MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

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quarta-feira, 27 de abril de 2011

A arte de calcular XIII

Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33


33 x 3367 = 111111
66 x 3367 = 222222
99 x 3367 = 333333
132 x 3367 = 444444
165 x 3367 = 555555
198 x 3367 = 666666
231 x 3367 = 777777
264 x 3367 = 888888
297 x 3367 = 999999

Referência: 

terça-feira, 26 de abril de 2011

O que são Quatérnions?

Os quatérnions constituem-se em uma clara generalização do sistema dos números complexos.

Sabemos que os números complexos são obtidos pela soma x + yi, onde x e y são números reais e i satisfaz a condição: i2 = -1.

 
Já os quatérnions são formados pela adição x + yi + zj + xk,  ou seja: 

Q = x + yi + zj + wk

onde x, y, z e w são reais e i, j e k, satisfazem as condições: 


i2 = j2 = k2 = ijk = -1
ij = -ji = k
jk = -kj = i

ki = -ik = j
 

Com isso, as partes imaginárias apresentam a propriedade de serem não-comutativos em relação a multiplicação.

Histórico

Após descobrirem a representação dos números complexos, várias pessoas tentaram descobrir números "super-complexos'', como os números complexo é representado pelo plano, muitos tentaram uma solução usando não mais pares de números reais mas sim triplas de números reais, ou seja, objetos da forma (x,y,z)

Embora a definição da propriedades aditiva complexa seja válida destes objetos, o mesmo não o é com relação as propriedades multiplicativas, e neste ponto algumas propriedades falharam. 

"As dificuldades que muitas pessoas têm sentido em relação à doutrina das Quantidades Negativas e Imaginárias em Álgebra fizeram com que eu, desde há muito, concentrasse minha atenção nelas ..." Hamilton

Em torno de 1830 Hamilton procurava por tal sistema de triplas. Ao contrário de outros matemáticos que atacaram este problema, Hamilton tinha claro a abstração do problema: as propriedades multiplicativas dos números complexos "deveriam'' ser satisfeitas para as triplas, assim como a distributividade (a adição não apresenta problemas). 

Após várias tentativas infrutíferas, ficou claro para Hamilton que alguma daquelas propriedades não deveria ser satisfeita. Foi só em outubro de 1843 que Hamilton descobriu como uma estrutura coerente poderia ser obtida, bastando para isso abrir mão de apenas uma daquelas propriedades. A solução era procurar não por triplas (x,y,z) mas sim por quadras (x,y,z,w). Assim, tal sistema foi denominado quatérnions

A partir de sua invenção, a multiplicação de números complexos dá conta do produto de segmentos orientados, cujo resultado pode ser interpretado como uma rotação no plano. Essa possibilidade de operacionalização, por sua vez, contribuiu para que entidades de natureza mista, número-direção, se estabelecessem definitivamente.



Referência:

HAMILTON, W.R. The mathematical papers, v. III, Álgebra. Cambridge, University Press, Brooke Crutchley, University Printer, 1967.
Seti: Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

A arte de calcular XII


1 = 1       
1+11 = 12       
1+11+111 = 123       
1+11+111+1111 = 1234       
1+11+111+1111+11111 = 12345       
1+11+ 111+1111+11111+111111 = 123456       
1+11+111+1111+11111+111111+1111111 = 1234567       
1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111 = 12345678       
1+1+111+1111+11111+111111+111111+11111111+111111111 = 123456789       



Referência:  

Vestibular 1

sábado, 23 de abril de 2011

A COBRA

Descrevendo no chão, matematicamente,
Ora o número dois, ora o número três,
Ora um seis, ora um oito e, isto assim de repente,
Anda a cobra a fazer, e a apagar o que fez.


Às vezes se atrapalha e se torna impaciente;
E ora em zero pospõe (com que dtino talvez!),
Ora um nove acrescenta inopinadamente,
Ora, perde a acabeça, e começa outra vez...

Talvez a cobra fosse a inspiração feliz,
De Kepler, Galileu, Pitágoras, Descartes,
De Newton, D'Alembert, e outros gênios do x!


Talvez olhando a cobra, a enumerar assim,
Leibnitz se inspirasse e, por todas as partes,
Espalhasse a invenção do ''Cálculo sem fim''!...


Francisco Leite

Referências:
 
Leite, Francisco.Revista Alkarismi, Rio de Janeiro, Maio de 1946.

sexta-feira, 22 de abril de 2011

É O TEMPO QUE MEDE A NOSSA VIDA?

A gente se acostuma a medir a vida em dias... meses... anos...
Mas será que é mesmo o tempo que mede a nossa vida?
Ou a gente deveria contar a vida pelo número de...
sorrisos... abraços... conquistas... ou amores?

E por que não os fracassos também?
Por que ao invés de dizer eu tenho tantos anos, a gente não diz:

Tenho milhares de amigos,
alguns inimigos,
1 amor,
pouquissimas tristezas,
dezenas de momentos felizes,
algumas derrotas, mas...
centenas aprendizagens?

Dizem que a vida é curta, mas isso não é verdade.
A vida é longa para quem consegue viver pequenos instantes
que se transformam em grandes momentos.

A gente vai vivendo, 
e às vezes esquece que a vida não é o tempo que a gente passa com ela,
mas o que a gente faz e sente enquanto o tempo vai passando...

A VIDA É AGORA!
Não percebemos isso, 
e às vezes passamos a nossa vida colecionando “nãos”

A viagem que não fizemos...
O presente que não ganhamos...
A festa que não fomos...
A pessoa que se foi...

VIVA A VIDA! A VIDA É AGORA

Porque o tempo faz uma viagem sem volta... 

