século XIX, considerou o caso em que duas empresas produziriam algo para o mesmo mercado - dois grandes produtores de leite, por exemplo.
Se uma dada quantidade de leite é produzida, pode ser vendida por um certo preço; se produzirem mais, não vão conseguir vender o leite por um preço tão bom. Por outro lado, se produzirem menos, o preço sobe, mas também há um limite. E se produzirem muito pouco, pode ser preciso importar leite.
Pode então existir um equilíbrio de Cournot em que cada um deles produz uma certa quantidade do produto - e em que nenhum deles pode produzir mais ou menos e obter uma vantagem. Mas, aqui, trata-se de um jogo não-cooperativo com dois jogadores onde o equilíbrio reside numa estratégia pura.

No caso do equilíbrio de Nash, as estratégias são mais complexas...

Podem ser mistas. Por exemplo, se os produtores produzirem produtos diferentes [para o mesmo mercado], podem ter uma estratégia secreta - podem decidir que, durante um ano, só vão produzir uma certa quantidade desse produto. Podia ser a Apple a decidir produzir uma certa quantidade de iPods ou de Macintosh. O outro lado pode não conhecer o plano, mas precisa de ter um plano em que preveja o que pode acontecer - e pode tomar uma decisão ao acaso, de última hora, para surpreender os rivais.
E em casos deste tipo, você provou que também existe uma situação de equilíbrio, que é calculável?

Há um equilíbrio desde que se consiga determinar a função [a fórmula matemática] que determina os benefícios. Em princípio, é possível calculá-lo.

Existe software que as empresas usam para fazer este tipo de previsão?


Aos 82 anos, John Nash continua a fazer investigação em Princeton
Ou seja, a sua teoria é mais uma ferramenta para os especialistas do que uma ferramenta prática, concreta, para o mundo empresarial?

Qualquer teoria, seja ou não económica, é em grande parte utilizada apenas ao nível académico. O que os responsáveis empresariais fazem na prática costuma ser algo diferente daquilo que aprenderam quando estudaram teoria económica. Quando uma pessoa se torna efectivamente um banqueiro, tem de tomar decisões práticas - e isso não é algo que se possa fazer utilizando apenas o que se ouviu e aprendeu nas aulas.

No que respeita à atual crise económica, houve claramente um descontrolo das bolsas, dos especuladores. Não poderia isto ter sido previsto a partir de teorias como a sua? Como é que não se previu o que ia acontecer?

Não é verdade que ninguém tenha visto o que ia acontecer. Existem muitos livros sobre pânicos e crises. Quando olhamos de perto para a História, vemos que este tipo de pânico é bastante frequente. Não há assim tanto tempo houve um pânico na Tailândia; afectou a Ásia por volta de 1999. E há casos extremos como o da Argentina. Um país é como um banco e pode ir à falência.

Contudo, a crise do sub-prime de 2008 parece ter sido uma situação em que as pessoas ficaram tão gananciosas que não se importavam com as consequências.

O facto é que não há investimento sem especulação. As pessoas que pensam estar a investir de forma conservadora podem na realidade estar a correr mais riscos do que imaginam.
Não me parece que possa haver capitalismo sem riscos nos investimentos. Investir sem riscos talvez seja possível numa situação de socialismo estrito - onde o Plano controla tudo e não pode haver bolhas especulativas. Isso poderia tornar a economia muito lenta.

Por que é que a sua teoria foi considerada pouco ortodoxa na altura em que a desenvolveu em Princeton?

Não consigo responder muito bem a essa pergunta. Depende da maneira de olhar para as coisas. É verdade que eu fui mais longe do que Von Neumann e Morgenstern. Mas não foi tanto o equilíbrio de Nash [nos jogos não-cooperativos] que foi considerado pouco ortodoxo, foi a minha teoria da cooperação aplicada aos jogos com duas pessoas, que é bastante diferente da ideia que eles tinham dos jogos cooperativos.

Mais próxima da realidade?

A área dos jogos cooperativos é muito complexa. Eu não fui para além de dois jogadores (duas partes). Mas a área dos jogos com mais de duas partes constitui um desafio muito interessante. Aliás, é a minha área de investigação atual. As minhas ambições são algo limitadas, porque posso não viver para sempre [ri-se] e este tipo de teoria pode levar muito tempo a desenvolver.

