MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

Sejam Bem-Vindos a MatheusMáthica....

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quinta-feira, 31 de dezembro de 2009

Segundo, Bertrand Russel


 "A matemática, quando a entendemos bem, 
possui não somente a verdade mas também a suprema beleza."

 
Bertrand Russel

Amigo imaginário.


Sequência numérica I

Qual o próximo número da sequência: 

1, 2, 6, 42, 1806, ....










Referência: 

Contar de 1 até 10.


8 é igual 7?

Demonstraação


Começamos com a seguinte igualdade, que supomos ser verdadeira:
a + b = c
Podemos escrever a igualdade da seguinte maneira:
( 8a - 7a ) + ( 8b - 7b ) = ( 8c - 7c )
Colocando todos os múltiplos de 7 de um lado e os de 8 do outro, temos:
8a + 8b - 8c = 7a + 7b - 7c
Colocando em evidência o 7 de um lado e o 8 do outro temos:
8 ( a + b - c ) = 7 ( a + b - c )
Dividindo ambos os lados por a + b - c , logo temos:
8 = 7



c.q.d.

Obviamente essa demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 8 não é  igual 7 (ou alguém tem alguma dúvida?).

TENTE DESCOBRIR ONDE ESTA O ERRO !

Segundo, Cauchy


"Os sinais + e - modificam a quantidade
diante da qual são colocados
como o adjetivo modifica o substantivo."

Cauchy

17 minutos.

O João, o Manuel, o Bruno e o Paulo precisam de atravessar a ponte, mas dispõem apenas de 17 minutos, a ponte só aguenta com o peso de 2 de cadas vez e visto ser de noite é necessário levar a lanterna...

Sabendo que:
•    João demora 10 minutos;
•    Manuel demora 5 minutos;
•    Bruno demora 2 minutos;
•    Paulo demora 1 minuto;


NOTA:
Só existe uma lanterna e não se pode atirar de um lado para o outro...

Quebrando a banca

Quebrando a banca
No filme de 2008, Ben Campbell (Jim Sturgees) é um jovem tímido e superdotado do MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) que, precisando pagar a faculdade, busca a quantia necessária em jogos de cartas. Ele é chamado para integrar um grupo de alunos que, todo fim de semana, parte para Las Vegas com identidades falsas e o objetivo de ganhar muito dinheiro. O grupo é liderado por Micky Rosa (Kevin Spacey), um professor de matemática e gênio em estatística, com quem consegue montar um código infalível. Contando cartas e usando um complexo sistema de sinais, eles conseguem quebrar diversos cassinos.

Além de estimular nos estudantes o uso da lógica por meio de um jogo conhecido no Brasil como 21, o longa também discute em duas passagens o Método de Newton, que tem como objetivo estimar as raízes de uma função, e o matemático Augustin-Louis Cauchy, um dos fundadores da teoria de grupos finitos.

Titulo original: (21)
Lançamento: 2008 (EUA)
Direção: Robert Luketic
Atores: Jim Sturgess , Kevin Spacey , Kate Bosworth , Aaron Yoo , Liza Lapira
Duração: 123 min
Gênero: Drama


Trailer 


Muitos problemas no mundo?


Saía do S e chegue no F.

Encontre a saída do labirinto abaixo. Este passatempo é ideal para o estimulo do poder de observação e do raciocínio lógico de crianças, jovens e adultos. Imprima e Divirta-se!   





Referência:

Ortografia do universo matemático.


Vejamos como anda nossa ortografia em palavras muitas vezes utilizadas no universo matemático.

Na Vertical
1.  IMPO___ÍVEL 
2.  FLE___A 
3.  E__CE__ÃO 
4.  SUPO__I___ÃO 
5.  E___CLU___ÃO 
6.  A NÁLI__E                     
7.  DISCU___ÃO 
8.  DIMEN__ÃO                  
9.  TRAN___PO___TA 
10. E___PRE___ÕES 
11. E___ALONAMENTO 
12. AB___I____A 
13. INCON___ISTENTE 
14. ELIP___E 
15. CONVER___ÃO 
16. INVER___A 
17. SÍNTE___E 
18.  FEC___O 

 
Na Horizontal                     
1.   FEI___E 
2.   INVER__ÍVEL
3.   CORRE___ÃO 
4.   LO___ANGO 
5.   ESPE___IAL 
6.   EX__E___ÃO 
7.   A ____O____IADO 
8.  INTER____E____ÃO 
9.  DEMOSTRA___ÃO       
10. E__ISTÊN__IA 
11. DI__JUNTOS
12. A____INTÓTICA 
13. E___PONE___IAL
14. INCLINA___ÃO 
15. ___O___IENTE
16. COEFI___IENTE 
17. MANTI____A
18. COMPREEN___ÃO 
19. A ___IOMA 
20. SOLU___ÃO         




A disputa entre o Um e o Zero .

"Eu valho muito pouco, sou sincero, dizia o Um ao Zero. No entanto, quanto vales tu? Na pratica és tão vazio e inconcluente quanto na matemática. Ao passo que eu, se me coloco à frente de cinco zeros bem iguais a ti, sabes acaso quanto fico?
Cem mil, meu caro, nem um tico a menos nem um tico a mais. Questão de números. Aliás é aquilo que sucede com todo ditador que cresce em importância e valor quanto mais são os zeros a segui-lo "


(Trilussa, poeta italiano. Viveu no tempo de Mussolini)

Número 23

Número 23
Walter Sparrow (Jim Carrey) é um simplório pai de família, que ganhou um livro de presente de sua esposa, Agatha (Virginia Madsen). Chamado “O Número 23″, o livro narra a obsessão de um homem com este número e como isto começa a modificar sua vida. Ao lê-lo, Walter reconhece várias de suas passagens, como sendo situações que ele próprio viveu. Aos poucos ele nota a presença do número 23 em seu passado e também no presente, tornando-se cada vez mais paranóico. Como o livro termina com uma morte brutal, Walter passa a temer que ele esteja se tornando um assassino.

