MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

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terça-feira, 31 de maio de 2011

Uma folha de papel pode levá-lo até a Lua!

Dobre ao meio uma folha de papel A4. Depois dobre novamente, e siga dobrando ao meio enquanto puder. Vai ficando um retângulo cada vez menor, mas de espessura cada vez maior. Com isso, em certo momento será difícil fazer a próxima dobra. 

A sétima dobra já é praticamente impossível. Mas imagine que você tivesse uma folha que pudesse ser dobrada sem dificuldades quantas vezes você desejasse.

 
E se quiséssemos que esta folha dobrada alcançasse a Lua? 

Sabendo que:
  • Espessura da folha de papel é igual a 0,1 milímetros;
  • Distância da Terra à Lua é 384.405 kilometros.



Quantas dobras seriam necessárias para que a espessura final fosse maior que os quase 400 mil km que separam a Terra da Lua? 

Você pode até pensar que é um milhão de vezes, mas basta dobrar 42 vezes.

Calculando

Pegue uma calculadora, insira 0,1 e vá multiplicando por 2 quarenta e duas vezes, ou seja, 0,1 x 242.

Vamos chegar a este número efetuando menos operações. Observe que:

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.


Assim:
210 = 25 x 25 = 32 x 32 = 1024


Da mesma forma, podemos calcular 240 fazendo: 


240 = 210 x 210 x 210 x 210 = 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 = 1.099.511.627.776


Logo, para obter 242 basta multiplicar este último número por 2 mais duas vezes: 


1.099.511.627.776 x 2 x 2 = 4.389.046.511.104.

Agora vamos converter para km, ou seja, multipliquemos o valor encontrado por 107 (0,1 x 106), uma vez que, a folha de papel é igual a 0,1 mm e para transformar de mm para km basta multiplica por 106 então:

4.389.046.511.104 x 106 = 438.904,6511104 438.905 Km

Portanto, com a interface matemática, uma folha de papel pode levá-lo até a Lua! Com mais uma dobra dar pra ir na lua e volta a Terra. 


Referência:

Site: UFF (Universidade Federal de Fluminense)

Um cubo?




Autor: Desconhecido

Referência:

Movimento em espiral?

Autor: Desconhecido

Referência:

Um artista?

 
 
 
 
Autor: Desconhecido

Referência:

Um idoso?

Autor: Desconhecido

Referência:

Uma vaca?

 
 
 
 
Autor: Desconhecido

Referência:

A arte de calcular XVI


Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33 apartir de 330.


330 x 3367 = 1111110
363 x 3367 = 1222221
396 x 3367 = 1333332
429 x 3367 = 1444443
462 x 3367 = 1555554
495 x 3367 = 1666665
528 x 3367 = 1777776
561 x 3367 = 1888887
594 x 3367 = 1999998




Referência:

Cientistas brasileiros criam fórmulas matemáticas para um "Google da Medicina"


A nova ferramenta de análise localiza imagens médicas por similaridade, identificando exames de Rx e tomografias mais próximos das análises realizadas pelos especialistas humanos.

Análise de imagens médicas

Pesquisadores brasileiros desenvolveram um conjunto de fórmulas matemáticas mais abrangentes e precisas para serem utilizadas em sistemas de apoio ao diagnóstico médico.

A nova ferramenta de análise permite que a busca de imagens por similaridade em bancos de dados, como exames de Rx e tomografias, por exemplo, gere resultados mais próximos das análises realizadas pelos especialistas humanos (no caso, os radiologistas).


Segundo o professor Joaquim Cezar Felipe, um dos autores da pesquisa, a forma mais tradicional de busca de imagens médicas em bases de dados é feita por intermédio do identificador do paciente ou dos exames realizados pelo mesmo, que podem conter dezenas ou centenas de imagens.

Este tipo de busca não permite que a análise e a avaliação de casos e diagnósticos semelhantes sejam realizadas diretamente com base na similaridade entre as imagens.

Matemática médica

Os sistemas de recuperação de imagens baseados na similaridade de seu conteúdo realizam comparações diretas entre as imagens do banco, porém apresentam, muitas vezes, discrepâncias entre os seus resultados e aqueles obtidos na análise visual feita pelos radiologistas.

