Raiz quadrada de −1

Toda raiz quadrada, ou qualquer outro tipo de raiz, é assim chamada porque é raiz de alguma equação. Uma raiz é qualquer número que torna verdadeira a equação. 

Por exemplo, a única raiz da equação x-2=0 é o 2, porque 2-2=0 é uma sentença verdadeira.

A equação x²-2=0  possui exatamente duas raízes, ambas reais. A estas damos os nomes  -√2   (menos raiz quadrada de 2) e √2  (simplesmente raiz quadrada de dois). Ambos são números reais  α para os quais α²-2=0  é verdadeira. 

Estes números, no entanto, não são inteiros e nem mesmo racionais. Os gregos da antiguidade já sabiam disso, e perceberam tanto a existência quanto a utilidade dos números irracionais.

O próprio conjunto dos números reais foi concebido para compreender todos os racionais e todos os irracionais, incluindo aqueles que são raízes de alguma equação.

Sendo assim ao perguntarmos qual é a raiz quadrada de  −1, estamos de fato perguntando quais são as raízes da equação  x²+1=0 . Tal número, digamos  α, deve ter a propriedade de tornar verdadeira  α²+1=0.

Mas é imediato que, se existirem, as soluções desta equação não podem ser números reais. Escrita de outro modo, ela equivale a x²-1. O primeiro membro, sendo um quadrado deve ser maior ou igual a zero, enquanto o segundo membro é menor do que zero. Nenhum número real pode ser positivo (ou zero) e estritamente negativo ao mesmo tempo.

Por muito tempo essa equação e outras do tipo foram consideradas sem solução e não encontravam nenhuma aplicação prática. Mas isso não detém os matemáticos. Eles inventam coisas que não tem nenhuma utilidade prática imediata o tempo todo. É muito bom que continuem assim!

Ocorre que, na ânsia de resolver a equação x²+1=0,  se cria para ela uma solução. Que tal chamarmos uma solução simplesmente de  i, de imaginário, pois obviamente estamos falando de um número que não existe a não ser na nossa imaginação.

Então, obviamente, i²+1=0,  mas  (−i)²+1=0 também, logo i  e  −i são as raízes dessa equação. Ou seja,  i  e  −i são as raízes quadradas de −1, porque tornam verdadeira a equação  x²+1=0.

Por comparação com as raízes de  x²–2=0,  parece fazer sentido indicar  i  também por  √−1. 

Depois de inventarmos um novo tipo de número como acabamos de fazer, o próximo passo talvez seja perguntar que propriedades eles possuem com respeito às operações usuais de adição e de multiplicação. Os nossos novos números possuem muitas das propriedades usuais dos números reais, e rapidamente surge uma infinidade de outros números que pertencem ao mesmo território que começamos a desbravar.

Por exemplo, ao perguntarmos qual seriam as raízes de x²+2=0,  percebemos de imediato que  (i√2)²+2=0, sendo então vantajoso combinar os reais com o  i, pois assim podemos resolver mais outra equação para a qual antes não havia solução. As raízes desta são, obviamente,  −i√2  e  i√2.

Não quero me alongar demais nesta discussão, pois deve estar clara a motivação para a criação do conjunto de números que hoje conhecemos como os complexos. Eles ampliam em muito a quantidade de equações que podemos resolver. E apesar do nome assustador, na realidade não há nada de complexo nesses números. De fato, são úteis mesmo na resolução de muitos problemas concretos, embora não tenha sido essa a motivação inicial para criá-los.

Por exemplo, na engenharia e para os profissionais que trabalham com a energia elétrica, os números complexos são extremamente úteis pois simplificam certos cálculos que com muito mais razão mereceriam a denominação de complexos. Os números complexos são imprescindíveis para o projeto e a manutenção de sistemas de produção e de distribuição da eletricidade. Sem eles, portanto, não teríamos o mesmo conforto que temos hoje em dia!

Multiplicação de números com sinais iguais e diferentes

 

Todos nós conhecemos muito bem os números naturais: 

0, 1, 2, 3, … 

Esses números são intuitivos e entendemos completamente o que eles representam. Entretanto, em um belo dia, criamos um novo tipo de número, e os chamamos de números inteiros. Tomamos uma reta e um ponto nela e chamamos este ponto de 0. Assim, os números crescem para esquerda como cresciam para a direita, mas dizemos que aqueles são negativos, enquanto estes são positivos. 