No longa de 2007, o personagem de Jim Carrey realiza várias contas utilizando datas e outros números que acabam dando como o resultado final o número 23, que tanto o persegue. Além disso, o espectador vai se envolvendo desde os créditos iniciais com a simbologia do número 23, que determina, por exemplo, a quantidade das leis naturais em que se baseia a geometria e que todo ser humano recebe, ao ser gerado, esse número de cromossomos de cada pai.

Titulo original: (The Number 23)
Lançamento: 2007 (EUA)
Direção: Joel Schumacher
Atores: Jim Carrey , Virginia Madsen , Logan Lerman , Danny Huston , Michelle Arthur
Duração: 98 min
Gênero: Ficção


Trailer 




Letra B.

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO - As três medianas de um triângulo se encontram em um mesmo ponto, o baricentro. Este ponto divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Uma lâmina triangular com densidade uniforme tem este ponto como centro de massa.
 
BASE - Sistema de numeração que indica quantas unidades são necessárias para mudar a colocação de um algarismo. A mais comum é a base 10 onde cada algarismo é múltiplo de 10. (exemplo: 156 = 1 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1).

BASE DE POTÊNCIAS - Nas potências denomina-se assim o número que se encontra na parte inferior e que indica o valor de cada fator.

BASE DE UM TRIÂNGULO - É conveniente considerar um dos lados do triângulo como sendo sua base. A distância entre a base e o vértice oposto à base é a altura do triângulo.

BIJEÇÃO - Relação onde cada elemento corresponde um e somente um elemento.

BILHÃO - Número 1 seguido de 9 zeros, ou seja, 1000000000.

BINÔMIO - Polinômio constituído por 2 monômios. Ex.: 4x³ - 3.

BISSETRIZ - É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes.
BIUNÍVOCA - Correspondência de cada objeto a um único objeto. Por exemplo, uma pessoa para cada carteira de identidade.

BLOCO RETANGULAR - É a forma geométrica de vários tipos de caixas, tais como caixas de sapatos ou de pasta de dente. Cada bloco retangular é formado por seis faces com forma de retângulo.

BLOCOS LÓGICOS - Blocos utilizados em atividades didáticas de classificação e seriação gráfica. Tais objetos normalmente são coloridos e têm formas distintas.
 
BRAÇA - Antiga unidade de comprimento equivalente a 2,2 metros. No sistema inglês a braça equivale a 1,8 metros.

Como ser um professor de matemática

Carlos Frederico Vasconcellos

Carlos Frederico Vasconcellos fala para o Portal

No próximo dia 6 de maio será comemorado o Dia Estadual da Matemática. A data foi escolhida em homenagem ao aniversário do professor Júlio César de Mello e Souza, mais conhecido como Malba Tahan. Autor, entre outros livros, de O Homem que calculava, Mello e Souza também ficou conhecido em seu tempo por suas qualidades como professor de matemática ao buscar motivar seus alunos usando técnicas então pouco ortodoxas.

Aproveitando esse gancho, o Portal da Educação foi entrevistar o professor Carlos Frederico Vasconcellos, coordenador de Extensão em Matemática da Diretoria de Extensão do Cederj.

Professor de Matemática há 31 anos, tendo feito a maior parte de sua carreira na Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), onde Fred, como é carinhosamente chamado por seus colegas, pôde desenvolver atividades de pesquisa, ensino e extensão, motivando estudantes a seguirem seu caminho.
De comum como Malba Tahan, Fred teve o interesse em matemática despertado pela dificuldade com a disciplina no início do curso técnico em eletrônica. Nesta entrevista, ele conta um pouco de sua trajetória bem como ressalta a importância de o professor, de qualquer área, formar uma base sólida na disciplina que ensina. Para ele, uma vez a pessoa tendo conteúdo, a forma de ensinar ela adquire na prática.

Como você resolveu estudar matemática?

Quem me influenciou foi o livro do Jairo Bezerra. Eu não fui bem no primeiro período do curso e o professor me disse que precisava fazer mais exercícios do livro. E comecei a fazer todos e aquilo começou a me interessar. Quando isso aconteceu, estava fazendo o curso técnico de eletrônica na Escola Técnica Federal (atual Cefet), lá pelos idos de 1965, e existem processos em eletrônica que você precisa conhecer matemática. Principalmente em eletricidade. Há problemas de capacitância e indutância que recaem em equações diferenciais. E comecei a me interessar. Passei no vestibular em Matemática na UFRJ e cada vez me interessei mais e mais. Acabou virando uma espécie de vício.
Depois que acabei o mestrado em 1974, fiz um concurso e de aluno virei professor. Depois do doutorado em equações diferenciais parciais/teoria de controle, virei professor adjunto e me envolvi, como todo professor com 40h semanais e dedicação exclusiva da UFRJ, em atividades de ensino e pesquisa, com trabalhos em física/matemática, em equações de diferenciais parciais. Fui convidado para fazer um pós-doutorado na França, justamente porque em meu doutorado fui mais influenciado por um grupo francês...