"O que fizemos foi estabelecer um ferramental matemático, um novo conjunto de funções de distância, que permite comparar imagens a partir da representação das mesmas nos sistemas de recuperação por conteúdo, usando vetores numéricos relacionados a determinadas características intrínsecas, tais como textura, formato e cor. Uma vez obtidos os vetores de características das imagens, as funções de distância são usadas para medir a similaridade entre as mesmas a partir da comparação matemática entre esses vetores", explica o professor.

Esses vetores de características, continua ele, "são tratados como se fossem pontos localizados no espaço cartesiano. A distância entre eles acaba determinando o grau de dissimilaridade entre as imagens, ou seja, quanto mais próximos esses pontos mais similares são as imagens que eles representam."

Busca de imagens médicas

O pesquisador acrescenta que "existem várias formulações matemáticas que podem ser usadas para medir distâncias, sendo que a mais tradicional das funções é a Euclidiana." Ela define a distância entre dois pontos pelo comprimento do segmento de reta que os une. "Nossa proposta consistiu na definição de uma nova família de funções de distância que podem ser ajustadas a diferentes contextos de aplicação, de forma a gerar resultados perceptualmente mais próximos do que os médicos especialistas esperam obter ao realizar uma busca por similaridade, ou seja, mais próximos das buscas realizadas por eles de forma manual."

Felipe apresentou uma opção para que, nos sistemas de busca, o usuário possa ter uma forma parecida com a avaliação que ele faz quando busca uma imagem por similaridade. "Normalmente os bancos de imagens contêm grande volume e torna-se humanamente impossível essa busca de forma manual. Por isso, desenvolvemos essa família de funções que comparam as imagens a partir de uma referência e que podem ser aplicadas em sistemas de auxílio de diagnóstico. A ideia é apoiar e facilitar o trabalho do especialista, funcionando como uma segunda opinião."

Google da Medicina

Para validar o seu trabalho, os pesquisadores contaram com a participação de um grupo de radiologias que, a partir de uma imagem de referência, avaliaram e classificaram o grau de semelhança de algumas dezenas de outras imagens.

Paralelamente, a mesma classificação de similaridade foi realizada, utilizando um aplicativo computacional, as funções de distância já existentes e aquelas criadas pelos pesquisadores. "A conclusão foi que, com o ajuste dos parâmetros que compõem a nova família de distâncias, foi possível definir uma função específica que se mostrou mais próxima da percepção dos radiologistas do que aquelas tradicionalmente utilizadas", diz Felipe.

Algoritmos

O artigo Uma nova família de funções de distância para recuperação perceptual de imagens médicas baseada em similaridade, que traz esses resultados, foi publicado no Journal of Digital Imaging, da Society for Imaging Informatics in Medicine. Os editores da publicação o escolheram como o melhor artigo das edições do Journal em 2009.

Para o pesquisador, o artigo é o resultado de um estudo de cinco anos que buscou aproximar a precisão dos algoritmos computacionais, que recuperam imagens por similaridade, das subjetivas técnicas comparativas que o médico utiliza quando analisa imagens. "Trabalhamos na tentativa de reduzir o hiato semântico dos diferentes contextos de análise de imagens, por meio da aproximação com o que o usuário faz, considerando diferentes ambientes e situações específicas, o que aumenta a precisão dos algoritmos na busca baseada em similaridade."

O trabalho foi feito por cientistas da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto (FFCLRP) e do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação de São Carlos, com apoio do Centro de Ciências das Imagens do Hospital das Clínicas da Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto.


Por Rosemeire Soares Talamone
Agência USP em 02/08/2010
Imagem: Ag.USP



Caro leitor, 

Qual é a sua opinão sobre este assunto? 

Gostaria de acrescenta algo?

Participe, deixe seu comentário.


Referência:

Site: Diário da Saúde

domingo, 29 de maio de 2011

Integral de uma função de [ π ; ∞ )

Integral de uma função de [ π ; )
 
De acordo a figura, suponha que f(x) = x e avalie se a integral converge ou diverge.