Autor: Desconhecido
 
 
 

Gênios da matemática usam melhor as duas metades do cérebro

Um relatório publicado pela revista Neuropsychology mostra que os "gênios da matemática" realmente têm algo diferente: as duas metades de seu cérebro interagem melhor que nas demais pessoas. A revista da Associação Psicológica dos Estados Unidos fala sobre um estudo do Instituto de Pesquisa do Exército dos EUA e cientistas da Universidade de Melbourne, na Austrália.

Os cientistas estudaram 60 homens inteligentes: 18 deles tinham dons destacáveis para a matemática (com uma média de 14 anos), 18 tinham capacidade mediana para a matemática (idade média de 13 anos), e 24 eram estudantes universitários (idade média de 20 anos). 
O hemisfério esquerdo do cérebro é responsável pelo pensamento lógico e analítico, enquanto a parte direita predomina nas funções de pensamento estético, intuitivo e criativo. As aptidões para a matemática ocorrem aparentemente com mais freqüência entre os homens do que entre as mulheres, numa proporção de seis a 13 vezes mais.

Os "gênios da matemática" foram selecionados de um programa da Universidade do Estado de Iowa. Enquanto a média das provas de matemática no exame de aptidão universitária é de 500 pontos sobre 800, os homens com maiores aptidão tiveram uma média de 620 pontos no ensino médio. Os homens precoces em matemática eram igualmente bons no processamento de elementos globais e locais com qualquer dos hemisférios, o que sugere cérebros mais interativos e com maior cooperação entre os lados direito e esquerdo.

O estudo sustenta a noção de que os rapazes que têm aptidões matemáticas maiores também têm cérebros que transmitem e integram melhor a informação entre os hemisférios. "Não se trata de que se tenha um módulo matemático especial em alguma parte do cérebro", disse Michael O'Boyle, um dos autores do estudo. "Trata-se mais da organização funcional peculiar do cérebro."

"Uma melhor organização permite que o hemisfério direito contribua par o uso das imagens e destrezas espaciais de alto nível, as quais, por sua vez, se tornam muito úteis quando se trata do racionamento matemático", acrescentou.

A pesquisa reforça a noção mais ampla de que "a organização funcional, embora não necessariamente a estrutura do cérebro, pode contribuir de maneira importante para as diferenças nas qualidades cognitivas, nos talentos e pelo menos nos estilos de processamento da informação", observou O'Boyle. 
As diferentes expressões de talentos excepcionais, seja para matemática, música ou arte, "podem assinalar que um cérebro organizou seu funcionamento de uma forma qualitativamente diferente da habitual assimetria entre os hemisférios direito e esquerdo", acrescentou.

Mas o pesquisador disse não ter certeza de que estas conclusões possam ser aplicadas no ensino da matemática em geral. Para O'Boyle, seu trabalho talvez dê uma contribuição sobre o momento em que um cérebro em particular "está mais propenso a aprender" ou a adquirir uma determinada destreza. "Mas não penso que possamos criar um gênio matemático se o talento inato já não estiver ali", disse. 


Autor das imagem: MatheusMáthica (montagem)

Caro leitor, qual é a sua opinão sobre este assunto? 

Gostaria de acrescenta algo?

Participe, deixe seu comentário.
 


Referências:

Seti: Reporter News

A Matemática das borboletas

Asseguram os naturalistas que certas borboletas ostentam, em suas asas, números expressos por algarismos indo-arábicos. Essas curiosas borboletas quando voam levam a Matemática para o céu.
 

A mais curiosa das borboletas matemáticas é a dirphia Sabina Walker que ostenta, em suas asas, o algarismo 1 em preto. Essa borboleta tem a preocupação de ser a n.° 1 entre os coleópteros.
 



Borboleta interessante é a chamada Callicore Peruviana que pode ser encontrada com facilidade no Paraná e em Minas Gerais, A Callicore apresenta um 88 numa asa e outro 88 naoutra asa. A repetição é certa, pois as asas das borboletas são rigorosamente simétricas. O desenho de uma asa é exatamente igual ao desenho da outra asa.
 

Esta bela e curiosa borboleta que os naturalistas denominam Catagramma sorana Godt mostra-nos em cada asa um oitenta com os dois algarismos bem destacados. O matemático diria: 

80 de um lado, e 08 do outro

O nome Catagramma deriva-se do grego Kata (sobre) e gramma (carta).
Essa borboleta vem provar que o zero à esquerda de um número pode ter uma significação especial.



Referências:

TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática, 2º edição. Rio de Janeiro, edt. Bloch, 1973.

Palavras derivadas do quatro

 
O quatro (4) é o número natural que é sucessor  do três e antecessor do cinco. Existem diversas palavras derivadas do vocábulo quatro. Além dos números quatrocentos, quadragésimo, entre outros, podemos citar:
 
 
Quadrilátero - polígono de quatro lados.
Quadrante - arco correspondente à quarta parte da circunferência.
Quadrúpede - que possui quatro pés.
Quarteto - trecho de música executado por quatro vozes ou por quatro instrumentos. No caso do quarteto vocal, as vozes que completam são: soprano, contralto, tenor e baixo.
 

Quartilho - a quarta parte de uma camada.
Quadriénio - período de quatro anos.
Quádruplo - multiplicado por quatro; quatro vezes maior.
Quaresma - é o espaço de quarenta dias (desde a quarta feira de cinzas), sem contar os domingos, que precedem o domingo da Páscoa. Esse período é consagrado a orações e jejum pelos católicos.

Quatríduo - espaço de quatro dias.
Quadricelular - que é dividido em quatro células.
Quadriga - veículo antigo puxado por quatro cavalos.
Quartil - qualquer das separatrizes que dividem a área de uma distribuição de freqüência em domínios de área igual a múltiplos inteiros de um quarto da área total.

Quartado - dividido em quatro; formado de quatro.
Quartanário - sacerdote que recebia a quarta parte da côngrua de um cônego.
Quartano - medida antiga, equivalente à quarta parte dum quarteiro.
Quartanista - aluno que frequenta o quarto ano de um curso escolar, principalmente em faculdades ou escolas superiores.

