MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

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quarta-feira, 30 de junho de 2010

Cálculo Mortal

Cálculo Mortal
O filme traz basicamente uma dupla de adolescentes colegas de escola, o inteligente e esquisito Justin Pendleton (Michael Pitt) e o popular, bonito e rico Richard Haywood (Ryan Gosling), entediados com a vida que resolvem cometer um assassinato planejam juntos o assassinato aleatório de uma moça, Olivia Lake (Krista K. Carpenter), após o seqüestro de dentro de sua própria casa, livrando-se do cadáver jogando-o num local isolado próximo à cidade. Realizado de forma muito bem calculada, com implantação de pistas falsas, o crime parecia perfeito graças ao bom desempenho do plano criado pelos estudantes. Cassie Mayweather (Sandra Bullock) é uma detetive de homicídios solitária e amarga e ela  é encarregada de encontrar os responsáveis pelo assassinato da jovem na pequena San Benito, na Califórnia onde o corpo da vítima foi encontrado em uma vala perto do rio que beira a cidade.
 
Algo de muito estranho envolve o caso a matemática das provas e a inexatidão das evidências nada revelam e com a ajuda do parceiro Sam (Ben Chaplin), Cassie analisa as pistas do caso.

Existe a insinuação discreta de um envolvimento homossexual entre os dois estudantes, porém o surgimento de uma bela jovem, Lisa (Agnes Bruckner), também estudante do mesmo colégio, que pede ajuda ao “nerd” Justin para melhorar suas notas de Física, acaba criando no rapaz uma atração sentimental pela moça, certamente abalou seu relacionamento com Richard. Apesar das evidências investigadas aparentemente inocentarem os adolescentes, Cassie insiste na tese que eles tem participação no assassinato e aos poucos vamos acompanhando sua trajetória com uma detalhada investigação, enfrentando a resistência de seu chefe, Rod (R. D. Call), e de um ex-parceiro com quem teve problemas de relacionamento no passado, Al Swanson (Tom Verica), descobrindo elementos novos para o esclarecimento do crime, e após muitas reviravoltas na trama, culminando com um desfecho surpresa. O que parece um crime perfeito terá que ser revelado.

Título Original: Murder by Numbers
Tempo: 120 min
Ano de Lançamento: 2002
Elenco: RYAN GOSLING & MICHAEL PITT & SANDRA BULLOCK & BEN CHAPLIN
Direção: BARBET SCHROEDER
Produção: SANDRA BULLOCK & BARBET SCHROEDER
País de Orígem: EUA


Trailer


terça-feira, 29 de junho de 2010

Marie-Sophie Germain

 Marie-Sophie  Germain (1776 - 1831)

Marie-Sophie

Matemática francesa nascida em Paris no ano de 1776, a primeira mulher que, não sendo a esposa de um membro, podia participar das conferências da Académie des Sciences de Paris. Filha de um comerciante bem sucedido adquiriu o gosto pela matemática ainda criança e, por ser mulher, teve que ser autodidata, mas contou com o incentivo do pai. Dedicou-se inicialmente a estudar os trabalhos de Leonhard Euler (1707-1783) e Isaac Newton (1643-1727). Tinha 18 anos quando foi aberta a École Polytechnique de Paris (1794), um centro de excelência para a formação de matemáticos e cientistas reservado exclusivamente para homens.

Para poder entrar na academia, assumiu clandestinamente a identidade do Monsieur Antoine-August Le Blanc, quando este deixou Paris e sem que o mesmo soubesse, e passou a colaborar continuamente com suas respostas aos problemas, como se fosse Le Blanc. O supervisor do curso, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), surpreso com a repentina e extraordinária subida de qualidade do antes medíocre aluno, solicitou-lhe um encontro e, assim, ela foi descoberta.

No entanto Lagrange tornou-se seu mentor e amigo e, finalmente, ela teve um professor de alto nível para orientá-la em sua atividades. Embora já tivesse uma certa reputação em Paris, por ser mulher ainda continuou empregando seu pseudônimo sempre que lhe convinha, principalmente quando tratava de corresponder-se com outros matemático de renome de outros países. A correspondência de Sophie com o matemático Adrien-Marie Legendre trouxe uma contribuição importante para a Teoria dos Números. Ela também se destacou nos estudos da Matemática Pura, da Matemática Aplicada.

Depois dos 30 anos de idade, mudou seus interesses para a física, disciplina na qual também foi brilhante, por exemplo, dando importantes contribuições para a moderna teoria da elasticidade, apesar de continuar sofrendo dos mesmos preconceitos antifeministas. Seus estudos para estabelecer a teoria da elasticidade dos metais foram fundamentais para a construção da Torre Eiffel, mas por preconceito seu nome foi omitido da relação dos 72 sábios cujas pesquisas contribuíram definitivamente para a construção do famigerado e notável monumento.

Sophie demonstrou o último teorema de Fermat (1601 - 1665)  para alguns valores específicos de números primos, que ficaram conhecidos por "Primos de Sophie Germain". Estes números primos caracterizam-se pelo fato de o seu dobro mais a unidade constituirem também números primos. Devido a essas pesquisas recebeu uma medalha do Instituto de França.