 
 
Autor: Desconhecido

Referência:

Blog: Losfagalas
Qualuer livro de Cálculo Vol. I
 

Relógio das raízes exatas

Relógio das raízes exatas
Você saber dizer que horas são no relógio das raízes exatas e qual é o método de extração das raízes exatas você gosta de usar?




Autor: Desconhecido

Referência:

Site: Matemática
Qualuer livro de Matemática básica.
 

Largo, Rua e Travessa da Matemática

Se você for a Portugal, principalmente na cidade de Coimbra, tenho cereteza que você matemático não deixarar de visitar:


Largo da Matemática (Coimbra/Portugal)
O Largo da Matemática é um pequeno recinto formado pela convergência da Rua da Matemática, Rua das Flores, Beco da Anarda e Beco do Loureiro.



Rua da Matemática (Coimbra/Portugal)
A Rua  da Matemática estende-se  da  Couraça  dos  Apóstolos  ao  Largo  da Matemática. É sede de algumas "Repúblicas" (residências de estudantes).


Travessa da Matemática (Coimbra/Portugal)
A Travessa da Matemática é uma pequena viela que liga a Rua da Matemática  à  Rua  do  Loureiro.


Você conhece outros lociais com nomes "indicativos" matemáticos?






Referência:

Site: Câmara Municipal de Coimbra

Altura que uma pulga salta


A pulga salta 350 vezes a sua altura, o que equivale a uma pessoa dar um pulo de uma altura igual à largura de um campo de futebol.









Referência:

Site: Só na Boa 

Joãozinho está distraído

No meio da aula de matemática a professora vê que Joãozinho está distraído e resolve fazer uma pergunta:

— Joãozinho! Quantos ovos tem uma dúzia?

— Não sei, fessora!

— Muito bonito, né? Vê se presta mais atenção na aula!

— Pode deixar, fessora! Será que eu posso fazer uma pergunta pra senhora também?

— Pode! — responde ela, desconfiada.

— O que você quer saber?

— A senhora sabe quantas tetas tem uma porca?

— Não! — respondeu a professora, pensativa.

— Viu, fessora? A senhora me pegou pelos ovos e eu te peguei pelas tetas! He, he!


Autor: Desconhecido 



Referência:
 
Site: Piadas Engracadas

Meias de cores diferentes

Por que um matemático viaja sempre com uma meia preta e outra branca?



- Porque a chance de uma avião cair com um matemático usando meias de cores diferentes é muito pequena.





Autor: Desconhecido 
(adaptada)


Referência:
 
Site: Colégio Cascavelense

Um agrônomo, um engenheiro e um matemático.

Um agrônomo, um engenheiro e um matemático sobrevoam um campo onde se encontram algumas ovelhas.
 
O agrônomo diz:
- Vejam , todas as ovelhas desse país são pretas!
 
O Engenheiro discorda, e responde:
- Não podemos afirmar isso. Podemos dizer que as ovelhas desse campo são todas pretas!
 
Já o matemático, explica que:
- O máximo que pode-se afirmar é que essas ovelhas, no nosso campo de visão, têm o lado direito do corpo negro!


Autor: Desconhecido 
(adaptada)

Referência:
Site: Colégio Cascavelense

As Leis de Murphy: "Lei de Murphy é Matemática Pura?"

"A Lei de Murphy não é a previsão de um destino inevitável, mas justamente uma lembrança de que, se existe a possibilidade de que algo ocorra, o dado não pode ser  ignorado, a  fim de  se evitar uma  catástrofe" 
Nick  Spark  

Quem  nunca  atribuiu  as  terríveis  e  desastrosas  coincidências  cotidianas  à Lei de Murphy, que atire o primeiro pão com manteiga. Pode não acertar o alvo, mas terá uma certeza: a fatia cairá com o lado recheado para baixo.

Coincidência? Nem  tanto. A gravidade e a altura média das mesas usadas por nós  são  responsáveis por esse  resultado, assim  como o  culpado pelas meias  constantemente  desemparceiradas  nas  gavetas  é  o  número  de modelos diferentes que possuímos.