Caro, leitor
Descubra outras palavras...


Referências:
Dicionário Eletrônico Aurélio

Sequência numérica VI

Determine o próximo número da sequência:

1, 2, 6, 20, 70, ...








Referência:

Duas notas de R$ 100,00

Um viajante chega numa cidade e entra num pequeno hotel.

O mesmo saca duas notas de R$ 100,00, põe no balcão e pede para ver um quarto.

Enquanto o viajante inspeciona os quartos, o gerente do hotel sai correndo com as duas notas de R$ 100,00 e vai até o açougue pagar suas dívidas com o açougueiro.

Este, pega as duas notas e vai até um criador de suínos a quem deve e paga tudo.

O criador, por sua vez, pega também as duas notas e corre ao veterinário para liquidar sua dívida.

O veterinário, com a duas notas em mãos, vai até a zona pagar o que devia a uma prostituta.

A prostituta sai com o dinheiro em direção ao hotel, lugar onde, as vezes, levava seus clientes e que ultimamente não havia pago pelas acomodações, avisa ao gerente que está pagando a conta, e coloca as notas em cima do balcão.

Nesse momento, o gringo retorna dos quartos, pega as duas notas de volta, agradece e diz não ser o que esperava e sai do hotel e da cidade.

Ninguém ganhou nenhum vintém, porém agora toda a cidade vive sem dívidas e com o crédito restaurado, e começa a ver o futuro com confiança!

 
Autor: Desconhecido

quinta-feira, 21 de abril de 2011

Matix

O Matix é um jogo que, utilizando cálculo mental e estratégias de antecipação de situações, estimula o raciocínio matemático e a reflexão. Ele é um jogo de tabuleiro criado na Alemanha e possui duas versões: uma com 36 casas e outra com 64. 

É um excelente material pedagógico de apoio para o conhecimento dos números inteiros, pois com ele podemos incentivar o cálculo mental da adição, da subtração e da multiplicação de números inteiros e também desenvolver estratégias de raciocínio para resolução de problemas.

Número de jogadores:

Objetivo:

O educando tem como objetivo obter o maior número de pontos que seu adversário durante o jogo, com este objetivo ele terá que pensar no melhor movimento e prever o movimento do outro jogador, para deixá-lo com o maior numero de peças negativas e também as peças de menor valor. 

Regras do jogo:

Distribuir as peças aleatoriamente sobre o tabuleiro.

Os jogadores sorteiam quem irá começar, o ganhador tem o direito de escolher se vai jogar na horizontal ou na vertical, restando a outra opção para o outro jogador, a escolha é mantida até o final da partida.

O primeiro jogador retira o coringa do tabuleiro e, em seguida um número lateral, que esteja na mesma linha ou na mesma coluna do coringa, colocando o coringa no lugar do numero retirado.

O segundo jogador só poderá retirar a peça que estiver ao lado do coringa, na linha ou na coluna, dependendo da opção do primeiro jogador.

A partida segue assim e termina quando não restarem peças na coluna ou na linha da jogada.

Para determinar o vencedor, soma-se o total de pontos retirados por jogador, vence quem tiver mais pontos.
Confecção do jogo:

  • Para a confecção do matix de 36 casas é necessário um tabuleiro com 36 quadrados, disposto na forma de 6X6. 



  • 36 tampas de refrigerante PET com os seguintes numerais:

Duas com o -10;
Duas com o -5;
Duas com o -4;
Duas com o -3;
Duas com o -2;
Duas com o -1;
Três com o 0;
Duas com o +1;
Duas com o +2;
Duas com o +3;
Duas com o +4;
Quatro com o +5;
Uma com o +6;
Duas com o +7;
Duas com o +8;
Duas com o +10; 
Uma com o +15;
Uma com o curinga.

Referências:

Cavalcante, Christiany; Ortega, Antonio; Rodrigues, Maria. Interação social de crianças no jogo de regras  - Arquivos Brasileiros de Psicologia, Vol. 57, N° 1 (2005).    

“Bom Dia”

A mãe pergunta:

- Filhinha, o que estudou na escola hoje?

- Hoje eu estudei álgebra, mamãe.

- Ah, que bom! Então diz “bom dia” para a mamãe em álgebra.


Autor: Desconhecido

Essa fórmula é válida?

Toda pessoa habituada a praticar algum tipo de atividade física, certamente já ouviu falar na fórmula:

  FCmáx = 220 – idade

Muito usada para calcular a frequência cardíaca máxima (FCmáx) e depois estabelecer porcentagens a serem respeitadas para obter benefícios, seja melhorar a condição física ou emagrecer. Além disso, diversos exames físicos também a utilizam para realizar cálculos a respeito da porcentagem máxima de frequência cardíaca atingida nos testes.

A fisiologia do exercício utiliza a fórmula desde o final da década de 30 e ela é frequentemente citada em livros técnicos, revistas e outras publicações. Nunca, porém, explica-se o estudo original que chegou a esta equação. Apesar de amplamente aceita, a fórmula em questão vem sendo questionada há mais de duas décadas por diversos fisiologistas, por apresentar uma margem de erro grande ao estimar a FCmáx

Em geral, os estudos verificaram um erro que varia de 7 a 11 batimentos por minuto, para cima ou para baixo. Uma leitura mais aprofundada sobre a história desta fórmula mostra que o cálculo não foi construído a partir de um estudo específico, mas através de observações baseadas em levantamentos e anotações científicas não publicados.

Um pesquisador chamado Karvonen teria sido o “inventor” da fórmula 220-idade, mas ele mesmo, ao ser contatado em 2000 por uma publicação científica, declarou que nunca havia concluído qualquer estudo a respeito. Indicou outro pesquisador que havia sido o mentor deste cálculo, doutor Astrand. 