Descida ao fundo da loucura

Lutou durante várias décadas contra a doença mental. Pode falar do que lhe aconteceu?

Fui diagnosticado como esquizofrénico.
Tinha ideias delirantes e irracionais. Tinha alucinações visuais?

Não. Algumas formas de delírio são menos comuns do que se poderia pensar. É o caso das alucinações visuais. Podem acontecer, mas são raras na esquizofrenia. Isso surge no filme porque a mãe do argumentista tinha problemas psiquiátricos. E, de fato, ilustra muito bem a natureza do pensamento delirante.
Quanto às ideias da conspiração e dos russos, das mensagens em código, algumas dessas coisas correspondem efectivamente ao meu padrão de doença. A ideia de ser capaz de ler mensagens secretas nos jornais, esse era o tipo de pensamentos que eu tinha. Mas não tinha alucinações visuais. Nunca tive um companheiro de quarto imaginário [ri-se].

Nos anos 1980, a doença começou a regredir. Sente-se limitado pela forma racional de pensar que recuperou?

Quando as pessoas têm ideias delirantes, isso pode aumentar a sua auto-estima e fazê-las sentirem-se melhores. No meu caso, os meus pensamentos acentuavam a minha importância. Tinha um ideia imaginária de quão importante eu era em relação à sociedade. Mas era uma importância secreta [ri-se], algo que não costumava ser publicado nem reconhecido.

Pensava que estava a salvar o seu país de uma conspiração comunista?

Isso é o filme. Não era o que eu pensava. Eu não era nacionalista. A minha ideia de ser importante correspondia mais a ser alguém como o Dalai Lama ou o Papa.

O génio científico anda de mãos dadas com uma certa peculiaridade de pensamento?

Esse é um terreno perigoso. Newton, por exemplo, desconfiava muito dos outros e, a dada altura, parecia psicótico em relação a alguns temas. Nunca foi casado, teve uma vida invulgar e fez experiências de alquimia. Também tinha escritos sobre a religião e as ideias religiosas que eram em parte convencionais para a época, mas também bastante impróprias. Mas quem pode dizer exatamente o que são a doença e a saúde mental?

Continua a fazer algum tratamento?

Não. Fui tratado contra a minha vontade quando estive hospitalizado. É difícil saber se há uma recuperação total quando a pessoa está a tomar medicamentos. Pode ser que haja muita gente em recuperação no mundo que toma pequenas quantidades de remédios quando na realidade não precisa de tomar nada. E que funcionaria melhor se não os tomasse. Mas depende do tipo de medicamento.

Sempre recusou as hospitalizações.

Não há hospitais psiquiátricos bons.

Como saiu da doença?

Eu não aceitava a ideia de ser doente mental. Pensava que o meu delírio era em parte verdade. Em termos políticos em particular. Mas, a dada altura, comecei a rejeitar algumas áreas do pensamento político, em particular as ideias políticas relacionadas com a China.
O meu pensamento político em relação à China tinha a ver com a existência de Taiwan, Hong Kong e Macau, que os portugueses conhecem bem [ri-se] - com Taiwan em especial. Aquilo era bom, era mau? Eu elaborava ideias, imaginava coisas, conceitos secretos.

E rejeitou essas ideias.

Achei que era muito difícil pensar sobre a China, que não conseguia ter boas ideias. E a dada altura percebi que era possível pensar em termos mais simples, em termos de valores humanos. Eu não era capaz de refletir sobre matérias essencialmente políticas - e, por isso, seria mais lógico não pensar nas políticas. E comecei a deixar de pensar em todo o tipo de ideias políticas que pudessem estar baseadas em conceitos imaginários.

Deixou de preocupar-se com elas?

No fundo, acabei por perceber que eu não tinha nenhuma importância política. O Dalai Lama pode ter alguma importância política, mas eu... [ri-se].

A sua importância situa-se a outro nível.

Sim. De fato, também comecei a ver algumas referências interessantes ao meu trabalho na literatura científica - a ver o equilíbrio de Nash mencionado com muita frequência. Vi o meu nome ligado a isso, o que me estimulou a pensar mais em termos da minha história científica.E começou novamente a trabalhar.
Não foi assim tão simples, mas, em 1995, na sequência do Prémio Nobel, deram-me um gabinete e um cargo de senior research mathematician na Universidade de Princeton, que ainda hoje mantenho.