A convite do amigo e admirador Carl Gauss (1777-1855), iria receber o grau honorário da Universidade de Göttingen, mas antes que a universidade lhe tivesse concedido a honraria, morreu de câncer no seio, em Paris. Antes de morrer, Sophie escreveu um ensaio sobre a filosofia da ciência, que foi elogiado pelo filósofo Augusto Comte. Nunca se casou, e sendo uma das mulheres mais crânio de todos os tempos, teve a notícia oficial de sua morte publicada como uma solteira sem profissão.

Referências:

http://ecalculo.if.usp.br/historia/marie_sophie.htm 

sexta-feira, 25 de junho de 2010

Informativo de matemática I

Este INFORMATIVO tem por objetivo contribuir com o ensino de Matemática, compartilhando conhecimentos e tendências, promovendo o desenvolvimento profissional de futuros professores, antecipando-se na busca de inovações e criatividade, valorizando a ética e incentivando o professor comprometido com a formação de estudantes críticos e responsáveis. Os moderadores são discentes do curso de licenciatura em Matemática com enfoque em informática da UESB, campus de Jequié-BA.


Este primeiro número contém:


Cálculo Mental;
Absurdos matemáticos;
Grandes matemáticos;
Sugestão de filme;
Software matemática;
Demonstrações;
Eventos. 

Observação: este informativo não tem fins lucrativos, são disponibilizados gratitamente para todos os dicentes do curso  matemática  da uesb, campus de Jequié, com intuito de divulagar a beleza que existe na matemática. 


Vale a pena baixar, e não esqueça de mandar suas críticas, dúvidas ou sugestões. Segue o link abaixo:

domingo, 20 de junho de 2010

A Matemática que existe no futebol

A Matemática está presente no futebol, por exemplo, na elaboração das tabelas dos jogos, na geometria do campo, nas diversas estatísticas, que permitem avaliar o desempenho de cada time como também de cada jogador e pricinpalmente na bola. 
 
 
 
É notável que jogadores, sem perceber, fazem cálculos mentais para estimar a distância em que está o companheiro e a força que precisa ter o chute para a bola alcançá-lo, além disso, usam constantemente os dribles para buscar o melhor ângulos para chutar a bola.

Os técnicos, por sua vez, definem táticas em que estabelecem áreas no gramado para cada jogador do time ataque  ou defender. Enfim, há inúmeras possibilidades de aproveitamento dos jogos de futebol para entender a matemática.


 

O menino travesso

Observe as figuras encontre os sete erros.




Boa sorte!

Autor da imagem: Desconhecido 

Segundo, Amoroso Costa


"Sem a matemática não seria possível existir a Astronomia;
sem os recursos prodigiosos da Astronomia, 
não seria impossível a Navegação. 
E a navegação foi o fator máximo do progresso da Humanidade".




Amoroso Costa

Letra G

GEOMETRIA - É a área da Matemática que trabalha com sólidos, superfícies, linhas, pontos ângulos e suas relações.

GEOPLANO - Uma prancheta de madeira ou de plástico composta de pregos ou metais disposta em quadrado, permitindo a construção de vários polígonos e aprofundamento de uma variedade de conceitos geométricos.

GRADIENTE - O mesmo que declive, uma medida de rampeamento. Mede-se como um ângulo ou como uma razão. Ex.: No caso de uma reta, obtém-se m = y/x onde y é a "subida" e x o "caminho" percorrido na horizontal.

GRÁFICO - Um quadro que permite representar os dados.

GRÁFICO DE BARRAS - Um gráfico onde os dados são representados com faixas verticais ou horizontais.

GRÁFICO DE LINHAS - Um gráfico formado por uma linha construída pela ligação de segmentos de reta, unindo os pontos que representam os dados.

GRAMA - Medida de massa. Ex.: 1000 gramas = 1Kg.

GRANDEZA ESCALAR - Aquela que não necessita de outra informação que não seja o seu valor. Ex.: 7cm, 23Kg.

GRANDEZA VETORIAL - Grandeza que além do seu valor numérico necessita,  estar bem definida, com uma uma direção e um sentido.

GRAU - Unidade de medida de ângulo muito utilizada nos primeiros níveis educacionais. Ela é obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno º colocado como expoente do número. Ex.: 1º.

GROSA - Número correspondente a doze dúzias, ou seja, 144 unidades.

GUGOL - Nome dado ao número 1 seguido de 100 zeros.

GUGOLPLEX - Número que equivale a "10 elevado a 1 gugol".

Mastermind

O Mastermind significa “acima da média” é um jogo, para dois jogadores, inventado em 1970 por Mordecai Meirowitz, um perito de telecomunicações israelita. Pode ter sido inspirado por "moo", um programa desenvolvido por J. M. Grochow no MIT no inicio dos anos 60, o jogo vendeu mais de 50 milhões de tabuleiros em 80 países, tornando-se o mais bem sucedido novo jogo da década de 70. Trata-se de um jogo de tabuleiro, cujo objetivo educativo é desafiar o raciocínio lógico dos jogadores, que devem descobrir qual é a seqüência correta de cores criada por seu oponente. 
No Brasil o jogo recebeu o nome de Senha e, em pouco tempo, tornou-se muito popular entre crianças, adolescentes e adultos.