Princípios  científicos  simples,  mas  desconhecidos  da  maior  parte  das pessoas,  fazem com que essa bem humorada constatação da fatalidade da vida pareça sabedoria sobrenatural ou  lenda urbana. Para o  físico britânico Robert  Matthews,  da  Universidade  Aston,  em  Birmingham,  a  famosa afirmação de que  "se alguma  coisa puder dar errado, dará" é matemática pura.  Há  quase  uma  década  o  pesquisador  dedica-se  ao  estudo  dessas pequenas peças pregadas pelo dia-a-dia e é categórico ao afirmar que sim, as coisas têm mais chance de acabar mal do que bem.

A Lei de Murphy tira vantagem da nossa tendência de enfatizar o negativo e não perceber o que é positivo. Ela se baseia na possibilidade matemática de que algo vai acontecer.


O nascimento da lei

Sua origem é bastante controversa, porém sua história começa no fim da década de 1940, na base Edwards da força aérea americana, na Califórnia.

Na  época,  uma  equipe  liderada  pelo  médico  militar  John  Paul  Stapp  (1910-1999)  conduzia experimentos  para medir  o  impacto  da  gravidade  sobre  o  corpo  humano. O  objetivo  do  projeto  era descobrir quantos Gs - unidades da  força gravitacional que age sobre um corpo ao nível do mar - um piloto era capaz de suportar em caso de acidente.

O  trabalho  de Stapp  era monitorar um  desacelerador  -  um  aparelho  composto  de  um  trilho  em  que corria  m  trenó.  Acoplados  à  engenhoca,  apelidada  de  "Gee  Whiz"  (expressão  para  definir  algo espetacular), viajavam bonecos de teste a uma velocidade de até 320 km por hora.

Por  muitos  anos,  acreditou-se  que  o  número  máximo  de  gravidade  que  uma  pessoa  era  capaz  de suportar era 18 Gs. Todas as aeronaves militares eram construídas em  respeito a esse valor, embora alguns  incidentes ocorridos durante a Segunda Guerra  sugerissem a possibilidade de o número estar superestimado. O jovem capitão propôs-se então a uma experiência inédita: queria testar em si mesmo o efeito da máquina. Para que a medição das  forças G  fosse acurada, quatro sensores  foram  trazidos por outro membro da força aérea - o engenheiro de desenvolvimento Edward Murphy Jr. (1918-1990), que passou poucos dias no local.

O Gee Whiz foi posto para trabalhar, mas a prática foi em vão. Para azar do grupo, os contadores foram afixados da forma errada, o que zerou os valores atingidos. Irritado com o erro, Murphy teria culpado um subordinado, queixando-se de que "se existirem duas ou mais  formas de fazer uma tarefa, e uma delas puder provocar um desastre, alguém irá adotá-la"

A frase foi apresentadapor Stapp como a Lei de Muprhy numa entrevista coletiva. E pegou. Segundo Nick Spark, historiador da Lei de Murphy que recebeu o IgNobel, os resultados do Gee Whiz acabaram mudando o design das aeronaves militares. E Stapp conseguiu convencer o governo americano a aprovar uma lei determinando que os cintos de segurança dos aviões fossem também obrigatórios nos automóveis.

Mas,  diferentemente  da  expressão  original,  que  reforçava  a  importância  de evitar acidentes, a frase acabou ganhando um tom pessimista, mais resignado à aparição de problemas. 

"As coisas dão errado, sim, mas pode-se evitar que sejam  piores.  Em  vez  de  pensar  em  prevenir  erros,  as  pessoas  os  aceitam como algo  fora de  seu alcance. De  certa  forma, podemos dizer que a Lei de Murphy foi vítima da Lei de Murphy" 
Nick  Spark



Teoria da sorte

Um  dos  primeiros  estudos  a  considerar  o  conceito  de  probabilidade  é  de  autoria  do  italiano Galileu Galilei,  que  se  dedicou  ao  assunto  a  pedido  de  um  amigo  apaixonado  pelo  jogo  de  dados. Hoje,  a técnica  matemática  nascida  dessa  intuição  já  permite  estudarmos  eventos  físicos  inteiramente baseados na probabilidade, como a mecânica quântica, ou elaborarmos previsões do comportamento social, com a ciência da estatística.