Qual é o objectivo da sua investigação atual?

Estou a trabalhar numa nova abordagem da teoria dos jogos cooperativos, que tem a ver com a ideia de evolução natural, de evolução da cooperação.

E vai publicar alguma coisa em breve?

Já tenho uma publicação e é disso que trata a minha conferência em Lisboa. E há mais para vir, se viver o suficiente e dependendo da rapidez com que as coisas avancem. Talvez volte a ter pessoas a trabalhar comigo, no âmbito de um projeto científico patrocinado pela National Science Foundation (NSF) que já foi oficialmente aprovado. Atualmente, trabalho sozinho, mas tive assistentes durante uns tempos, até à publicação do último trabalho.

Acha-se livre da esquizofrenia?

Estou livre de sintomas diagnosticáveis. A minha mente tem a história que tem, mas não estou louco. Não pertenço a um asilo de lunáticos.


Por Ana Gerschenfeld
 Foto: Enric Vives-Rubio
 15.07.2010

O Matemático Disfarçado

Se é difícil simplificar matérias sobre o universo e o dia-a-dia, mais complicado é encontrar alguém que o faça com humor e irreverência. Edward Burger e Michael Starbird conseguem-no e transformam grandes questões matemáticas em desafios simples e ao alcance de todos. Este é um livro divertido, repleto de estranhas coincidências, caos, infinito, origami, cadeias de DNA e de obras de arte, que coloca inúmeros desafios ao leitor.

Edward B. Burger é professor de Matemática do Williams College. Já recebeu alguns dos mais importantes prémios de ensino e escrita da Mathematical Association of America.

Michael Starbird é professor catedrático da Universidade do Texas, em Austin, e membro da Academy of Distinguished Teachers.
O livro que tem entre mãos vai conduzi-lo através de uma aventura maravilhosa. Vai levá-lo a vários tópicos matemáticos - alguns modernos, outros antigos, mas todos eles profundos. E vai seduzi-lo página a página com a simplicidade de exposição, com o humor e com o inesperado de muitas conclusões. (...) Ao chegar ao fim, o leitor não se sentirá defraudado. Ter-se-á divertido. Terá ganho umas boas horas da sua vida ao lê-lo. (Nuno Crato, in Prefácio)

Editor: Academia do Livro
Autor(es):Edward B. Burger e Michael Starbird
Idioma: Português
Páginas: 332
ISBN:
9789898194381
Ano: 2009
Edição/reimpressão: 1ª edição
Acabamento: Brochura

livro matemático



Inspirado no poema de millor fernandes, já aqui divulgado, esse vídeo feito por alunos de ensino médio do colégio helyos foi parte do trabalho de educação para mídias e artes mediado pelo professor victor venas.

Um português disse ao índio

Um português chegou no Brasil e viu os índios. O que ele disse? 











Resposta: 8π.

Cubo soma

O cubo soma é um quebra-cabeça criado pelo poeta e matemático dinamarquês Piet Hein. O objetivo é usar os sete policubos  (peças formadas por pequenos cubos unitários) para montar um cubo de 3x3x3 unidades. As peças também podem ser usadas para montar uma variedade de formas tridimensionais interessantes, ou seja, é um quebra cabeça em 3D que lembra o tangran.

Há 240 maneiras distintas de montar o cubo soma, sem contar rotações e reflexões. As soluções podem ser facilmente geradas por um programa de computador simples.

História

De acordo com Martin Gardner, Piet Hein estava assistindo a uma aula de Werner Heisenberg sobre mecânica quântica e, enquanto Heisenberg descrevia um espaço dividido em células cúbicas, ele formulou a seguinte hipótese:

    "Se pegarmos todas as formas irregulares construídas por até quatro cubos de tamanhos iguais unidos por suas faces, seremos capazes de montar um cubo maior."

Ele se referia a policubos com até quatro cubos que são formas irregulares. Forma irregular, neste contexto, deve ser entendido como figura côncava. Existem 12 policubos com até quatro cubos, mas apenas 7 são irregulares: estas são as 7 peças do cubo soma.