Em cada jogada, o jogador apresenta uma combinação de pedras coloridas a que o adversário responde, mostrando uma marca preta por cada pedra colorida na posição correta e mostrando uma marca branca por cada pedra colorida presente na combinação, mas noutra posição. Face a esta resposta, o jogador apresenta uma nova combinação, juntando cores que ainda não foram escolhidas, trocando a ordem das cores, ou ambos. Portanto existem 1296 = 6³ códigos possíveis. O jogo progride até que a combinação seja descoberta ou que o número limite de jogadas seja atingido.

Construção

A confecção do jogo em cartolinas coloridas atenderá, perfeitamente, ao objetivo do mesmo, então:

- Construa uma tabela na cartolina de acordo a figura ao lado;
- Construa as fichas, sendo:
30 fichas brancas;
30 fichas negras;
60 fichas em seis cores diferentes (10 de cada cor).





Regras para 2 jogadores por tabuleiro

Primeiramente a dupla define quem irá começar, pode ser através de par-ou-ímpar, ou por outra forma. O jogador que iniciar o jogo (Jogador 1) deverá criar uma combinação (senha) de quatro cores entre as seis presentes no jogo e anotá-la em um papel sem que seu colega veja, obedecendo às seguintes regras:

Não poderá usar as cores branca e preta em sua senha e não poderá também repetir uma mesma cor na combinação. O segundo jogador (Jogador 2) tentará descobrir qual a senha que seu colega montou. Para isso, deverá proceder da seguinte forma: o Jogador 2 deverá “chutar” uma senha (combinação de quatro cores) e colocar nas 4 primeiras casas do tabuleiro na coluna “Tentativas” e pedirá ao seu colega (Jogador 1) que analise a senha. Este deverá usar as fichas brancas e pretas para dar informações sobre a “possível senha” apresentada, da seguinte maneira:

O Jogador 1 colocará uma ficha branca na primeira casa do tabuleiro na coluna “Análise” se o elemento que estiver na mesma posição na coluna “Tentativas” for um elemento presente em sua senha e na posição correta. Será atribuída uma ficha preta nessa mesma casa se o elemento correspondente pertencer à senha, mas estiver na posição incorreta. E não será atribuída nenhuma ficha caso o elemento não pertença à senha.

E assim segue até que a análise seja feita ate a 4ª casa da coluna “Análise”. Feito isso, o Jogador 2 analisará os dados obtidos e “chutará” uma nova combinação e, da mesma forma, o Jogador 1, obedecendo à correspondência anterior, deverá analisar a segunda “possível senha”.

O Jogador 2 poderá fazer 8 “chutes” estipulados para tentar descobrir a combinação, caso não consiga deverá trocar de lugar com o Jogador 1 e dá-se início, então, a um novo jogo. Ganhará aquele jogador que conseguir descobrir a senha em menos tentativas.

Observação: pode haver empate.

Boa sorte...

Resolvendo o cubo mágico I

sábado, 19 de junho de 2010

Galileu Galilei

Galileu
Galilei, Galileu (1564-1642) 
  
Físico, Matemático e astrônomo Italiano, nasceu na cidade de Pisa em 1564. Filho de Vicenzo Galilei, músico, desde cedo, demonstrou ser bom estudante. Sua família mudou-se para Florença em 1574 e Galileu foi educado pelos  monges  domosteiro de Camaldolese, em uma cidade vizinha e por pouco Galileo não seguiu a carreira artística. 

Em 1581, com apenas 17 anos de idade, Galileu começou a estudar Medicina na Universidade de Pisa. Seu interesse pela Medicina nunca evoluiu por ser péssimo aluno e só pensava em fazer experiências físicas (que, na época, era considerada uma ciência de sonhadores).

Finalmente, em 1585, Galileu abandonou a Medicina e começa aplicar a matemática às áreas de trabalho que desenvolvia: astronomia, física da cinemática e resistência dos materiais. Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da Inércia. Devido ao trabalho essencial desenvolvido por Galileu nessas áreas, ele é considerado o fundador da mecânica e da física modernas. Sem recursos para freqüentar a Universidade de Pisa, foi autodidata em matemática, estudando Euclides e Arquimedes. Baseando-se nos trabalhos de Arquimedes, Galileu melhorou os conceitos e os resultados no campo da hidrostática. Em pouco tempo, tornou-se professor de matemática na Universidade de Pisa e depois na Universidade de Pádua.

Aristóteles era o único que havia descoberto algo sobre a Física, ninguém o contestava, até surgir Galileu. Foi nessa época que descobriu como fazer a balança hidrostática, que originaria o relógio de pêndulo. Em Veneza.fez observações da Via Láctea a partir de 1610 usando um telescópio construído por ele mesmo, porém, não cabe a ele o crédito da invenção do telescópio, as suas descobertas fizeram com que ele defendesse o sistema de Copérnico. Com isso efetuou extraordinárias descobertas de astronomia, entre as quais os satélites de Júpiter, as fases de Vénus, os mantanhas da Lua, as manchas do Sol.