Este também foi procurado para prestar esclarecimentos e, da mesma forma, afirmou que não havia publicado nenhum dado que tivesse apresentado esta fórmula. Doutor Astrand comentou que em seus estudos, a fórmula 220-idade chegava a valores próximos de outras equações para a mesma finalidade.

O erro destas, no entanto, também seria consideravelmente alto (mais ou menos 10 batimentos por minuto). Portanto, devido à pouca clareza a respeito da origem desta fórmula, e sua precisão duvidosa, não deveríamos adotá-la como ponto de partida para determinar faixas de treinamento cardiorrespiratório.

Autor da imagem: Desconhecido


Caro leitor,

Você usa ou ja usou está fórmula?
 
Qual é a sua opinão sobre este assunto?

Você concorda que a fórmula é super indica porque apresenta uma  facilidade de operacionalidade?

Gostaria de acrescenta algo?

Participe, deixe seu comentário.


Referências:

Renato Dutra, VEJA. 

Quem não conhece os código de barras?

Ele está presentes em todos países do mundo e para qualquer produto que olhamos, lá está ele de novo. Código de barras é uma representação gráfica de dados numéricos ou alfanuméricos. A decodificação (leitura) dos dados é realizada por um tipo de scanner. Assim, nos dias atuais, todas as empresas identificam os seus produtos com um código de barras.

O código EAN/UPC é um sistema internacional que auxilia na identificação inequívoca de um item a ser vendido, movimentado e armazenado, sendo o EAN-13 o mais conhecido e utilizado mundialmente. A estrutura numérica do código é basicamente constituído de 13 dígitos (AAA EEEE PPPPP D) distribuídos da seguinte maneira:

  • AAA são os três primeiros  digitos que identifica o pais, por exemplo, o prefixo 789 corresponde ao Brasil.
  • EEEE é o número da empresa cadastrada na EAN Brasil.
  • PPPPP é o código do produto fabricado por ele.
  • D é o dígito de controle, para que o leitor não cometa erros no memento de identificação do código de barras.

Vale ressaltar que os números da empresa variam de empresa para empresa, os números que identificam o item variam de item para item e o dígito verificador deve ser recalculado a cada variação na numeração. Existem outros tipos de códigos padrões para diversas aplicações.

Referência:
 
Seti: Acesso e Ponto
Seti: wikipedia

quarta-feira, 20 de abril de 2011

A arte de calcular XI


999999 ÷ 15873 = 7 x 9 = 63.

888888 ÷ 15873 = 7 x 8 = 54.

666666 ÷ 15873 = 7 x 5 = 42.

555555 ÷ 15873 = 7 x 5 = 35.

444444 ÷ 15873 = 7 x 4 = 28. 

333333 ÷ 15873 = 7 x 3 = 21.

222222 ÷ 15873 = 7 x 2 = 14.

111111 ÷ 15873 = 7 x 1 = 07. 
 
 
Referência:
 
 

Código Secreto

O código secreto de um grupo de alunos é um número de três algarismos distintos e diferentes de zero. Descobre o código com as seguintes informações:

  • 123 Nenhum algarismo é correto;
  • 456 Um só algarismo correto na posição certa;
  • 612 Um só algarismo correto, mas na posição errada;
  • 547 Um só algarismo correto, mas na posição errada;
  • 843 Um algarismo correto na posição certa.

Referência:

(Agenda da APM -2007/08)

Toda tabuada

Com quatro anos apenas, o Pedrinho já sabe a tabuada toda. 
Orgulhoso, comenta o pai para a mãe:

    - Vês? Ele deve ter herdado a minha inteligência... 
 
Responde-lhe a progenitora:

       - Acho que sim, pois eu, graças a Deus, ainda conservo a minha...


Autor: Desconhecido

O zero

O sábio mais sábio do mundo foi o que descobriu o nada. Nada mesmo. 

Ele teve a idéia genial de que onde não há nada, nadinha mesmo, há o nada. E fez do nada um algarismo, o zero.
A ciência seria impossível sem a Matemática e a Matemática mais impossível ainda sem o zero.
É difícil imaginar como a humanidade pôde atravessar tantos milênios, produzindo muitos homens sábios, que não sabiam a verdadeira matemática, ou não tinham instrumentos para criar uma.
É certo que os egípcios sabiam fazer, com seus astrólogos, muitos cálculos astronômicos. 

Os gregos eram filósofos, que ainda nos espantam por sua inteligência. 

Os romanos nos legaram leis que funcionam até hoje, coordenando relações entre as pessoas.
Mas a nenhum deles ocorreu essa idéia fundamental de que onde não há nada, algo existe: o nada. 

Com o zero, que não é nada, pode-se coordenar os números, assim: o número um é um só, com o zero adiante, ele decuplica, passa a ser dez; dois zeros, ele centuplica; três, ele milifica. 

Posto o zero na frente do número, ele se divide. 

O um, com um zero na frente, é um décimo; com dois zeros na frente, é um centésimo, etc. e tal.

Vou dar a você, de presente, hoje, uns números grandotes para você se divertir. 

O primeiro número é 60 000 000 000 000 000 000 000 000 000, com um 6 e 28 zeros, é a idade da Terra, em milhões de anos.
O segundo número é 0,000000000000000000000000166, formado por um zero, uma vírgula e mais 24 zeros seguidos do número 166, corresponde à massa do átomo do hidrogênio, em gramas.
Isso não é nada. Podemos fazer números muitíssimo maiores. 

Se você fizer um número que vá daqui até a Lua, ele ainda não será o maior número do mundo. 

Pondo mais um zero, ele se multiplica por dez, e vai por aí afora. 

Parece brincadeira, não é?