Peças

 Algumas observações podem ser feitas em relação às peças:
 
A primeira peça é um tricubo, enquanto as outras seis são tetracubos.

Todos o tetracubos são formados pelo tricubo acrescido de um cubo extra.

As primeiras quatro peças são apenas poliminós em três dimensões.

A 6ª peça é a imagem especular da 5ª peça (e vice-versa). Não é possível obter uma delas através da rotação da outra.


 
 
 
Nível

O cubo Soma pode se usar com alunos de vários níeis, dependendo dos objetivos a serem alcançados, por exemplo, no jardim de infância, os meninos já podem, brincando, se habituar a manipular as peças, observá-las, contar os cubos, evidênciar a simetria , achar nomes para cada forma, tentar encaixamentos com algumas peças etc. Mais tarde, eles podem tentar reconstruir o cubo, ou pelo menos terminá-lo, ou imitar algumas formas como se faz com o "Tangram".
Alunos maiores podem treinar também para reconstruir o cubo, desenhá-lo, construir cubos imagens um do outro em tal simetria ou rotação indicada...

 
O cubo não é muito dificil de construir, devido ao número elevado de soluções. Para qualquer nível, este quebra-cabeça contribui à agilizar a representação espacial e a percepção da orientação no espaço tridimensional.

Origami - Aprendendo a fazer um copo

Geologia

Geologia é a ciência encarregada de estudar a composição, a estrutura e a evolução do globo terrestre. Logo, cabe ao geólogo, através de escavações e observações meticulosas, inteirar-se dos processos que ocorrem no interior e no exterior da camada rochosa do planeta.



Suas atividades abrangem a localização e avaliação de depósitos minerais, investigação de problemas geológicos, elaboração de projetos de análise e planejamento ambiental, entre outras.

Onde houver depósitos minerais, bacias petrolíferas, vestígios de antigas civilizações, fósseis minerais e animais, lá deverá estar o geólogo para decifrar os sinais perpetuados nos rochedos e nas pedras.

O geólogo pode atuar, basicamente, em seis áreas: mineração, geologia de engenharia, hidrogeologia, geologia de petróleo e geologia ambiental ou magistério.

O mercado de trabalho é composto por universidade construtoras, empresas de mineração e perfuração, institutos de pesquisa, além de organismos como Petrobrás, Companhia de Pesquisas de Recursos Minerais (CPRM), Instituto de Pesquisas Tecnológicas (IPT) e Departamento Nacional de Produção Mineral (DNPM).

A Matemática é imprescindível ao trabalho do geólogo que utiliza um diversos princípios matemáticos para escavar conhecer e avaliar os segredos do solo e das pedras. Além disso a Matemática é meramente um instrumento, ou seja, é um instrumento de cálculo, de aplicação tecnológica e de investigação, através da elaboração de modelos matemáticos e de simulação.

Referência:

Machado, Antônio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau - Vol 3. S. Paulo: Atual, 1996

Conchas marinhas: a simplicidade e beleza da sua descrição matemática

O crescimento gnomónico
Todos nós já reparámos que a concha de qualquer molusco pequeno é idêntica à concha de um molusco grande da mesma espécie, com excepção do tamanho. Uma é um modelo exato, à escala, da outra. As conchas, com a sua forma auto-semelhante, podem ser representadas por superfícies tridimensionais, geradas por uma fórmula relativamente simples, com alguns parâmetros livres. Maravilhosamente, apesar da simplicidade dessas equações, é possível gerar uma grande variedade de tipos diferentes de conchas. Quais? Todos eles! (com muito poucas excepções: algumas espécies vivas e fósseis de Vermicularia e amonitas fósseis do género Didymoceras.) Isto mostra como muitas das formas que surgem na natureza são simples consequência da aplicação de geometria tridimensional a regras de crescimento básicas.
O molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha (a extremidade aberta ou "de crescimento"); e fá-lo de maneira a que a nova concha seja sempre um modelo exato, à escala, da concha mais pequena.
       