Pressionado pela Igreja, foi para Florença, aonde concluiu com seus estudos que o Centro Planetário era o Sol e não a Terra, essa girava ao redor dele como todos os planetas. Foi condenado pela inquisição e teve que negar tudo no tribunal onde a pena foi depois comutada em residência fixa, em Arcetri. Continuou a trabalhar  apesar de ter ficado cego, assistido por muitos alunos  entre os quais Evangelista Torricelli.

Colocou em discussão muitas idéias do filósofo grego Aristóteles, entre elas o fato de que os corpos pesados caem mais rápido que os leves, com a famosa história de que havia subido na torre de Pisa e lançado dois objetos do alto. Essa história nunca foi confirmada, mas Galileu provou que objetos leves e pesados caem com a mesma velocidade. Ao sair do tribunal, disse uma frase célebre: "Epur si Muove!", traduzindo, " e com tudo ela se move ". Morreu cego e condenado pela igreja, longe do convívio público. 341 anos após a sua morte, em 1983, a mesma igreja, revendo o processo, decidiu pela sua absolvição.

Principais obras: 


Defesa contra as calúnias e imposturas de Baldessar Capra (1607);
Mensageiro celeste (1610);
Discurso sobre as coisas que estão sobre a água (1612);
História e demonstrações sobre as manchas solares (1612);
Discurso sobre o fluxo e refluxo do mar (1616);
Diálogo sobre os dois maiores sistemas (1623);
O Ensaiador (1623);
Discurso sobre duas ciências novas (1638). 



Referência:


Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Wikipédia

Onde o cachorro precisa passar?

Um cachorro foi passear pela primeira vez sozinho, sua dona deixou um mapa pra ele seguir, e o ultimo lugar estava em códigos. Ajude o cachorro, a saber, o nome do lugar onde ele precisa passar.


___   ___  ___   -   ___  ___  ___  ____
16      5     20            19     8     15     16

sábado, 12 de junho de 2010

A matemática da paixão


De mais de dois mil beijos que te dei,
um beijo apenas dei apaixonado.
E esse beijo nunca mais foi dado
nas muitas outras bocas que beijei.





O beijo foi um xis, posto ao quadrado,
no ene infinito do desejo.
E assim, na matemática do beijo,
o beijo é o amor simplificado.


Pitágoras mostrou, em teorema,
o que poetas mostram em poemas:
A soma do quadrado dos catetos


define a hipotenusa da paixão.
E na raiz de tal equação
estão quatorze versos e um soneto.


Autor: Desconhecido

Uma história de dividir




Um divisor dividia

muitíssimo devagar.

A divisão bem podia, 

dizia ele, esperar.

 

O dividendo, mais lesto,
 
não podendo perder tempo, 

dia a dia ia perdendo 

a paciência e o resto.

 


E, encarando o amigo,

falava-lhe duramente:

Não posso contar contigo,

és um inquociente!


Manuel António Pina

1. Equação para desenhar coração

Para plota o gráfio abaixo você pode usar qualquer software que plote gráficos de funções:


Neste gráfico usamos o winplot e seguimos os seguintes passoas:

I- Em janela escolha a opção 2-dim ou pressione F2;

II- Em equações escolha a opção implícita ou pressione F3;

III- E por fim digite: (x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0 e clique em ok.

sexta-feira, 11 de junho de 2010

lógica dentro do quadrado

Qual é, entre as opções apresentadas, a figura que completa esta sequência?




Boa sorte!



Referência:

Bolg: Matemaquices

1ª Feira Nacional de Matemática


Como coroamento de um projeto de educação matemática, nascido na FURB e  construído ao longo de 26 anos através das feiras de matemática,  a cidade Blumenau receberá no mês de junho estudantes de todo o Brasil para a 1ª Feira Nacional de Matemática.



Período e Local de realização:

Universidade Regional de Blumenau (FURB) – Campus I – Blumenau, SC
Data: 30 de junho, 01 e 02 de julho de 2010.

Objetivo Geral:
   
Promover a construção e divulgação dos conhecimentos matemáticos, socializando suas pesquisas e seus resultados.

Objetivos específicos:

- Promover o intercâmbio de experiências pedagógicas;
- Contribuir para a inovação de metodologias no ensino da matemática;
- Transformar a matemática em ciência construída pelo aluno e mediada pelo professor;
- Promover a integração da matemática com outras áreas do conhecimento;
- Avaliar a qualidade científica dos trabalhos apresentados nas Feiras;
- Despertar nos alunos maior interesse na aprendizagem da Matemática;
- Chamar a atenção para a necessidade, cada vez maior, da integração vertical e horizontal do ensino da Matemática.