A probabilidade lida com as chances de sucesso de um evento. Algumas contas são bastante simples, como  a  ocorrência  de  cara  ou  coroa  ao  jogar  uma moeda  para  o  alto;  como  são  apenas  dois  os resultados possíveis, a chance é de 1/2, ou 50%. Problemas mais sofisticados podem requerer cálculos um pouco mais complexos, envolvendo permutação ou combinação. É o caso de quem tenta descobrir a  probabilidade  de  que  dez  cartas  quaisquer  de  um  baralho  formem  uma  sequência  ou  de  que,  ao lançar dois dados, ambos mostrem a mesma face.

 
Sorte e matemática em sete passos 


Das bases medievais à moderna aplicação da estatística na ciência, como a teoria das probabilidades formou-se ao longo das épocas.



Gerolamo Cardano: "Sobre os Jogos de Azar" (1525) é considerado primeiro estudo sério.

Galileu Galilei: Por volta de 1613, discute um problema de dados usando probabilidade.

Blaise Pascal: "Tratado do Triângulo Aritmético" (1654) esboça o cálculo combinatório.

Chistiaan Huygens: Introduz o conceito de esperança matemática em trabalho de 1657.
   
Jacques Bernoulli: Tratado póstumo de 1713 contém o primeiro teorema da teoria.

Pirre Laplace: Em 1812 elabora a definição clássica da teoria da probabilidade.

James Maxwell: Com a teoria dinâmica dos gases, de 1860, aplica a estatística à física.

Por trás de um enunciado engraçado, a frase esconde verdades físicas e matemáticas 

A Lei de Murphy, embora  tenha se  tornado quase uma  lenda urbana, é mais séria do que parece. Essa verdade simples e aparentemente indiscutível ajuda a propagar o conhecimento de uma área  chamada  teoria das probabilidades. 

São os conceitos desse campo de estudo que ajudam a perceber que pequenas fatalidades cotidianas - como o fato de a fila que escolhemos no supermercado ser sempre a mais lenta - podem ser explicadas matematicamente. 

Segundo Matthews, há uma área da matemática (lei das probabilidades) dedicada ao estudo das filas e uma de suas leis básicas é que, embora as filas nos supermercados estejam sujeitas a uma demora aleatória, na média, elas andam em espaços de tempo iguais. A palavre-chave aqui é “na média”. Acontece que num supermercado com cinco caixas, as chances de você pegar a fila mais rápida, naquele momento, é de apenas 20 por cento. Por várias razões – uma delas pode ser porque o caixa da fila A seja mais rápido no troco do que o da fila B. Há, então, 80% de chances contra você. 

No território da física, alguns cientistas explicam o fenômeno através   da   Lei   da   Entropia,   ou   a   segunda   lei   da   termodinâmica,   que   afirma   que é absolutamente natural que o universo tenda a acabar em desordem e confusão.


Vejamos algumas das Leis de Murphy:

1. Um atalho é sempre a distância mais longa entre dois pontos.


2. A beleza está à flor da pele, mas a feiúra vai até o osso!


3. Nada é tão fácil quanto parece, nem tão difícil quanto a explicação do manual.


4. Tudo leva mais tempo do que todo o tempo que você tem disponível.


5. Se há possibilidade de várias coisas darem errado, todas darão - ou a que causar mais prejuízo.


6. Se você perceber que uma coisa pode dar errada de 4 maneiras e conseguir driblá-las, uma quinta surgirá do nada.


7. Seja qual for o resultado, haverá sempre alguém para:
    a) interpretá-lo mal.
    b) falsificá-lo.
    c) dizer que já tinha previsto tudo em seu último relatório.