Estas condicionantes juntas têm uma consequência matemática: quase todas as conchas seguem um modelo de crescimento baseado numa espiral equiangular:

A superfície da concha é uma superfície tridimensional que pode ser vista como o resultado do deslocamento de uma curva C (a curva geratriz, que habitualmente é uma elipse) ao longo de uma espiral helicoidal H (a curva estrutural); o tamanho da curva C vai aumentando à medida que se desloca sobre H:
 
A forma de C descreve o perfil das secções da concha e da abertura da concha enquanto H determina a forma global da concha. Nem sempre C é uma elipse. É o caso da maravilha japonesa que é gerada por uma curva triangular.
Porquê H é uma espiral logaritmica helicoidal? Basicamente porque o molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha. Uma versão bidimensional deste fenómeno pode ser observado no crescimento dos cornos dos animais. Essencialmente é uma versão tridimensional deste fenómeno que conduz às estruturas em espiral das conchas dos moluscos. 

segunda-feira, 26 de julho de 2010

Mary Fairfax Somerville

Mary Fairfax Somerville (1780-1872)
Mary Fairfax

Mary Fairfax  nasceu na Escócia e era filha de um vice-almirante da marinha. Aprendeu a ler com a mãe, mas até aos dez anos não teve qualquer outra instrução. O pai resolveu enviá-la para um colégio feminino, o Miss Primrose. Mary, habituada a viver ao ar livre, detestou estar fechada na escola e pouco aprendeu enquanto lá esteve. Alguns anos mais tarde teve uma introdução à Aritmética, mas a família opôs-se a que continuasse a estudar.

Tomou conhecimento, por acaso, que os Elementos de Euclides era um livro importante para a astronomia e a mecânica, mas deparou-se-lhe a dificuldade de encontrar uma cópia, assim ela solicitou que o seu irmão comprarsse estes livros. Mary lia à noite quando todos estavam na cama. Mary era muito bonita e era conhecida por a rosa de Jedburg. Gostava de dançar, praticava piano 4 horas por dia, pintava.

Aos 24 anos, Mary casou com um  primo afastado, Sam Greig passados três anos morreu subitamente deixando-a com dois filhos e dinheiro. Voltou para casa dos pais, e estudava de manhã cedo e à noite. Ela começou a resolver os problemas de Matemática do jornal The Ladies 'Diary mandando as suas soluções. Umas vezes estavam certos, outras não. Até que ganhou um prêmio com um problema de álgebra e recebeu uma medalha com seu nome.

Com 32 anos casou com outro primo, Dr. William Somerville, que a encorajou e apoiou os seus estudos. O casal viveu em Londres, Paris e Itália, encontrando-se com muitos cientistas. Foram casados durante sessenta anos e foram muito felizes. Por volta dos 33 anos conseguiu uma lista de livros essenciais em matemática e em astronomia que adquiriu.

O livro, Mecanismo dos Céus, tornou-se muito popular, foi reeditado várias vezes e usado como manual de Astronomia matemática durante quase um século. Ela clarificou e explicou notavelmente o texto obscuro  de Laplace e revelou ser uma das mais completas expositoras científicas. O seu prefácio matemático à tradução foi reeditado separadamente como dissertação preliminar sobre o mecanismo dos céus que de igual modo se manteve popular durante quase um século.

Ela publicou outros livros que eram usados por matemáticos, cientistas e estudantes. Vendiam bem e foram importantes na popularização da ciência. Recebeu muitos louvores, nomeações e medalhas. Muitas sociedades cientificas elegeram-na  como membro e a Royal Society encomendou o retrato do seu busto que foi descerrado na entrada. No entanto, Mary nunca o pode ver, pois não era permitido às mulheres entrar na Royal Society!

Nos seus últimos anos escreveu as suas fascinantes memórias, publicadas por uma das filhas, depois da sua morte, reviu o manuscrito do seu tratado sobre "Diferenças Finitas" e estava a estudar uma relação sobre quaterniões no dia em que morreu em 1872. Salientando que ela ajudou a causa de outras mulheres interessadas na matemática e na ciência.

Referências:

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução de Higino H. Domingues; Campinas: Editora Unicamp, 2004. 
http://matedanse.no.sapo.pt/pagina10.htm

O Símbolo da Raiz "√"

Surgiu pela primeira vez em um livro de álgebra, na obra Die Coss, escrito pelo alemão Christoph Rudolff em 1525 que sugeriu o símbolo "" por sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radix (raiz). No inicio, se escrevia com todas as letra: ”raiz de 8”. Com o passar do tempo, escreveu-se ”r8”. O traço horizontal da letra r ficou logo mais comprido e assim, abarcou todas as cifras dos números como na atualidade.