Fonte: http://www.furb.br/especiais/interna.php?secao=855

I ENEAM e o VIII ECEM


O I ENEAM – Encontro Nacional de Ensino e Aprendizagem de Matemática e o VIII ECEM – Encontro Capixaba de Educação Matemática será realizado no Centro de Educação da UFES entre os dias 24 e 26 de junho de 2010 e terá como tema “Práticas de ensino e aprendizagem de matemática: cultura e diversidade”.

Este evento está sendo promovido pelo Programa de Pós-Graduação em Educação do Centro de Educação da Universidade Federal do Espírito Santo e pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática, regional ES - SBEM-ES, e organizado pelo GEEM-ES - Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo.


Objetivo Geral:
Promover a socialização do conhecimento construído em educação matemática por meio das experiências e pesquisas de professores, alunos e comunidade científica, em especial, no que se refere às práticas de ensino e aprendizagem de matemática, tendo como referência a cultura e a diversidade do Estado do Espírito Santo e do Brasil. Divulgar e disseminar pesquisas em educação matemática de forma geral e, em especial, aquelas realizadas por pesquisadores do Estado do Espírito Santo. Possibilitar interlocução entre pesquisadores e professores da educação básica e do ensino superior.


Objetivos Específicos:

a) Promover o intercâmbio científico-cultural entre professores da Educação Básica e Ensino Superior e estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática e Pedagogia da UFES e de outras instituições de ensino, na busca do aperfeiçoamento do conhecimento matemático;
b) Refletir sobre práticas de ensino e de aprendizagem de matemática dentro da diversidade cultural em que as escolas estão inseridas;
c) Refletir sobre a formação e o desenvolvimento profissional frente à diversidade e cultura em que os processos de ensino e aprendizagem ocorrem;
d) Contribuir com a formação inicial e continuada do professor de matemática, possibilitando uma melhoria de ensino e aprendizagem de matemática na educação básica no estado do Espírito Santo;
e) Discutir aspectos teórico-metodológicos da pesquisa em educação matemática;
f) Gerar ambientes de socialização de experiências inovadoras para as aulas de matemática;
g) Oferecer à comunidade científica de educação matemática do Estado do Espírito Santo e outras regiões, as condições para apresentação e discussão da produção científica nas diversas tendências em educação matemática.


Público Alvo:

Estudantes de cursos de graduação em pedagogia e em licenciatura em matemática.
Professores que ensinam matemática na educação básica (educação infantil, ensino fundamental, ensino médio e educação de jovens e adultos) e ensino superior.
Professores e alunos de pós-graduação em educação e em educação matemática.
Pesquisadores em educação e em educação matemática.
Gestores e outros profissionais das secretarias de educação.

Fonte: http://www.emates.com.br/eneam/apresentacao/apresentacao.asp

Origami - Aprendendo a fazer uma caixinha

As Laranjas

Uma mulher queria ir buscar laranjas ao jardim do rei, mas este disse-lhe que só a deixava ir lá, se ela colhesse as precisas para dar a três guardas o seguinte: ao primeiro, metade das laranjas que trouxe e mais meia, sem partir nenhuma; ao segundo, metade das que ficassem e mais meia, sem partir nenhuma; ao terceiro, metade do resto e mais meia, sem partir nenhuma. A mulher deu aos guardas as laranjas que devia e saiu com uma. 


Quantas laranjas colher?

0 é igual 10?

 Demonstração


Começamos com a seguinte igualdade:

 0 = 0

Como o zero é o elemento neutro da adição, então:

0 = 0 + 0 + 0 + 0 + ...

Sabemos  que "10 - 10 = 0", então podemos substituir os zeros pela operação, logo:

0 = (10 - 10) +  (10 - 10) +  (10 - 10) + ...

Uma vez que adição e a subtração de némeros reais gozam da propriedade associatividade, então temos:

0 =  10 - 10 +  10 - 10 +  10 - 10 + ...

Como eles também gozam da propriedade comutividade, então façamos:

0 = 10 + (10 - 10) +  (10 - 10) +  (10 - 10) + ...

Resolvendo a operação encontramos:

0  = 10 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 10

c.q.d

Obviamente esta demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 0 não é igual a 10 (ou alguém tem alguma dúvida?).




TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !

Os números do biscoito da sorte

 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

3 tipos de estatísticos

 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

terça-feira, 8 de junho de 2010

Borboleta tem um plano de simetria

Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria.  A simetria na Natureza é um fenômeno único e fascinante. Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias intuitivamente, é um pouco mais difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No entanto, no plano, a idéia básica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes de alguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeitamente, quando sobrepostas.


Uma borboleta é um inseto de beleza harmoniosa que apresenta um eixo de simetria facilmente identificável, dividindo seu corpo e asas em duas metades extremamente semelhantes entre si, não apenas na forma, como também nos desenhos que as asas comportam.

Sua simetria é conhecida como bilateral. Este eixo de semetria está relacionado com seu equilíbrio, lhe dando estabilidade para executar seus graciosos movimentos de vôo. Assim como a borboleta, todos os animais que voam devem possuir simetrias em relação a um eixo central, lhe permitindo a possibilidade de deslocar pelo céu com desenvoltura.