Referência:

RIBEIRO, Darcy. Noções de coisas. São Paulo: FTD, 1995.

terça-feira, 19 de abril de 2011

50 mil palavras

56 Km - É o comprimento da linha que um lápis inteiro consegue desenhar (ou aproximadamente 50 mil palavras).



Referência:
 
Seti: Noticias do Brasil

segunda-feira, 18 de abril de 2011

Irracional?



Autor da imagem: Desconhecido

Cancion do Pi

O professor Danny Perich teve uma ideia de compor uma música para ajudar as pessoas a memorizar as 150 primeiras decimais do π. A música é razoável, mas a letra não tem refrão.

A letra da canção

3.141592 6535897 9323846 264338 3279 5028 841971 6939937510 582097 494459 23078164 06286 20899 8628034 8253421 170679 821480 865132 8230 6647 093844 609550 582231 725359 408128

Gostou? 
Já consegue memorizar as 150 primeiras decimais  do π?
Mande suas ideias.



O que é primo de Mersenne?

É um número da forma Mp = 2p–1, com "p" número natural, que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M1=1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos.

Assim: M2=3, M3=7, M5=31, M7=127, M13=8.191, M17=131.071, M19=524.287,... , formam a série de mersennes primos.

Mas: M0=0, M1=1, M4=15, M6=63, M8=255, M9=511, M10=1.023, M11=2.047, M12=4.095,..., formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares).

Portanto, todo número natural da forma Mn = 2n–1, onde "n" é um número natural é chamado de Número de Mersenne em homenagem ao seu mais ilustre estudioso, Marin Mersenne.

Contudo, os registros históricos dão conta de que os números primos de Mersenne, como aqui declarados, já eram considerados por Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), o notável matemático platônico, o criador da geometria euclidiana. Euclides, ao estudá-los, achou-lhes conexão com os números perfeitos. 

O nome atual, entretanto, veio em consequência dos estudos de Marin Mersenne, matemático francês que chegou a compilar uma lista de mersennes primos até o expoente 257. Verificou-se, posteriormente, que a lista era apenas parcialmente correta: em seu trabalho, ele omitiu M61, M89, M107 (que são primos), bem como incluiu impropriamente M67 e M257 (que são compostos). Não se tem informação de como Mersenne obteve essa lista e sua verificação rigorosa só foi levada a efeito mais de dois séculos depois.



Referências:

Hefez, Abramo. Elementos de Aritmética, Rio de Janeiro. SBM, 2005.
 

O que significa tornar-se um?

É possível que duas pessoas diferentes tornar-se “um”?
Alguns diriam Não.
A Bíblia, não obstante, diz Sim.

Um homem e uma mulher são duas pessoas completamente diferentes, diferentes na criação, personalidade, em seus antecedentes familiares entre outras coisas. Contudo, ambos marcham para o altar e fazem o voto de se tornarem uma só carne sob a bênção de Deus.
Mas como se compreende a afirmação de que “serão ambos uma só carne”? (Gênesis 2:24).

É isso um mistério matemático?
Ou envolve algo mais?

Vejamos duas hipotese para este caso:

A matemática da anulação

Alguns argumentam que o casamento é um milagre que transcende a simples regra matemática, dando-nos a equação 1+1=1. Tal argumento não reflete o verdadeiro sentido de Gênesis 2:24 ou o princípio bíblico de unidade no casamento. Se 1+1=1 é correto, segue-se que um dos dois precisa renunciar ao eu e tornar-se zero. Tal renúncia permite a possibilidade matemática (1+0=1).

Assim, algumas mulheres quando se casa, começa a experimentar algumas pequenas mudanças em suas atitudes, por exemplo, insegurança e dúvidas. Ela torna-se calada, rindo ou sorrindo somente quando seu marido não esta por perto. Vive uma vida quieta, às vezes reclusa, raramente expressando-se, mesmo em assuntos como a educação de seus filhos, a ornamentação da casa ou os vestidos que usava. Seu marido decidia tudo.

Com certeza, você já encontrou muitas vezes mulheres com esse perfil, em muitos alugares. Ela aceita a vida como rotina, mesmo apresentando uma imagem exterior agradável. Oculta dentro de si uma multidão de problemas que não são percebidos nem mesmo pelos amigos mais íntimos ou pessoas da família. Os psicólogos chamam isso de Síndrome de Anulação da Identidade, visto mais em mulheres, e menos em homens.

A matemática da mutilação

Se a anulação de uma pessoa não é a resposta para o problema da unidade, podemos pensar na mutilação de ambos como uma forma possível de compreender o conceito? Por mutilação, quero dizer que cada pessoa renuncia a 50% de si mesma: 0,5+0,5=1. Alguns casais seguem esse caminho por razões sociais e financeiras, por amor às crianças ou para evitar o fracasso. No processo, são forçados a desistir de muitos de seus alvos e sonhos pessoais.

Dos que seguem esta rota, muitos não se lembram mais de quando deixaram de ser eles mesmos para se tornarem outra pessoa. Ambos decidiram que a 'vida' seria um 'modo de vida'. Mas com a passagem do tempo, ambos precisam examinar se seu viver diário é vida de verdade, agonia… ou morte”. De fato, ambos estão meio mortos, porque deixaram 50% de sua vida completamente fora da relação.

Se a porcentagem é outra, digamos 40% de um e 60% de outro, o resultado poderia ser ainda mais desastroso. Não, a resposta ao problema da unidade no casamento não jaz na matemática da mutilação, e sim no mistério do amor. 

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Referências:

 Nuñez, Miguel Angel. Amar es todo. Madrid (Espanha). ACES,  1995.