Referência:

Venturi, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9º ed. Curitiba-PR.

Nada tem lógica!

 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

A ovelha manhosa

Chegou a Primavera e as ovelhas começam a ter calor com os seus casacos de lã. O pastor resolve então iniciar a tosquia.
As 20 ovelhas do rebanho são colocadas em fila. No último lugar da fila, a ovelha Manhosa olha as ovelhas que tem à sua frente e que esperam a sua vez de ser tosquiadas. Cheia de calor, a Manhosa decide passar à frente três lugares, sempre que o pastor retira uma ovelha da fila.

Quantas ovelhas serão tosquiadas antes da Manhosa?

As Meias

Uma meia, meia feita,
Outra meia por fazer;
Diga lá, minha menina,
Quantas meias vêm a ser?

Segundo, Karl Weierstrass

  
"Um matemático que não tenha algo de poeta, 
nunca será um matemático completo"



Karl Weierstrass

“Essa Aritmética…”


Antes, eu era apenas metade
de um Ser, a pervagar sem rumo certo,
à procura ideal dessa unidade
que é como um novo mundo descoberto.


Enquanto sós, que somos? Um deserto
a nos pesar com sua imensidade,
existir só começa, a céu aberto,
quando dois são um só - eis a verdade!



Eu vinha por aí, aos solavancos,
como se diz: aos trancos e barrancos,
um pedaço a rolar, uma metade


de um Ser, mas quis a sorte, nos achamos,
e ao nos somarmos, nos multiplicamos
nessa aritmética da felicidade.


J. G. de Araujo Jorge

Disputa aritmética

 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:
 
 

Adição do amor que é igual a ódio

Sabendo que cada letra representa um algarismo distinto e que existe apenas uma resposta, que adição é essa?


AMOR + AMOR + AMOR= ÓDIO

sexta-feira, 23 de julho de 2010

MAXIMA

O Maxima é uma linguagem computacional que permite realizar cálculos numéricos e simbólicos,  representações  gráficas  e  efectuar  programação,  possuindo  uma  grande variedade de comandos para os mais variados  fins em Matemática e aplicações. É um software de livre acesso, disponível para os sistemas operativos usuais, isto é, para cálculos matemáticos, semelhante ao MatLab e ao Mathematica. Trata-se de um sistema de álgebra computacional para manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo a diferenciação, integração, série de Taylor, transformações de La Place, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinomiais, e séries, listas, vetores, matrizes. O Maxima produz resultados precisos usando seu sistema especial de “floating” e pode trabalhar com funções e dados em duas ou três dimensões.
 
Maxima  é  derivado  do  sistema  Macsyma,  o  sistema  legendário  da  álgebra  do computador  desenvolvido  nos  anos  de  1968  a  1982  no  Instituto  de  Tecnologia  de Massachusetts como parte do Projeto MAC. MIT remanejou uma cópia do código fonte do Macsyma para o Departamento de Energia em 1982; aquela versão é agora conhecida como Macsyma DOE. Uma cópia do Macsyma DOE (Departamento de Energia) foi mantida pelo Professor William F. Schelter da Universidade do Texas de 1982 até sua morte em 2001.
Em  1998,  Schelter  obteve  permissão  do Departamento  de  Energia  para  liberar  o  código fonte  do Macsyma  DOE  sob  a  Licença  Pública  GNU,  e  em  2000  ele  iniciou  o  projeto Maxima  no  SourceForge  para  manter  e  desenvolver  o Macsyma  DOE,  agora  chamado Maxima.

O Maxima é um potente software, que permite:

I.  Efectuar cálculos numéricos e simbólicos;
II.  Traçar gráficos bidimensionais e tridimensionais;
III.  Elaborar implementações computacionais eficientes e precisas;


 

quinta-feira, 22 de julho de 2010

V Colóquio de História e Tecnologia no Ensino da Matemática - V HTEM

O Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática – HTEM – foi lançado em 2002, com o objetivo de criar um espaço de discussões acerca dos aportes e impactos das pesquisas sobre a história da matemática e sobre o papel das Tecnologias no ensino de matemática. Vários eventos tratam ora das Tecnologias na Educação Matemática, ora de História da Matemática, mas em geral, há poucas conexões entre tais temáticas. A convicção do grupo de pesquisadores que encabeçou a realização dos HTEM é de que o tratamento articulado dos componentes História, Tecnologia, Ensino e Matemática permite uma leitura original e frutífera de fenômenos relativos à aquisição e transmissão de conhecimentos matemáticos.