Por que o grupo francês?

Porque eles tinham um trabalho forte, por meio de meu orientador. Isso, é bom que se diga, é processo hereditário. Você tem um orientador e tem um grupo de pessoas que, apesar de ir aos Estados Unidos, foi influenciado por um grupo francês que desenvolvia pesquisa de ponta em uma linguagem muito adequada à brasileira na qual nós nos adaptamos muito bem. E começamos a contribuir. Então esse grupo, de equações diferenciais da UFRJ, contribuiu junto com o grupo francês, em algumas coisas. Daí, algumas pessoas foram fazer o doutorado na França e outras o pós-doutorado, que foi o meu caso. Esse grupo francês é muito vasto e está presente nas 13 universidades públicas da área de Paris. Eu passava três dias na Universidade de Paris XI, Centro d´Orsay, e passava os outros dois dias no Collège de France, que tem cerca de 500 anos de tradição em pesquisa. Lá, trabalhava em pesquisas sobre placas finas, processos de controle de reatores nucleares e processos de teoria de controle de equações de ondas. Trabalhei em vários aspectos disso. Primeiro na parte de estimavas puras em matemática e depois na parte de análise numérica.
Apesar desse trabalho em pesquisa, nunca deixei de dar aula. Sou um professor convicto. Quando voltei da França, dava aula no doutorado, no mestrado e na graduação. Também orientava alunos de iniciação científica, de mestrado e de doutorado. Nunca deixei de dar aulas porque é a forma de você atrair pessoas para o que você gosta.

Como você vê hoje o trabalho de educação a distância e de aperfeiçoamento de professores?

Francamente, foi um desafio muito grande. Você vem do ambiente universitário onde se está preocupado com a pesquisa, com o ensino de graduação, mas também com aquele envolvimento no ambiente universitário. No convite depois da Astreia (diretora da Extensão do Cederj, Astreia Barreto), senti um desafio. Era um ambiente que não estava acostumado, dar aulas para professores de nível médio. Mas acho que é um desafio importante. Todo matemático/professor tem que assumir um desafio desses, porque não se pode viver em um mosteiro, trancado, sem mostrar o que você sabe e sem fazer as coisas necessárias para o ensino. Acho fundamental para mim o aperfeiçoamento, a especialização, principalmente do professor do nível médio. Por quê? Porque ele é a ponte de apoio para a ciência no futuro. O profissional do ensino de nível médio, em geral com bom conteúdo, em especial na área de ciências - por exemplo exatas, biológicas, ciências sociais -, atrai pessoas interessadas para esses campos. Eles são os atratores de bons estudantes que podem vir a ser futuros pesquisadores, engenheiros projetistas etc. Isso só acontece tendo professores com conhecimento e que têm entusiasmo em ensinar. Acho que é uma oportunidade que nós temos. Como conheço o lado da pesquisa e do ensino, penso que é importante passar isso. Aliás, todo meu grupo é assim. Todos somos doutores ou mestres e com experiência fortíssima no ensino dentro da universidade pública.

Qual a importância dos cursos de atualização semipresenciais?

Essa oportunidade do ensino a distância serve de uma maneira muito importante para o professor. É difícil para ele conseguir tempo para entrar em uma sala de aula para fazer uma especialização, um mestrado. Às vezes por uma necessidade econômica, eles dão muitas horas de sala de aula. Conheço alguns que estão com 40h, 50h de sala de aula. Então, a única maneira dessas pessoas que querem se atualizar é via o ensino a distância. Contudo, se por um lado isso é uma grande oportunidade de a pessoa sentar e estudar sem ter um horário fixo, por outro lado exige do professor disciplina, porque ele não está na sala de aula, não tem alguém para lhe repassar um conhecimento. O professor que faz atualização a distância tem um roteiro, um livro preparado para esse tipo de ensino, onde os assuntos são dados com bastantes exemplos, bastantes exercícios para não se tornar monótono, e pode tirar dúvidas no horário disponível por telefone ou por e-mail. Assim, ele precisa de disciplina, ter um horário. Assim como para fazer ginástica na academia tem um horário, deve ter-se um momento reservado para a ginástica mental, durante o dia, uma vez ou três vezes na semana. Um horário, não importa qual, em que ele vai se desligar. O estudo requer uma disciplina. Nem tudo no estudo se faz com alegria, é preciso disciplina, assim como no esporte.

Como foi para o senhor essa mudança de ensino de presencial e semipresencial?

Como disse antes foi um grande desafio. Ainda tenho grande saudade e de vez em quando dou aula na UFRJ, no curso de mestrado. Tem vezes em que tiro dúvida do aluno, ele vem aqui e me pego procurando giz e apagador para começar a ensinar. Então, os alunos que estão interessados eu costumo trazer para cá (à coordenação), para explicar além. Temos tido um bom resultado com isso. Houve pessoas que, de repente, tinham um pouco de dificuldade de escrever Matemática com certo rigor devido a sempre ensinar, com muito tempo de sala de aula. Essas pessoas começam se disciplinar e escrever matemática de maneira correta, de maneira rigorosa, que é o nosso objetivo. Uma vez a pessoa tendo conteúdo, a forma de ensinar ela adquire na prática. Acho que depois dela saber, pode ir-se a algumas palestras com dicas de como ensinar. Agora, não há forma sem conteúdo. Na história da educação no mundo, as pessoas que são consideradas grandes educadores antes de mais nada tinham conteúdo. Pode contar: Paulo Freire, Montessori, Piaget e outros são pessoas que tiveram conteúdo forte e adaptaram esse conteúdo para ensinar aos outros. Essa é a realidade.