“Qualquer um pode aprender bem Matemática”

Professor Luciano Castro
O Professor, Luciano Castro, fala sobre estratégias para vencer a resistência em relação à disciplina, dos gargalos para o ensino da Matemática

Estudantes, mostra que é possível despertar interesse nos alunos, em relação à matéria. “Quando enfocamos a Matemática de maneira mais divertida, ainda que desafiadora, despertamos maior interesse”, disse Luciano Castro, um dos coordenadores nacionais da Olimpíada, e deixa uma mensagem de estímulo a quem tem medo dos números: “qualquer um pode aprender bem a Matemática.”

FOLHA DIRIGIDA — COMO AVALIA A REALIZAÇÃO DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, ESTE ANO?

Luciano Castro — Até aqui foram realizadas as primeiras fases tanto da OBMEP (Escolas Públicas) como da OBM (Escolas Públicas e Particulares). Ambas as provas tiveram nível de dificuldade acima da média, mas cumpriram o papel de apresentar questões criativas e interessantes, mostrando o lado lúdico da Matemática.

— ESTE ANO, A PARTICIPAÇÃO FOI RECORDE. ISTO SIGNIFICA QUE OS JOVENS, DE MANEIRA GERAL, ESTÃO MAIS INTERESSADOS EM APRENDER A DISCIPLINA?

Sim. Significa que quando enfocamos a Matemática de maneira mais divertida, ainda que desafiadora, despertamos maior interesse por parte dos jovens.

QUE TIPO DE ATIVIDADES AS ESCOLAS PODEM COLOCAR EM PRÁTICA PARA TRABALHAR A MATEMÁTICA FORA DO TRIVIAL DA SALA DE AULA?

Uma estratégia interessante é a de usar jogos. Um que utilizo muito para motivar o tema divisibilidade é o seguinte: de uma pilha com inicialmente 50 palitos, dois jogadores retiram alternadamente um número inteiro de palitos de 1 a 5. Aquele que retirar o último palito vence (ou quem não puder mais jogar perde). Após jogarem algumas vezes, os alunos vão percebendo que a estratégia vencedora é deixar múltiplos de 6 para o adversário. Pequenas variações nas regras e nas quantidades de palitos nos permitem explorar outras propriedades dos números inteiros. A grande vantagem deste tipo de atividade é que mesmo alunos normalmente pouco interessados em Matemática entram no clima do jogo e motivam-se a aprender como ganhar.

PODERIA CITAR OUTRAS ESTRATÉGIAS NESTA LINHA?

Sim. Outra interessante é o uso de quebra-cabeças. Há diversas opções, de variados níveis de dificuldade. Por exemplo, há uma série de quebra-cabeças clássicos que consistem em deslizar peças de madeira. Em sessão recente de treinamento com a equipe brasileira para a Olimpíada Internacional de Matemática, sugeri aos alunos que construíssem um desses com papel cartão. Atividades como esta desenvolvem aspectos matemáticos e não matemáticos. Outra atividade muito boa para trabalhar aspectos da disciplina é a construção de objetos bidimensionais e tridimensionais. Manipulação de objetos concretos é um recurso muito utilizado na pré-escola e no primeiro segmento do Ensino Fundamental, mas lamentavelmente vai deixando de ser adotado. Existe uma enorme diferença entre aprender vendo desenhos no quadro ou em livros e observar um objeto concreto resultado do esforço próprio.

— O SENHOR É UM DOS COORDENADORES DAS OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA BRASILEIRAS. QUAL A IMPORTÂNCIA DESTE TIPO DE ATIVIDADE PARA APROXIMAR OS ALUNOS DA MATEMÁTICA?

Ao mostrar um lado da Matemática em geral pouco explorado no currículo tradicional, atingimos alunos que pensavam não gostar da matéria mas que passam a olhá-la com outros olhos. Também atingimos os alunos mais talentosos, às vezes pouco desafiados em suas escolas, ajudando-os a descobrir novos desafios.

— NAS AVALIAÇÕES DE ESTUDANTES, REALIZADAS NO BRASIL, OS PIORES DESEMPENHOS OCORREM SEMPRE NA PARTE DE MATEMÁTICA. QUAL O PRINCIPAL PROBLEMA DO ENSINO DA DISCIPLINA EM NOSSAS ESCOLAS?

O maior problema é a falta de professores qualificados e motivados. Os alunos querem aprender, eles só precisam de oportunidades. A boa notícia é que tem havido excelentes iniciativas para solucionar este problema. Entre elas, deve-se destacar o programa iniciado há 20 anos e coordenado até hoje pelo professor Elon Lages Lima, um dos matemáticos mais produtivos e respeitados do Brasil. Trata-se do programa Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio (Papem), que atinge cerca de 5.000 professores no Brasil via tecnologia de ensino a distância, com 26 centros de retransmissão no país. A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (Obmep) também dedica parte de seus recursos humanos e financeiros ao aperfeiçoamento de professores em todo Brasil.

— MATEMÁTICA É A DISCIPLINA COM A QUAL OS ESTUDANTES, EM GERAL, TÊM MAIS DIFICULDADES. POR QUE ISTO ACONTECE?

A principal dificuldade está relacionada ao clássico ciclo vicioso: “Não gosto porque não entendo. Não entendo porque não me dedico. Não me dedico porque não gosto.”

— O QUE É FUNDAMENTAL PARA ROMPER ESTE CÍRCULO VICIOSO? QUALQUER PESSOA PODE APRENDER BEM A MATEMÁTICA?

Sim, qualquer pessoa pode aprender bem a Matemática. O ciclo vicioso rompe-se mais facilmente na parte do “não gosto”. Partindo de situações do interesse do aluno, como jogos ou problemas do cotidiano, podese despertar o gosto pela matéria, de preferência sem sequer dizer a ele que aquilo é Matemática. Após algumas experiências bem sucedidas, o prazer pelo pensamento matemático é desenvolvido quase sem perceber. Por exemplo, há uma observação que faço com frequência em aulas e palestras, e a reação bem humorada da audiência indica que muitos percebem o mesmo. A Matemática fica magicamente mais simples em duas situações: quando mexe com a nota ou com o bolso do aluno. Já vi muitos alunos com dificuldade em Matemática fazerem com precisão contas complicadas com médias ponderadas para saberem corretamente quanto precisam tirar numa prova final para serem aprovados.