8. Quando um trabalho é mal feito, qualquer tentativa de melhorá-lo piora.


9. Acontecimentos infelizes sempre ocorrem em série.


10. Toda vez que se menciona alguma coisa: se é bom, acaba; se é mal, acontece.





Referências:

Simi, Aline de Paiva e outros. “PUTZ!” E A LEI DE MURPHY: Uma proposta experimental para televisão. Faculdades Integradas Rio Branco, S. Paulo. (arquivo em pdf)
Jornal: Folha de S. Paulo
Revista: Galileu - Edição 148 - Nov/03
Site: Eeporter Net
Site: Só Texto





Os símbolos do sistema de numeração romano "I, V, X, L, C, D e M"

O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave de valores: I = 1 unidade V = 5 unidades X = 10 unidades L = 50 unidades, C = 100 unidades D = 500 unidades M = 1.000 unidades. Estes por sua vez tiveram influência dos etruscos. Pelos manuscritos da época, conclui-se  que os algarismos romanos se consolidaram pelo ano 30 d.C.


Numerais: I, II, III e IIII
Como os romanos escolheram seus símbolos?


A idéia inicial de representar o algarismo um como a letra I partiu dos dedos das mãos, II dois dedos, III três dedos, IIII quatro dedos.

Numeral:V


Para Coutinho, o símbolo V foi sugerido pelo espaço entre os dedos e o polegar. Embora, existem alguns autores que  dizem que símbolo V foi sugerido pelo espaço entre o polegar e o dedo mínimo formam um V. Os números, a seguir ao cindo, eram escritos, assim: VI, VII, VIII, VIIII.

 
Com o tempo a surgiu a ideia de relacionar o valor do número com a posição dos símbolos na sua formação. Em vez de IIII, os romanos passaram a escrever IV, significando que um símbolo escrito à esquerda de um outro de maior valor, deve ser subtraído deste. Se escrito à direita deve ser somado. Com essa regra nenhum símbolo precisa ser repetido mais do que três vezes.


De acordo a Coutinho, a origem do símbolo X pode ser explicada com a ideia de reunir o total de dez traços verticais, com dois riscos maiores, traçados no sentido das diagonais do paralelograma formado pelo grupo.

Numeral:X
Já segundo Venturi, símbolo X decorre da palavra latina decussatio, que significa cruzamento em forma de X.  Contudo, existe alguns autores que diz que vem da união dos dois punhos com as mãos abertas uma virada para cima, outra para baixo, forma um X, ou seja,  X representa dois "Vs" (em sentidos opostos). Outros ainda diz que vem da união  dos dois braços cruzados em forma de X, e mãos fechadas.


Numerais:C, L, M e D

O símbolo C provavelmente vem da palavra latina centum (em português significa cem) cuja inicial os artífices entalhavam como [.

O símbolo L surge naturalmente como metade de cem, ou seja, partindo o símbolo [ ao meio.

O símbolo para mil era a letra grega Φ. no decorrer do tempo, este símbolo foi simplificado para ( I ) que por sua vez passou a ser escrito M pois definia melhor ainicial da palavra latina Mille.

O símbolo para quinhentos, ou metade de mil, originariamente era I). Com o tempo  este símbolo passou a ser escrito D, até por aproximaçao dos sinais anterior.

É nos livros de Plinius e Cícero que aparece os primeiros numeros romanos com vinculum (barra colocada em cima de uma letra). Assim, esses números por debaixo de um vinculum fica valendo mil vezes mais, isto é, ele era multiplicado por 1.000, por exemplo:

                                         _
 V = 5.000, isto é, (5 x 1.000)

Os antigos romanos usava também o enquadramento ao vinculum. O enquadramento surgiu na época imperial de Roma, consistia em envolver os algarismos por um retângulo sem base e com isso denotar que a parte envolvida ficava multiplicada por 100 000. O exame do Corpus Inscriptionum Latinarum mostra que seu emprego não deve ter sido comum, mas um exemplo é 13 x 100 000 escrito como:


 ______
  |  XIII | 
 
 
Referências:
 
Coutinho, Lázaro. A convenção dos Algarismos. S. Paulo. Livaria da Física, 2009. 
Venturi, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9º ed. Curitiba-PR.
Site: Instituto de Matemática/UFRGS 
Site: Test Online