O que um professor pode fazer para se manter atualizado?

Ele pode fazer cursos presenciais, como os oferecidos nas universidades públicas de qualidade, ou esse curso semipresencial, voltado para o professor que não tem um horário definido para assistir aulas presenciais. São as duas formas que conheço adequadas para manter um conteúdo mais forte. A busca de informação via internet, desde que seja adequadamente orientada para não se perder, porque a rede é um mundo de informações...

Seria interessante visitar livrarias?

Não livrarias em si, mas bibliotecas especializadas de ciências. Posso citar dois exemplos. O primeiro é a biblioteca do Instituto de Matemática da UFRJ. Outro é o da biblioteca do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa). Esta é a melhor da América do Sul e uma das mais respeitadas do mundo. Então visitar bibliotecas é fundamental. Às vezes, as livrarias... Infelizmente, não têm a informação mais adequada, exceto, talvez, para livros didáticos. Talvez livros mais avançados a livraria não tenha. Por isso, é preciso conhecer primeiro qual o livro que você quer e depois buscar em alguma livraria especializada do Rio ou de São Paulo. Mas é fundamental, porque esses livros são caros. Então, que se procure antes em uma boa biblioteca de estudos de ciências. Isso vale para qualquer área do conhecimento. A busca deve começar pela biblioteca. Voltando à internet, recomendo os sites da Sociedade Brasileira de Matemática ou da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional. Agora, matemática também pode ser fonte de inspiração para boa literatura, como é o caso de O Último teorema de Fermat, de Simon Singh. Tem também outro livro interessante, esse mais indicado para o público jovem, que é O Teorema do Papagaio, de Denis Guedj.

Léo Silva, 3/5/2005

Quadrado Mágico 15

Preenche a tabela com os números de 1 a 9, de forma a que todas as linhas, colunas e as 2 diagonais, somem sempre 15...




Boa Sorte...


Referência:

Segundo, Victor Duruy


"A Matemática é a chave de ouro que abre todas as ciências."


 Victor Duruy

Os números que tanto perturbaram os gregos...


Os números irracionais são números que não se podem exprimir como uma razão (isto é, um quociente, uma fracção) de números inteiros. São… incalculáveis e incomensuráveis. Por isso também lhe chamaram números “mudos”, números “cegos”, números “surdos”, ou ainda números que “perderam a razão”
 

Gripe e a Matemática.


Você sabia que um médico para diagnosticar uma de gripe, ele lista dois sintomas típicos: febre e tosse. Quantifica a febre (em graus), e a tosse pela freqüência em tempo (hora, por exemplo). Formado-se então dois conjuntos. Para avaliar o quanto o paciente está gripado, os dados são cruzados (intersecção dos conjuntos), dando suporte ao profissional para, a partir daí, tomar uma decisão quanto ao tratamento a ser adotado. Esse método é bastante usado na medicina no auxílio de diagnóstico, e é conhecido como: Teoria dos Conjuntos Fuzzy.

Segundo, Barrow


"Matemática - a inabalável base das ciências
e a abundante Fonte do Progresso
nos negócios humanos."


Barrow

Triângulo Mágico 21

Disponha os números de 1 a 9 e sem repetições de tal forma que as somas dos números de cada lado do triângulo seja igual a 21?





Boa sorte!

Referência:


quarta-feira, 30 de dezembro de 2009

Tangram oval.

A história do nosso jogo remonta a 1879, quando os irmãos Otto e Gustav Lilienthal, engenheiros e pioneiros da aviação, inventaram uma forma de reproduzir blocos de pedra manuais, chamados pedras de Anker, a partir de areia de quartzo, gesso e azeite de linhaça. Posteriormente, a patente destes blocos foi adquirida por Friedrich A. Richer, quem a partir de 1890 lançou uma linha de quebra-cabeças feitas com pedras AnKer que podiam combinar-se de modo a formar novas figuras. Um deles foi o ovo de Colombo, que surgiu em 1893, e cujo objectivo era formar 95 figuras diferentes com as nove peças que o compunham.


O Tangram oval também conhecido por ovo mágico ou ovo de Colombo, tal como o Tangram clássico, propõe a construção de inúmeras figuras a partir de um número limitado de peças com bordas curvas, nove na totalidade.

CONSTRUÇÃO

1. Desenho de uma circunferência com um raio qualquer (por exemplo 4 quadrículas).

2. Divisão da circunferência em quatro partes iguais.


3. Com a ponta seca do compasso em A, com abertura até ao ponto B, traçado do um arco de circunferência conforme na figura.O mesmo procedimento colocando a ponta seca em B.


4. Traçado de dois segmentos de recta (a traço interrompido na figura).


5. Desenho da circunferência de centro em C e que passe por E e por F.


6. Desenho de de outra circunferência, com o raio igual ao da anterior, que passe por D e com centro em I.
 

Recorte das peças em cartolina ou outro material de forma a obter o TANGRAM OVAL.Usar diferentes cores para peças diferentes.
A principal característica deste tangram é o facto de possuir bordas curvas o que permite explorar, alem de linhas rectas, o uso de linhas concordantes na construção das figuras. As suas peças são obtidas a partir da divisão de um óvulo. É constituído por:

1- Dois triângulos isósceles curvos;
2 – Dois triângulos rectângulos curvos;
3 – Dois triângulos rectângulos grandes;
4 – Um triângulo rectângulo pequeno;
5 – Dois trapézios curvos.