— A DIFICULDADE COM OS NÚMEROS É UM PROBLEMA SÓ DE ENSINO DA MATEMÁTICA?

Eu acredito no esforço e dedicação como fundamentos para o progresso humano em qualquer área. Há quem defenda  a importância de conceitos comotalento natural, vocação ou dom. Para mim, mesmo que tais coisas existam, sua relevância é mínima comparada ao trabalho com foco. Já vi muitos alunos aparentemente talentosos renderem pouco por falta de dedicação. Mas todos, absolutamente todos os alunos empenhados que conheci tornaram-se, no longo prazo, grandes destaques em suas áreas de atuação. Parece que fugi à pergunta, mas creio que não. A dificuldade com os números é, em última instância, um problema do indivíduo, e só o próprio indivíduo tem o poder de superá-lo. Acredito que o papel da educação é fornecer apoio e ferramentas para que as pessoas possam desenvolver-se. Mas o último responsável pelo aprendizado é sempre o aluno. Em resumo, o ensino de Matemática tem que melhorar muito, mas o problema é mais profundo do que isso.

— QUE OUTRAS HABILIDADES PODEM SER DESENVOLVIDAS AO LONGO DA VIDA ESCOLAR, ATÉ MESMO EM OUTRAS DISCIPLINAS, QUE FACILITEM O APRENDIZADO DA MATEMÁTICA?

Em primeiro lugar, aprender a pensar. A maneira como se encara um problema, seja de Matemática ou não, é fundamental para a capacidade de resolvê-lo. Em meu primeiro contato com a maioria dos alunos de 13 a 20 anos de idade, proponho-lhes um problema e a reação é a mesma: eles dizem “não sei” sem se dar a menor oportunidade de pensar, de desenvolver alguma ideia que o aproxime de uma solução. Devemos eliminar esse pensamento tão comum entre os estudantes de que o conhecimento da escola é imediatista, de que as respostas são obtidas externamente e de forma instantânea. Se incentivarmos os jovens adequadamente, eles perceberão que são capazes de aprender e realizar muito mais do que imaginam. Além disso, disciplinas como artes plásticas e ciências são críticas no desenvolvimento de habilidades cognitivas relacionadas à Matemática.

“a beleza da Matemática não é para poucos, 
mas para todos”

— O BOM DOMÍNIO DOS CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS CONTRIBUI PARA O APRENDIZADO DE OUTRAS DISCIPLINAS, MESMO DAS QUE NÃO SÃO DA ÁREA DE EXATAS?

Com certeza, o domínio da Matemática contribui, e muito, para o aprendizado de qualquer outra disciplina. O desenvolvimento do pensamento lógico, de noções corretas de causa e consequência, de premissas e conclusões, a capacidade de identificar falhas de argumentação, são exemplos de habilidades desenvolvidas pela Matemática e que são úteis em qualquer área do conhecimento humano. Isso sem contar a notável influência do estudo da Matemática no desenvolvimento cerebral e mental.

— COMO UM PROFESSOR PODE ENSINAR MATEMÁTICA DE FORMA PRAZEROSA?

Em primeiro lugar, é necessário conhecer os alunos, entender que tipo de conhecimento eles já trazem. Depois, é preciso encontrar perguntas que sejam de seu interesse, e ajudá-los a perceber como a Matemática pode ser útil para responder a suas curiosidades naturais. De preferência, devem ser escolhidas perguntas divertidas além de interessantes. Uma área muito propícia é a de jogos (principalmente envolvendo números e formas geométricas).

— O COMPUTADOR PODE SER UM BOM ALIADO PARA DINAMIZAR E TORNAR MAIS AGRADÁVEL O APRENDIZADO DA MATÉRIA? COMO?
Sim. Há muitas maneiras, mas por razões de espaço (e tempo) citarei duas: Os programas conhecidos como “de Geometria Dinâmica” são ferramentas absolutamente indispensáveis hoje em dia para o estudo da Geometria. É o bom e velho desenho geométrico levado a uma nova dimensão, pois as figuras construídas podem ser  facilmente modificadas com simples movimentos do mouse. Mas, as modificações preservam as relações previamente estabelecidas entre os elementos geométricos, de forma que pode-se observar claramente as características que são preservadas por tais relações. Um exemplo é o Geogebra: www.geogebra.org (software livre, grátis e multiplataforma).


— QUAL SERIA A OUTRA FORMA?

O segundo exemplo que quero citar é o dos algo ritmos de programação. Quando apareceram os computadores pessoais, o usuário tinha que saber programar. Hoje em dia, os sistemas operacionais estão tão avançados que pode-se passar a vida inteira usando um computador sem nunca saber o que é programação. Pois, isso é exatamente o que torna a programação tão fascinante para os jovens: a descoberta de que eles podem controlar o computador, e instruí-lo a fazer o que eles quiserem. Mas, para isso, é preciso conhecer bastante Matemática.

— A FORMA COMO A MATEMÁTICA É COBRADA NOS VESTIBULARES CONTRIBUI PARA A AVERSÃO QUE OS ESTUDANTES TÊM PELA DISCIPLINA?

Os vestibulares mais concorridos, especialmente no Rio de Janeiro e São Paulo, há muitos anos vêm cobrando Matemática de maneira interessante e estimulante. Não acho que sejam o problema.

— COMO AVALIA A FORMA PELA QUAL A DISCIPLINA FOI COBRADA NO ENEM, NO ANO PASSADO? ISTO DEVE INFLUENCIAR AS ESCOLAS POSITIVA OU NEGATIVAMENTE?