O V HTEM a ser realizado de 25 a 30 de julho de 2010, em Recife, é promovido pelo programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica (EDUMATEC) da UFPE e organizado pelo Grupo de Estudo em Novas Tecnologias e Educação.

Dando continuidade ao trabalho realizado pelos comitês de organização dos HTEM anteriores, pretende-se re-afirmar a pertinência desse evento como espaço de discussão de questões do campo da educação matemática, que dizem respeito ao papel da história da matemática e das tecnologias no processo de ensino e de aprendizagem da matemática.

A fim de ampliar a participação de pesquisadores das várias regiões brasileiras bem como a dimensão internacional do colóquio, foi decidido realizar o V HTEM na região Nordeste e deslocar sua data de realização para o mês de julho.
O colóquio constará de conferências, mesas redondas, comunicações científicas, posters e demonstrações de software.


quarta-feira, 21 de julho de 2010

domingo, 4 de julho de 2010

MATEMÁTICA EXPLICA UNIÃO ENTRE CÉLULAS PARA FORMAR TUMORES

Com ajuda da Teoria dos Jogos, pesquisadores descobriram como células colaboram entre si para vencer defesas do organismo
Quem nunca ouviu de um professor de matemática na escola que os números traziam explicações para tudo? Pois um grupo de cientistas dos Estados Unidos acaba de dar mais munição para os mestres que lutam para atrair a atenção dos alunos para a importância de sua disciplina. Por meio de uma teoria matemática, eles explicaram um comportamento de células que causam o câncer e podem, ainda, ter descoberto um caminho para um novo tratamento contra a doença. 
 
Segundo as teorias atuais, um câncer se forma a partir da divisão de uma única célula, que sofre mutação após ser estimulada por “evento cancerígeno” – a exposição solar, o fumo ou um vírus, por exemplo.

 
Sozinha, essa célula inicial não tem como formar uma população de células malignas – um tumor. Mas, ela continua se multiplicando até que erros no seu DNA façam surgir outras células, “células-filhas” ou “subclones”, geneticamente diferentes entre si.

Com DNA diferente, as “células-filhas” se desenvolvem separadamente umas das outras. Só sobrevivem para formar um tumor se sofrerem todas as mutações necessárias para vencer o sistema imunológico – como, por exemplo, capacidade de formar novos vasos sanguíneos e insensibilidade aos sinais que o organismo envia para interromper a multiplicação celular. Esse processo não é nada eficiente, pois até uma delas adquirir todas essas mutações, muitas outras já pereceram.

 
Ao observar o comportamento dessas células cancerígenas, o pesquisador Robert Axelford, da Universidade de Michigan, um entusiasta da Teoria dos Jogos – teoria matemática que estuda a cooperação entre “jogadores” para melhorar seus ganhos -, enxergou uma espécie de “colaboração” entre elas. 
 
"Quando vi uma simulação em computador do crescimento de células cancerígenas, observei interações entre as células ", disse ele.

Segundo Axelrod e sua equipe, as células cancerígenas podem ser capazes de dividir entre si os benefícios conseguidos com suas mutações individuais para, juntas, formarem tumores.
 
Já que com apenas uma mutação morreriam, elas se unem. Uma célula capaz de estimular a formação de novos vasos beneficia todas as suas vizinhas. Uma das vizinhas, que seja capaz de se multiplicar indefinidamente, faz o mesmo. Unidas, ficam mais fortes e aceleram o processo de formação de tumores.

Axelrod afirma que sua pesquisa não invalida as teorias anteriores, mas acrescenta uma nova perspectiva para o tratamento do câncer. Se for possível impedir essa união que apóia as células antes de elas se tornarem tumores, os médicos podem ganhar uma nova forma de tratar a doença.

A pesquisa está na revista “PNAS”  (“Proceedings of the National Academy of Sciences”).

Marília Juste, do G1, em São Paulo 
29/08/2006 - 15h12m