Composição de figuras usando o Tangram oval
 
 De seguida são apresentadas algumas imagens construídas com as sete peças do Tangram oval.
 
Boa sorte...

Tangram

Conta-se que um dia, na China à 4000 anos, o Imperador Tan partiu o seu espelho quadrado quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete bocados. Tan, apesar de um pouco aborrecido com a perda do espelho, descobriu uma forma de se entreter, foi construindo figuras e mais figuras usando sempre as sete peças, sem as sobrepor. Assim se pensa ter aparecido o conhecido puzzle chinês, Tangram.
Este puzzle também conhecido pela "placa das sete astúcias", possibilita a construção de diversas figuras partir de sete polígonos muito simples.


Construção do Tangram

Para obter um Tangram basta decompor um quadrado tal como mostra a figura:

Com esta decomposição obtém-se sete polígonos, cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo. Esta construção foi feita de forma a que:
AF=FB=ED
DI=IH=GB
O Tangram também pode ser obtido por simples dobragem de um quadrado de papel, como se pode afirmar na figura seguinte. 




Composição de figuras usando o Tangram 

A decomposição e composição de figuras geométricas constituem uma actividade lúdica e permitem um melhor conhecimento das suas propriedades e das relações entre os seus elementos. De seguida são apresentadas algumas imagens construídas com as sete peças do Tangram. 
Boa sorte...



SE NÃO EXISTE UM GATO COM DUAS CAUDAS EXISTE UM COM TRÊS.

DEMONSTRAÇÃO

Por hipótese
(i) Nenhum gato tem 2 caudas
Como cada gato tem uma cauda,
(ii) por um gato a mais obtemos mais uma cauda.
Ou seja,
(iii) um gato tem mais uma cauda que nenhum gato.
Por (i) e (iii) concluimos que:
Um gato tem 2+1 cauda.
Portanto um gato tem 3 caudas.
 
c.q.d.

Imortal!

A taxa de natalidade é o dobro da de mortalidade, portanto uma em cada duas pessoas é imortal!

Quantas patas tem o elefante?


Quantas velas?

Numa igreja estão 10 velas acesas. Durante a noite vem um ladrão que leva 4 velas. No dia seguinte quantas velas estão na igreja?

Qual dos interruptores acenderá a lâmpada?

Existe um quarto com 3 interruptores, mas apenas um deles pode acender a lâmpada que esta em outro quarto. Como você faz para descobrir qual dos interruptores acenderá a lâmpada sem poder abrir a porta do quarto mais de 1 vez?

Qual é o nome do rei.

"Com quinhentos começa; 
No meio está o cinco; 
O primeiro número e a primeira letra ocupam as demais posições."

Junte tudo e o nome do rei aparecerá.

terça-feira, 29 de dezembro de 2009

Brincando com sinais.

Para conseguir a igualdade abaixo, quais os sinais devemos colocar entre os nove primeiros algarismos?


1__2__3__4__5__6__7__8__9 = 100






Referência:

Um cavalo e um burro.

Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? Se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco, sua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava?

Os dois relógios.

Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente a hora certa?











Referência:

O gato e o rato.

Um rato está 48 metros na frente de um gato que o persegue. Enquanto o rato percorre 4 metros, o gato percorre 7 metros. Quantos metros deverá percorrer o gato para alcançar o rato?

Letra A

ÁBACO – Instrumento para contagem e cálculo. Calculadora com várias hastes de metal, sustentando bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar operações matemáticas.

ABSCISSA - Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional.

ADIÇÃO - Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada para adicionar um número a outro.

ALFA - Primeira letra do alfabeto grego.

ALGARISMO - Símbolos utilizados para representação de números. Em nosso sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

ALGORITMO - Um conjunto de regras necessárias à resolução de um problema ou cálculo.

ALÍQUOTA - Percentual com que determinado tributo incide sobre o valor do objeto tributado.

ALTURA - Dimensão de um corpo considerado verticalmente, da base ao topo.

AMOSTRA - Um conjunto escolhido para representar uma coleção ou população.

AMPLITUDE DE UM INTERVALO - É a diferença entre o extremo superior e o inferior do intervalo. Também chamada de diâmetro do intervalo.

ÂNGULO - Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).

ÂNGULO ADJACENTE - Ângulo com um vértice e um lado comum.

ÂNGULO AGUDO - Ângulo que mede menos que 90º e mais que 0º.

ÂNGULO OBTUSO - Ângulo que mede mais que 90º e menos que 180 graus.

ÂNGULO RASO - Ângulo que mede exatamente 180º.

ÂNGULO RETO - Ângulo que mede exatamente 90º.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES - Ângulos cuja soma é igual a 90º.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES - Dois ângulos dizem-se suplementares quando a sua soma é de 180º.

ANEL (Geometria) - Porção de plano delimitada por duas circunferências com o mesmo centro.

ANO - Período de tempo que compreende 365 dias, salvo o ano bissexto, que tem 366 dias.

APÓTEMA - Segmento de reta perpendicular ao lado de um polígono traçada a partir do centro do mesmo.

APROXIMAÇÃO - Valor obtido por arredondamento de uma medida. Ex.: Se arredondarmos o número 6,851 teríamos 6,85.