A borboleta possui mais de um eixo de semetria. Mas não tão aparentes como sua simetria bilateral. A simetria funcional da borboleta, por exemplo, lhe permite se adaptar as mudanças do meio e com ele se relacionar sem deixar de existir como tal.

         
As aparências enganam

As próprias borboletas por vezes formam em suas asas grandes olhos simétricos, que embora falsos, assustam o provável predador.

Portanto a borboleta é um perfeito exemplo de simetria encontrada na natureza.

Casas vizinhas

A casa azul é vizinha da verde e da amarela.
A casa amarela não é vizinha da vermelha.
O número da casa azul é ímpar.


De que cor é a casa número 2?

Robôs operam coração batendo graças à visualização 3D


Uma equipa de investigadores do Centro Nacional de Investigação Científica de França (CNRS) desenvolveu um modelo computorizado em três dimensões (3-D) capaz de acompanhar o movimento dos batimentos do coração com extrema precisão e em tempo real.

Os resultados desta investigação foram publicados na International Journal of Robotics Research, sendo o seu primeiro autor o brasileiro Rogério Richa, do Laboratório de Informática, Robótica e Microelectrónica de Montpellier, em França.

Inserindo-se os dados recolhidos por esse modelo no programa do “robot cirurgião”, os instrumentos robóticos movimentam-se em consonância com os batimentos cardíacos, permitindo a realização da cirurgia, como se o coração estivesse parado.

Além do coração, o modelo 3-D computadorizado também tem capacidade para acompanhar o movimento da parede torácica do paciente durante a respiração, o que amplia a sua possibilidade de utilização em outras cirurgias, melhorando o desempenho dos "robots cirurgiões" de forma geral.

Modelo matemático do coração


Esta é a primeira tentativa bem-sucedida de efetivamente isolar os movimentos físicos do coração e dos pulmões durante a cirurgia. Isso é particularmente difícil dada a forma irregular do coração, assim como a sua tendência para se expandir em todos os sentidos durante o batimento. A superfície irregular do coração também torna mais difícil a utilização do rastreamento visual para identificar com precisão os movimentos.

O desenvolvimento do modelo 3-D em tempo real foi possível graças a uma nova abordagem que se baseia em uma representação matemática da superfície do coração enquanto ele se move em três dimensões durante o bombeamento.

Várias tentativas já haviam sido feitas para a utilização de modelagem por computador para levar em conta os movimentos do coração e da respiração. No entanto, os esforços anteriores usavam imagens 2-D combinadas com outras etapas de mensuração e cálculo, o que as torna lentas demais para fornecer um feedback instantâneo durante uma cirurgia.

O novo sistema de imagem 3-D prevê os movimentos do coração em uma única etapa, o que o torna rápido o suficiente para ser utilizado no ambiente real de uma sala cirúrgica.

Bibliografia:
Three-dimensional Motion Tracking for Beating Heart Surgery Using a Thin-plate Spline Deformable Model
Rogério Richa, Philippe Poignet, Chao Liu
The International Journal of Robotics Research
December, 2009
Vol.: Published online ahead of print
DOI: 10.1177/027836490935660
Imagem: Richa et al.

Sempre 5

Pensa num número qualquer.
 

Calcula o dobro desse número.

Adiciona agora seis unidades.


Calcula metade do valor obtido.
 

Adiciona duas unidades.

Calcula a diferença entre o resultado obtido e o número pensado inicialmente.

O resultado final é cinco. 

Porquê?

Quadrado Mágico 27

Preenche a tabela com os números de 5 a 13, de forma a que todas as linhas, colunas e as 2 diagonais, somem sempre 27...






Boa sorte...


Referência:

sábado, 5 de junho de 2010

Medida Certa

Antes de inventar a fita métrica, a trena e outros instrumentos para tirar medidas, o homem utilizava seu próprio corpo como referência. Foi daí que surgiram medidas como a polegada, o palmo, o pé, o passo, a jarda (tomando por base o comprimento de um braço estendido), a braça (os dois braços estendidos, como na cruz). Alguns desses padrões continuam sendo muito utilizados até hoje. Veja quanto eles medem em centímetros:

1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 30, 48 cm
1 jarda = 91, 44 cm

Sequência alfabétcia I

Determine a próxima letra da sequência?



U, D, T, Q, C, S, S, O, ...







Referência:

1. Quantos retângulos você consegue contar na figura abaixo?

Matemática, uma ciência exata

A Matemática é uma ciência exata  onde seus conceitos devem ser isentos de indefinições e contradições, para que possam ser utilizados como premissas no desenvolvimento das teorias. Vejamos um exemplo simples de como atua o pensamento matemático. Suponhamos a expressão aritmética: 

3 vezes um terço, 3x1/3. Realizando a multiplicação temos 3 sobre 3, ou seja, 3/3. Portanto, o resultado da expressão é 1

Mas agora vamos proceder de outra forma, também correta: 1 a dividir por 3, ou seja, 1/3, que nos dá 0,3333... . Multiplicando por 3, temos como resultado final 0,9999... . Dois resultados diferentes. É uma contradição! 