É possível demonstrar que, dados as definições de número, adição e multiplicação, os naturais gozam dessas seguinte propriedades. Assim, se a, b, c são números naturais, então

Comutatividade da soma e multiplicação:

a+b=b+a

a.b=b.a

Associatividade da soma e multiplicação:

(a+b)+c=a+(b+c)

(a.b).c=a.(b.c)

Elemento neutro da soma e multiplicação:

a+0=0+a=a

a x 1=a x 1 =a

Lei do corte:

a+c=b+c implica a=b

Distributividade da multiplicação em relação à adição:

(a+b).c= a.c+ b.c

Para os inteiros há mais uma propriedade.

Existência e unicidade do oposto:

a+(-a)=0

Dado esses fatos, vamos ver quanto é a(-b).

a.(-b)=a.(-b)+0=a.(-b)+(a x 0)= a.(-b)+a.(b+(-b))=a.(-b)+a.b+a.(-b)

Logo, 

a.(-b)=a.(-b)+a.b+a.(-b)

Pela lei do corte: 

0=a.b+a.(-b)

Somando -(ab)de ambos os lados: 

a.(-b)=-(a.b)

Logo, o produto de um número positivo com um número negativo é número negativo

Quanto é (-a)(-b)?

-(a.b)+(-a).(-b)=(-a).b+(-a).(-b)=(-a).(b+(-b))=(-a).(0)=0

Logo, 

-(a.b)+(-a).(-b)=0

Somando ab de ambos os lados: 

(-a).(-b)=a.b

Conclui-se que o produto de dois números negativos é um número positivo.

Explorando as Abordagens de Conjuntos no Enem 2014

(Enem/2014) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.

Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.

Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

A) 135

B) 126

C) 118

D) 114

E) 110

Resolução

A questão é facilmente resolvida utilizando a teoria dos conjuntos. Assim, vamos montar o diagrama de Venn da seguinte forma:

Consideramos o seguinte diagrama:

Do texto, 4 páginas são comuns a C1, C2 e C3. Então colocamos o valor 4 no centro do diagrama.

C2 e C3 possuem 5 páginas em comum, no entanto, 4 delas também pertencem a C1. Sendo, portanto, apenas 1 página para a interseção de C2 e C3.

C1 e C2 possuem 10 páginas em comum sendo 4 delas também comuns a C3, logo restam 6 que são exclusivas a C1 e C2.

A mesma análise é feita para C1 e C3. Segundo o enunciado, 6 são comuns a essas duas, mas levando em conta as 4 comuns às três páginas restam duas.

O próximo passo é determinar as páginas que são exclusivas a cada catálogo. Fazemos isso subtraindo os valores das interseções do total de páginas de cada catálogo informado no enunciado, assim:

Em apenas C1  tem-se : 50 - 12 = 38

Em apenas C2  tem-se: 45 - 11 = 34

E em apenas C3  tem-se: 40 - 7 = 33

Dessa forma, podemos completar o diagrama.

O total de originais (U) é obtido somando todos os valores do diagrama, ou seja:

U=4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Portanto, alternativa C é a correta.

Letras Gregas no Ensino da Matemática

 

Durante as aulas de Matemática você já viu algumas das letras gregas e suas pronúncias. Por exemplo:

Os ângulos de um triângulo são geralmente nomeados de alfa, beta e gama, assim como, os planos;

O delta é usado como um operador de diferença ou como uma parte essencial da fórmula de Bhaskara;

A letra grega épsilon, no Cálculo, significa um pequeno valor positivo;

A letra pi representa a razão constante entre a circunferência e o diâmetro do círculo;

A letra fi significa a “razão de ouro”;

A letra grega épsilon, no Cálculo, significa um pequeno valor positivo.

Além disso, é possível observar que algumas letras maiúsculas são as mesmas do nosso alfabeto.

Na tabela abaixo temos a letra maiúscula, minúscula, seu nome em grego, em português (se for diferente) e sua representação fonética:

• Α – α – alpha – alfa –
• Β – β – beta – ,
• Γ – γ – gamma – gama – ,
• Δ – δ – delta –
• Ε – ε- epsilon – épsilon –
• Ζ – ζ – zeta –
• Η – η – eta –
• Θ – θ – theta – teta –
• Ι – ι – iota ,
• Κ – κ – kappa – capa – ,
• Λ – λ – lambda –
• Μ – μ – mu – mi –
• Ν – ν – nu –
• Ξ – ξ – xi –
• Ο – ο – omicron –
• Π – π – pi –
• Ρ – ρ – rho – rô –
• Σ – σ/ς – sigma – ,
• Τ – τ – tau –
• Υ – υ – upsilon – , ,
• Φ – φ – phi – fi – ,
• Χ – χ – chi – ,
• Ψ- ψ – psi –
• Ω – ω – omega –