Diofanto de Alexandria

Diofanato
 Diofanto de Alexandria (antes ou depois do ano 250 d.C

Diofanto tem o seu nome ligado à cidade que foi o maior centro de atividade matemática na Grécia antiga. Pouco se sabe acerca da sua vida, o desconhecimento impede-nos mesmo de fixar com segurança em que século viveu. Têm sido sugeridas datas distanciadas de um século, antes ou depois do ano 250 d. C. Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos em forma de um enigmático problema, deduz-se que viveu 84 anos. Positivamente, tal problema não deve ser tomado como o paradigma dos problemas sobre os quais se interessou Diofanto pois ele pouca atenção deu a equações do 1º grau.

Alexandria foi sempre um centro muito cosmopolita e a matemática que se originou nela não era toda do mesmo tipo. Os resultados de Heron eram bem diferentes dos de Euclides ou dos de Apolonios ou dos de Arquimedes, e na obra de Diofanto há novamente uma quebra abrupta da tradição clássica grega. Sabido é que os gregos, na época clássica,dividiram a aritmética em dois ramos: a aritmética propriamente dita como "teoria dos números naturais". Frequentemente, tinha mais em comum com a filosofia platónica e pitagórica do que com o que habitualmente se considera como matemática, e logística ou cálculo prático que estabelecida as regras práticas de cálculo que eram úteis à Àstronomia, à Mecânica, etc.
 
O principal tratado de Diofanto conhecido, e que. ao que parece, só em parte chegou até nós, é a "Arithmetica". Apenas seis dos livros originais em grego sobreviveram, o número total (13) não passa de uma conjectura. Era um tratado caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e de engenho, pelo que pode ser comparado aos grandes clássicos da "Primeira idade Alexandrina", ou seja, da "época de ouro" da matemática grega, no entanto, quase nada têm em comum com esses ou, na verdade, com qualquer matemática grega tradicional. Representa essencialmente um novo ramo e usa um método diferente, dai a época em que possívelmente Diofanto viveu se chamar "segunda idade Alexandrina", conhecida por sua vez por "época de prata" da matemática grega.

Diofanto, mais que um cultor da aritemética, e sobretudo da geometria, como o foram os matemáticos gregos anteriores, deve considerar-se um precursor da álgebra, e, em certo sentido, mais vinculado com a matemática dos povos orientais (Babilónia, Índia, ...) que com a dos gregos. A sua "Arithmetica"assemelha-se à álgebra babilónica em muitos aspectos, mas enquanto os matemáticos babilónicos se ocupavam principalmente com soluções " aproximadas" de equações "determinadas" e sobretudo de equações "indeterminadas" do 2º e do 3º graus das formas canónicas, em notação actual, Ax²+Bx+C =y² e Ax³+Bx²+Cx+D=y², ou conjuntos (sistemas) destas equações. É exactamente, por esta razão - em homenagem a Diofanto -que a esta "Análise indeterminada" se chama " Análise diofantina"ou " Análise diofântica".

No desenvolvimento histórico da álgebra considera-se, em geral, que podem ser reconhecidos três estádios: o primitivo ou retórico, em que tudo era completamente escrito em palavras, um intermédio ou sincopado, em que foram adoptadas algumas abreviaturas e convenções, e um final ou simbólico, em que são usados somente símbolos. A "Arithmetica" de Diofanto deve ser colocada no segundo estádio; nos seus seis livros há um uso sistemático de abreviaturas para potências de números e para relações e operações.


Referência:
 
Jornal: Mathematica Elementar
Site: Só Matemática
Site: Wikipédia

segunda-feira, 28 de dezembro de 2009

Crescei e multiplicai-vos!


Em torno da matemática e de sua reinvenção

João Frederico
 O professor João Frederico da Costa Azevedo Meyer, diretor do IMECC, fala que o bicho-papão é o professor e não a disciplina 


Quem ouve o entusiasmo com que o professor João Frederico da Costa Azevedo Meyer, o Joni, fala da pesquisa e do ensino em matemática não imagina que durante a adolescência, quando cursava a quarta série do antigo ginásio, em Niterói, ele chegou a “detestar” a disciplina. E a antipatia foi provocada justamente por um professor que o convencera de que ele não servia para estudar a matéria. Mesmo assim, naquele ano, Joni conseguiu tirar uma ótima nota e foi aprovado com louvor. No ano seguinte, ao ingressar no então Colegial, sua opinião sobre a disciplina mudaria radicalmente depois de conhecer a professora Cecília Neves. “Ela me mostrou que eu adorava matemática, mas não sabia”, conta. “Eu achava que detestava a matéria mas no fundo eu não gostava era do professor”, completa.
Joni, que desde 2003 ocupa a direção do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (Imecc) da Unicamp, cita o seu caso para ilustrar as causas da aversão que muitos estudantes nutrem pela matemática. Para ele, o bicho-papão das escolas é muito mais o professor de matemática do que a matemática em si. Formado na primeira turma do Instituto, em 1970, ele aproveitou o Dia Nacional da Matemática, comemorado na última sexta-feira, para falar sobre a situação do ensino e da pesquisa nessa área do conhecimento no Brasil. Leia a seguir os principais trechos da entrevista concedida ao Jornal da Unicamp.


JU – A matemática sempre foi considerada como o bicho-papão entre as disciplinas escolares. Continua assim?
 