Não é, pois 0,9999... é uma dízima periódica, ou seja, uma outra representação do número 1

Apesar de 0,9999... ser intuitivamente equivalente a 1 é necessário provar que isso é verdade. Há na lógica matemática, um princípio universal, chamado princípio da indução completa, que nos diz que se uma operação se repete sempre rigorosamente nas mesmas condições, ela irá se repetir indefinidamente. Assim acontece com a divisão de 1 por 3. O 3 de 0,3 repetir-se-á sempre nas mesmas condições operacionais. Portanto a divisão repete-se indefinidamente.

A garrafa de Klein

A garrafa de Klein é um objeto muito intrigante. Felix Klein, um matemático alemão (1849 – 1925) concebeu um modelo topológico representado por uma garrafa especial que tem apenas uma superfície. A garrafa de Klein tem uma parte exterior, mas não tem interior, visto passar através de si própria. Se deitássemos água num orifício, ela voltaria a sair pelo mesmo sítio.

Nesta garrafa , não se sabe o que está dentro e o que está fora. Vamos imaginar que a queríamos pintar de azul por dentro e de vermelho por fora. Isso não seria possível. Na verdade ela não tem uma borda em sítio algum. Nunca poderíamos descobrir onde terminaria o lado vermelho e começaria o lado azul.

Conhecida por suas "propriedades estranhas", a Garrafa de Klein é um objeto matemático que vivem em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço 3D.  Portanto trata-se de uma superfície fechada sem margens e não orientável, isto é, uma superfície onde não é possível definir um “interior” e um “exterior”. 

A matemática das compras

Um homem paga 2 contos por algo que necessita e que custa 1.

Uma mulher paga 1 conto por algo que não necessita e que custa 2.


 
Referêncial:
 
Site: Cálculu's

O Símbolo da Dedigualdade "> e <"

Os sinais ">" (maior que) e "<"! (menor que) foram introduzidos por Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica. 



No entanto, os símbolos  "" (maior que ou igual a) e "" (menor que ou igual a) surgiram mais tarde, em 1734, com o francês Pierre Bouguer.

Referência:

Venturi, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9º ed. Curitiba-PR.

Beleza matemática

Concurso inglês elege as mais belas equações da história
Thereza Venturoli

As equações matemáticas são como as mulheres. Algumas são simples, outras, complicadas. Nenhuma é fácil. As mais difíceis acirram a curiosidade e prendem a atenção dos homens por muito tempo. As mais simples revelam mistérios até então insuspeitados. A maioria não pode ser completamente decifrada. Robert Crease, historiador e filósofo da Universidade Estadual de Nova York, em Stony Brook, acredita ter encontrado outra dimensão feminina nas equações: a beleza. Crease propôs aos leitores da revista inglesa Physics World um concurso para eleger as mais belas formulações matemáticas. Computadas as sugestões, o primeiro lugar foi dividido entre criações arcanas mas de uso corriqueiro entre físicos e matemáticos. Uma das escolhidas foi uma equação elaborada pelo suíço Leonhard Euler (1707-1783), empregada em cálculos de matemática pura. Ela dividiu o primeiro posto com quatro outras formulações de autoria do físico escocês James Clerk Maxwell (1831-1879), que descrevem o comportamento de campos elétricos e magnéticos.

Mas pode existir beleza em uma fórmula cheia de números e sinais? A definição clássica diz que a beleza é a qualidade que uma pessoa ou um objeto têm de provocar prazer aos sentidos ou de elevar ou deleitar o espírito ou a mente. Quanto ao prazer dos sentidos – da visão, especificamente –, os leigos podem perceber beleza na ferramenta matemática que gera imagens chamadas de "fractais" como a que se vê no alto da página. Os fractais são produzidos a partir de equações matemáticas interpretadas com formas e cores por computadores. A técnica, desenvolvida na década de 70 pelo francês Benoit Mandelbrot, da Universidade Yale, permitiu visualizar padrões uniformes em formas da natureza – como a ramada de uma árvore ou o recorte de um continente – que não seguem a regularidade dos quadrados ou círculos. Os fractais são belos, sem dúvida. Mas as apavorantes equações, que tiram o sono dos estudantes e dificultam a leitura de qualquer texto, podem ser bonitas?

Físicos e matemáticos dizem atingir o tal "deleite da mente" ao lidar com as seqüências de algarismos e letras intercaladas por símbolos bizarros. Enxergam beleza onde as pessoas sem treino vislumbram sinais desconexos. O editor do livro Uma Breve História do Tempo, do inglês Stephen Hawking, alertou o físico sobre o uso dessas sopas de letras e algarismos: elas afastam os leitores e prejudicam as vendas. O gênio de Cambridge decidiu manter na obra apenas a equação da teoria da relatividade especial de Einstein, a famosa E = mc², que compete com o retrato de Che Guevara feito pelo fotógrafo Alberto Korda como a mais popular estampa de camiseta.