A prova do Enem foi bem elaborada, cobrando o que já havia sido anunciado. O nível de exigência foi adequado, até acima do que muitos esperavam. Quanto à influência sobre as escolas, minha opinião é a seguinte: O Enem é um exame muito limitado para exercer influência significativa sobre as escolas.

POR QUE?

Falando especificamente sobre Matemática, a escola deve ensinar muito, mas muito mais Matemática do que a que é cobrada pelo Enem. Em outras palavras, se uma escola se deixar influenciar significativamente pelo Enem, tal influência será necessariamente negativa. Não porque o Enem seja negativo, mas porque o papel da escola vai muito, muito além do que preparar seus alunos para um exame ou vestibular.

— NOS ÚLTIMOS ANOS, HÁ UMA TENDÊNCIA DE BUSCA POR MAIOR CONTEXTUALIZAÇÃO NA ABORDAGEM DOS TEMAS DA MATEMÁTICA EM PROVAS. COM ISTO, EM GERAL, AS QUESTÕES ACABAM POR SER MENOS COMPLEXAS. ISTO NÃO INCENTIVA UM ESTUDO MENOS APROFUNDADO DA MATÉRIA? É A FORMA MAIS ADEQUADA?

Não devemos confundir contextualização com complexidade. Boa parte dos problemas mais difíceis da história da Matemática, inclusive alguns que continuam em aberto até hoje, são problemas contextualizados. Um bom exemplo é a pergunta: “Qual o número mínimo de cores necessárias para se pintar um mapa, se não queremos que regiões com fronteira sejam pintadas da mesma cor?”, que, após décadas em aberto, só foi resolvida recentemente com grande ajuda de computadores (o número é 4). A contextualização bem feita é sem dúvida a melhor forma de ensinar qualquer coisa, não só Matemática. O problema que temos visto em algumas tentativas de  contextualização são questões mal formuladas que às vezes fornecem 15 ou 20 linhas de texto totalmente inúteis para a resolução do problema proposto.

— OUTRA TENDÊNCIA, DOS DIAS DE HOJE, É A INTERDISCIPLINARIDADE. ELA TEM SIDO TRABALHADA DE FORMA ADEQUADA COM RELAÇÃO À MATEMÁTICA? OS PROFESSORES, EM GERAL, FAZEM AS CONEXÕES MAIS INTERESSANTES COM OUTRAS ÁREAS DO SABER, COMO FÍSICA E QUÍMICA?

Os melhores professores de Matemática têm praticado interdisciplinaridade e contextualização há muitos séculos. A ciência utiliza a Matemática como linguagem e como ferramenta, e é natural que muitos problemas relevantes de Matemática tenham sido motivados por outras disciplinas. Além da Física e da Química, devemos citar Biologia, Geografia, Economia e Informática como excelentes fontes de ideias para a Matemática. Mas, devemos entender que a interdisciplinaridade e a contextualização têm de ser naturais, não podem ser forçadas. E é impossível aprender Matemática sem foco, de forma que a maior parte do tempo deve ser dedicado ao conhecimento puramente matemático, após a relevante motivação oferecida por outras áreas.

— NOS CURSOS DA ÁREA DE EXATAS, É COMUM O ÍNDICE DE REPROVAÇÕES SER ALTO, PELA FALTA DE BASE COM A MATÉRIA. AS PROVAS DOS VESTIBULARES, A SEU VER, DEVERIAM SER MAIS EXIGENTES, PARA GARANTIR QUE QUEM CHEGASSE À FACULDADE TIVESSE TODAS AS CONDIÇÕES DE SE SAIR BEM NO INÍCIO DO CURSO?

Provas mais exigentes não garantem que quem chega à faculdade tenha todas as condições de se sair bem no início do curso. O que garante isso é uma boa formação construída ao longo de vários anos, especialmente nos três anos de Ensino Médio. Os vestibulares e processos seletivos, enquanto forem feitos da maneira que são, sem levar em conta o histórico do aluno, devem ser elaborados de formaa diferenciar bem os candidatos que se apresentam. Provas muito difíceis tendem a diferenciar mal, pois as notas ficam todas muito baixas.

— EM FUNÇÃO DAS REPROVAÇÕES NA FASE INICIAL DOS CURSOS DA ÁREA DE EXATAS, SERIA IMPORTANTE AS UNIVERSIDADES TEREM MÓDULOS, DURANTE OS CURSOS, PARA REVISÃO E ATÉ APRENDIZADO DE PONTOS QUE PERMITAM AO ESTUDANTE NÃO TEREM DIFICULDADES NO INÍCIO DO CURSO?

Isto é exatamente o que muitas universidades estão fazendo. É importante oferecer oportunidades para quem tem interesse, mesmo que sua formação tenha sido falha.

— EM ARTIGO RECENTE, PUBLICADO PELA FOLHA DIRIGIDA, O SENHOR FALA DA PAIXÃO EM APRENDER MATEMÁTICA. O QUE É FUNDAMENTAL PARA DESPERTAR ESTA PAIXÃO?

Essa paixão é contagiosa. Se você conviver durante algum tempo com alguém apaixonado por Matemática, inevitavelmente vai começar a ver a matéria com outros olhos. Porque a beleza da Matemática não é para poucos, mas para todos. É uma questão de oportunidade. Não é à toa que entre as típicas correntes de email que circulam pela internet, vemos, de vez em quando, um problema ou curiosidade Matemática. Quando as pessoas são expostas a algo curioso sobre Matemática, elas gostam. Então, o fundamental é expor as pessoas às belezas da Matemática, e a paixão será despertada naturalmente.


Caro leitor, qual é a parte do texto que você concorda com o profº LUCIANO?  E qual você discorda? Por quê? 
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Referência:

FOLHA DIRIGIDA - Cardeno de Educação,10 a 16 de agosto de 2010.