Joni – Vou me permitir discordar um pouco da pergunta. Minha experiência mostrou que o bicho-papão das escolas é muito mais o professor de matemática do que a matemática em si. Isso porque a matemática é uma atividade inerentemente humana. A gente faz estimativas de peso, de tamanho, quantifica os fenômenos, raciocina, faz deduções, tira conclusões. Isto tudo é naturalmente matemática. Muitas vezes o aluno chega na escola sabendo intuitivamente diversas coisas no campo da matemática, mas nós como professores não sabemos transformar o que ele sabe na formalização do fenômeno.


JU – O problema, então, estaria no ensino da matemática?
 
Joni – Acho que o problema é mais do ensino. Mas não só no campo da matemática. O ensino de matemática se dá através da linguagem, da história e da ciência. É o ensino como um todo e não só o professor de matemática.


JU – O Brasil recentemente foi promovido ao Grupo IV da International Mathematical Union (IMU), o que colocou o país ao lado de Holanda, Suécia e Espanha no que diz respeito à qualidade da pesquisa em matemática. A que o senhor atribui esse avanço?
 
Joni – Há diversos fatores. Tem havido um esforço dos órgãos financiadores para fomentar pesquisa com cuidado e seriedade. Além disso, algumas universidades têm investido pesadamente para formar um ambiente de produção de ciência. A Unicamp é uma delas. Também está havendo um grande esforço de cooperação com outros países que fazem pesquisa nessa área e para o intercâmbio de professores e alunos de graduação e pós-graduação. Temos recebido no IMECC pessoas de todos estes níveis para trabalhos de cooperação. Nessa cooperação conseguimos avançar mais e chegar mais longe.


JU – A pesquisa em matemática ocorre de maneira uniforme no Brasil ou há desequilíbrios regionais?
Joni – A produção de matemática no Brasil não é distribuída homogeneamente. Nenhuma instituição produziu tantas teses de mestrado e doutorado na área de matemática quanto a Unicamp. Existe um esforço muito concentrado em algumas universidades que têm uma produtividade maior porque conseguiram garantir um ambiente de pesquisa.

JU — Os bons resultados no campo da pesquisa também estão ocorrendo no campo do ensino fundamental e médio?
 
Joni – A imagem positiva do Brasil no campo da pesquisa em matemática não se repete quando pensamos na colocação do Brasil em termos de ensino fundamental. Aí o país não tem ido bem. Temos aqui no IMECC duas licenciaturas em parceria com a Faculdade de Educação. Portanto estamos gastando boa parte da nossa energia na formação de professores. Nesse trabalho estamos constatando que temos uma responsabilidade muito grande com relação ao ensino, principalmente no nível fundamental. Temos o Laboratório de Ensino de Matemática que há muitos anos vem trabalhando na formação continuada de professores, sobretudo da rede pública. Também temos o Núcleo Interdisciplinar do Ensino da Matemática que vem se dedicando a projetos nessa área. Dessa maneira temos cooperado com outras entidades que estão investindo na melhoria do ensino fundamental.


JU – Em sua opinião, o que está faltando para que o ensino fundamental e médio alcance o mesmo patamar de qualidade do ensino superior no campo da matemática?
 
Joni – Há alguns anos visitei um amigo que é professor universitário num país europeu. Fui apresentado a um casal amigo dele, cujo marido é professor no ensino médio e a esposa professora no ensino fundamental. O salário desse meu amigo era de três mil unidades monetárias. Já o professor do ensino médio ganhava três mil e seiscentos enquanto sua esposa recebia quatro mil e quinhentos. É uma inversão da nossa pirâmide salarial. Então, se nós temos na universidade um aluno muito bom e que gosta da educação matemática, mas que pode continuar fazendo pesquisa ganhando um salário de professor universitário, como ele vai avaliar a alternativa de trabalhar no ensino fundamental? No Brasil todo as escolas estão numa situação trágica. Tirando alguns municípios, notamos um certo abandono por parte dos governos. Há uma deficiência muito grande na valorização do professor do ensino fundamental.


JU – O senhor acredita que ainda haverá tempo para o Brasil recuperar a defasagem no campo do ensino fundamental e médio?
 
Joni – Sou um otimista incorrigível. Acho que dá. Quando a gente trabalha com os alunos que chegam aqui e percebe o entusiasmo deles; quando a gente viaja pelo interior em projetos como o Teia do Saber que oferece cursos aos professores, percebemos que o entusiasmo deles passa por cima das deficiências. Vemos profissionais que vêm ao IMECC nos finais de semana se esforçando em cursos de verão. Isso me deixa muito animado.


JU – Até que ponto a Olimpíada Brasileira de Matemática contribui para a divulgação da matemática?
 
Joni – Acho que ajuda. Mesmo porque as pessoas que participam da Olimpíada são alunos que não serão, necessariamente, professores de matemática. É uma iniciativa importante para a motivação, mas temos de trabalhar simultaneamente com os projetos que podem resolver os problemas essenciais. Para trabalharmos com professores de matemática vamos precisar de outras políticas e outros investimentos.


JU – O senhor acha válida uma versão da Olimpíada da matemática para o ensino fundamental e médio?
 
Joni – É válida, mas veja que a Olimpíada da Matemática é um funil. O processo vai afunilando até o ponto de mandarmos recentemente alguns poucos alunos de graduação brasileiros para representar o país na Bulgária. É verdade que essa atividade motivou muitos alunos e professores, mas à medida que a competição avança o funil vai fechando. Acho que precisamos fazer exatamente o contrário. Ou seja, ampliar a inserção. Seria muito interessante oferecer aos professores uma formação mais sólida e trabalhar com outros projetos, como as antigas feiras de ciência, onde os professores de diversas áreas cooperam mutuamente para movimentar a escola e mostrar uma matemática que é necessária para o exercício da cidadania. Para que as pessoas possam entender o contexto em que vivem, a taxa de juros, o preço da prestação, o que significa não dar entrada, etc.