Para os olhos treinados, as equações são a transcrição matemática da natureza. Se a natureza é bela, sua imagem fixada em sinais também pode ser bela. Interessante que, para muitos votantes no concurso da revista Physics World, a beleza das equações transcende o mundo natural. "O que poderia ser mais místico do que um número imaginário interagindo com um número real tendo como resultado o nada?", justificou um dos leitores da publicação inglesa ao votar na equação de Euler. A mesma formulação foi considerada por outros como "misteriosa e sublime" e "cheia de beleza cósmica". Alguns encontram elegância na simplicidade da fórmula, outros nas revelações que ela embute ou nos desdobramentos teóricos que ela desencadeia. As equações – particularmente as empregadas na física – representam o resumo de uma às vezes tortuosa caminhada intelectual. Assim, de certa forma, podem ser, com grande imaginação, comparadas às palavras mágicas dos alquimistas.

O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) dizia que estudar as relações matemáticas entre os corpos celestes nos aproximava de Deus à medida que estávamos decifrando a linguagem divina. De um ponto de vista mais terreno, as equações são como tijolos na construção do conhecimento científico – algumas se confirmam e, assim, se empilham ao longo do tempo, elevando a estrutura. Outras são refutadas, e seu vazio abre espaço para novas idéias. "A ciência não cresce de modo linear, pela acumulação do conhecimento. Muitas vezes precisamos reformar esse edifício, derrubando alguns de seus tijolos", diz Roberto Martins, físico da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e especialista em história da física.

Sendo uma forma econômica de retratar a realidade, a equação é uma mensagem cifrada, compreensível por quem domina os conceitos nela representados, não importando o idioma de quem a criou nem de quem a lê. Ser universalmente percebida é justamente uma das características da beleza. Desse ponto de vista, Leonhard Euler foi um criador de beleza tanto quanto Rubens na pintura ou Marcel Proust na literatura. O gênio suíço – que começou a perder a visão aos 28 anos – criou várias "abreviaturas" para substituir números e operações muito complexas. Euler criou a notação das equações. Foi ele, por exemplo, quem disseminou o uso da letra grega pi para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro – um número composto de uma série infinita de algarismos, geralmente representada pelos oito primeiros, 3,1415926. A fórmula minimalista 1 + 1 = 2, também citada entre as mais belas equações no concurso inglês, traduz a capacidade humana de criar símbolos para representar o abstrato – a começar pelo simples mas fundamental ato de contar objetos. Em sua simplicidade, ela talvez represente melhor do que as outras o que há de humanamente belo na matemática. Os estudiosos aceitam a tese de que o cérebro dos seres humanos já nasce pronto para a linguagem – e até para a gramática. São dádivas. O cérebro não nasce aparelhado para a matemática. Tudo dessa ciência teve de ser conquistado pela engenhosidade da mente humana em suas relações com a natureza. A matemática seria assim o fogo que o Prometeu da mitologia grega roubou dos deuses e deu aos homens. Isso é belo.
Revista: Veja
Edição 1881. 24 de novembro de 2004

sexta-feira, 4 de junho de 2010

A Matemática das Coisas

A Matemática das Coisas, é um livro que te pode a judar a ver a Matemática de uma forma diferente. Em forma de pequenas histórias divertidas, Nuno Crato mostra que a matemática é essencial no mundo moderno e que pode ser compreendida por todos. 

O Prefácio dá-nos logo indicação de que o livro A Matemática das Coisas pretende descortinar a importância da matemática no quotidiano. “Os computadores não teriamsido possíveis sem a lógica binária, a teoria dos grupos e o conceito matemático de informação. Os nossos telefones não funcionariamse não tivessem existido o estudo estatístico de sinais e os algoritmos de digitalização e compressão de dados.

Os semáforos automáticos não seriam eficazes sem os desenvolvimentos de uma área da matemática aplicada designada por investigação operacional. ”O objectivo é claro: suscitar a curiosidade do leitor para a matemática.

O livro está dividido em cinco subtítulos: coisas do dia-a-dia, a terra é redonda, coisas secretas, arte e geometria, e coisas matemáticas. Os temas são muito variados. Encontramos pequenas histórias, entre três a sete páginas cada, que explicam os paradoxos do “pára-arranca”, da melancia e do bolinho, as diferentes maneiras de atar os atacadores, as origens do Sudoku, como nos orientamos pelo GPS, os processos de codificação e linguagem secreta, o formato de papel A4, o acaso, as probabilidades emuito, muito mais. Ao todo, são 45 histórias damatemática que aumentam a nossa compreensão e o nosso prazer com esta ciência.

Este é um livro de deliciosas histórias matemáticas, histórias sobre a beleza e o poder da matemática. É a matemática em acção, contada de forma que todos a entendem, de maneira que os jovens se entusiasmam e que os professores se inspiram.

Portanto, Crato escreve com grande clareza, num estilo acessível ao mais leigo dos leigos, sendo capaz de resumir em poucas linhas os contributos dos grandes matemáticos do passado, mas quanto melhores forem os seus conhecimentos, mais fácil é de entender.

Editora: Gradiva
Autor: Nuno Crato
Idioma: Português
ISBN: 9789896162412
Número de Páginas: 248
Ano: 2008
Edição:
Acabamento: Brochura
Formato: Médio