JU – Como a Unicamp se insere no panorama nacional e internacional no que diz respeito à formação de profissionais e desenvolvimento de pesquisa em matemática?
 
Joni – A Unicamp, através do IMECC, participa com uma grande fatia no cenário nacional. Temos aqui pesquisadores classificados no máximo nível do CNPq. Além disso, temos dois programas de doutorado, o de matemática com nota sete (Capes) e o de matemática aplicada com nota seis, e estamos investindo pesadamente na pós-graduação em estatística, que vai passar a ter um doutorado também. Com isso, estamos nos colocando no cenário nacional como sendo uma força importante. Notamos que há um reconhecimento tanto da comunidade científica quanto da sociedade em geral em relação ao trabalho que estamos desenvolvendo. E estamos fazendo isso com sete mil matrículas de graduação por semestre. Ou seja, os nossos pesquisadores que estão produzindo e ganhando prêmios no cenário nacional e internacional também estão atuando na graduação.


JU – Quais as principais linhas de pesquisa em andamento no IMECC?
 
Joni – Temos o grupo de análise coordenado pelo professor Djairo Guedes de Figueiredo; o grupo da otimização, com o professor Mário Martinez; o trabalho com tratamento de imagens do professor Álvaro de Pierro; o de Geofísica do Martin Tygel; e o professor Patrício Anibal Letelier, do grupo Física Matemática. Mas é evidente que os esforços do IMECC não se concentram apenas nestes pesquisadores. Além do pessoal que sustenta o esforço de pesquisas na Estatística, há outros grupos produtivos, como o de Geometria, de Álgebra, além de grupos emergentes como os que trabalham com Lógica Fuzzy, com um trabalho que no início desse ano ganhou um prêmio por maior número de citações. Além disso, há outras iniciativas no campo de pesquisa que ainda não foram premiadas. Esse ainda vai por conta do meu otimismo.


JU – Quais os principais desafios no campo da pesquisa em matemática atualmente no mundo?
 
Joni – Passamos por uma fase muito produtiva de uma matemática que se desenvolveu no século 19. É a matemática das coisas que são contínuas e bem comportadas. Com as ferramentas dessa matemática nós conseguimos simular muitos fenômenos que não têm essa características. Um dos desafios agora é introduzir uma incerteza na matemática, uma subjetividade assumida. As descontinuidades, as inconsistências, uma matemática que não usa uma função contínua para descrever, por exemplo, um bate-estacas ou a presença de uma nuvem sólida de poluentes no ar. É a matemática do século 21. Essas ferramentas têm de ser inventadas de um modo melhor. Há certas doenças que não puderam ser analisadas completamente por ferramentas que já serviram. Por exemplo, a hanseníase. Precisamos de uma nova matemática. Os modelos matemáticos de equações diferenciais ordinárias, que são uma área de pesquisa da matemática pura, funcionam para muitas doenças, mas à medida que vamos aprendendo mais sobre uma determinada doença, constatamos que o nosso instrumental matemático ainda não é adequado. O mesmo acontece para outras perguntas de otimização como trajetória, distribuição de rede, energia, manejo sustentável. A matemática aplicada e a Estatística não dão conta de resolver sozinhas estes fenômenos. Essas ferramentas ainda precisam ser inventadas pela matemática dita pura. A natureza apresenta certos parafusos para os quais ainda não temos a chave de boca.

CLAYTON LEVY

Fonte: Universidade Estadual de Campinas – 9 a 15 de maio de 2005

Uma Mente Brilhante

Uma Mente Brilhante
Uma Mente Brilhante (en: A Beautiful Mind), é um filme estadunidense de 2001, do gênero drama biográfico, dirigido por Ron Howard, sobre a vida do matemático John Forbes Nash.

John Nash é um matemático prolífico e de pensamento não convencional, que consegue sucesso em várias áreas da matemática e uma carreira acadêmica respeitável. Após resolver na década de 1950 um problema relacionado à teoria dos jogos, que lhe renderia, em 1994, o Prêmio Nobel de Economia, Nash se casa com Alicia. Após ser chamado a fazer um trabalho em criptografia para o Governo dos Estados Unidos da América, Nash passa a ser atormentado por delírios e alucinações. Diagnosticado como esquizofrênico, e após várias internações, ele precisará usar de toda a sua racionalidade para distinguir o real do imaginário e voltar a ter uma vida normal.

Titulo original: (A Beautiful Mind)
Lançamento: 2001 (EUA)
Direção: Ron Howard
Atores: Russell Crowe , Ed Harris , Jennifer Connelly , Paul Bettany , Adam Goldberg
Duração: 135 min
Gênero: Drama


Trailer 


Desloque apenas 1 palito

Na figura abaixo, em cada equação, desloque apenas um palito pra obter uma sentença verdadeira.







Referência:

Revista do Professor de Matemática. Vol 1, nº 1.1982.

Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:


Qual dos dois círculos vermelhos central é maior, a direita ou a esquerda?


Quantas cores aparecem neste quadro?


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site:

O rosto de um homem jovem ou de um marinheiro velho?

Você está vendo o rosto de um homem jovem?  


Sabe como encontrar o rosto de um marinheiro velho, sorrindo e com costeletas grandes?


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site: Buratto Net