O Problema do Sofá em Movimento

O matemático Leo Moser colocou em 1966 o seguinte curioso problema matemático: "qual é a forma da maior área do avião que pode ser movida em torno de um canto em ângulo reto em um corredor bidimensional de largura 1?"

Podemos começar com um quadrado 1 por 1.

Esse semicírculo com raio 1 se sai melhor. Tem área π2.

Podemos continuar a fazer melhorias. O matemático John Hammersley notou que, se o semicírculo for cortado em dois quartos de círculo, que são separados e o espaço entre eles preenchido com um bloco retangular, obtemos uma forma de sofá maior, que pode ser movida na esquina se apenas um buraco semicircular menor também for removido do bloco retangular.

Em 1992, Joseph Gerver encontrou uma forma melhor, com uma área um pouco maior de cerca de 2.2195. Gerver não conseguiu provar que sua solução era ótima. Até hoje, 50 anos após a pergunta, ainda é a melhor solução.

Tentativas de encontrar limites superiores foram feitas. Os matemáticos definiram uma "constante do sofá", que é apenas a resposta para esse problema! Yoav Kallus e Dan Romik provaram um limite superior em junho de 2017, limitando o sofá constantemente a 2,37.

Referências:

D. Romik. Equações diferenciais e soluções exatas no problema do sofá em movimento. Para aparecer em Matemática Experimental.

Y. Kallus, D. Romik. Limites superiores aprimorados no problema do sofá em movimento. Pré-impressão, 2017.

Movendo o problema do sofá na Wikipedia.

E. W. Weisstein. Movendo o problema do sofá no Wolfram MathWorld.

J. L. Gerver. Ao mover um sofá em uma esquina. Geometriae Dedicata 42 (1992), 267-283. doi: 10.1007 / BF02414066.

P. Gibbs. Um estudo computacional de sofás e carros. Pré-impressão, 2014.

As raízes de uma função quadrática: 2012, 2013 e 2014

O somatório do quadrado das raízes de uma função quadrática

O valor de k na função P(x)=4x²+kx+2

Seis Semanas

Quantos segundos tem exatamente seis semanas? Responda utilizando somente três caracteres. 

Observação: Um caractere pode ser uma letra (maiúscula ou minúscula), um algarismo, um ponto final, ponto de interrogação, colchetes. Em síntese, são símbolos que normalmente encontramos num teclado de um computador.

Solução

Seis semanas tem exatamente 3.628.800 segundos que é equivalente a 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Assim, podemos responder a questão utilizando o conceito de fatorial, ou seja, seis semanas tem exatamente 10! segundos.

Prof. Mateus Oliveira

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Pressionar 3 vezes a tecla log x

Numa certa calculadora científica, quando você tenta encontrar o logaritmo de um número negativo ou nulo, ela da uma mensagem de erro. Então você digita um número inteiro e, após pressionar três vezes a tecla log x, apareceu a mensagem de erro. Se o número digitado por você fosse multiplicado por 10 e a tecla log x fosse pressionada seguidamente, a mensagem de erro apareceria após pressionar:

Referência:

Bianchini, Edwaldo. Paccola, Herval. Matemática 1. Ed Mordena

Apertar seguidamente a tecla log

Numa certa calculadora, quando você fornece um número negativo ou nulo e pressiona a tecla log, ela simplesmente "trava" e não executa mais nada até que seja "destravada". Suponha que você forneça a essa calculadora um número N inteiro e positivo. Quantas vezes você pode apertar seguidamente a tecla log antes que a calculadora "trave", nos casos seguintes:

a) N = 100? 

b) N = 10?

c) N tem seis algarismos?
 

d) N tem tres algarismos?

Referência:

Bianchini, Edwaldo. Paccola, Herval. Matemática 1. Ed Mordena

O número 987654321

Numa certa calculadora científica, quando você tenta encontrar o logaritmo de um número negativo ou nulo, ela da uma mensagem de erro. Suponha que nessa calculadora você digite o número 987654321 e pressione seguidamente a tecla log x. A mensagem de erro aparecera após essa tecla ser pressionada quantas vezes?

Referência:

Bianchini, Edwaldo. Paccola, Herval. Matemática 1. Ed Mordena

O mesmo cofre

Três sócios utilizam o mesmo cofre para depositarem o dinheiro da sociedade. No entanto, a confiança que reina entre eles é bastante reduzida. Resolvem colocar várias fechaduras no cofre e distribuir as chaves de forma que: 

1º - Nenhum deles possa abrir a porta sozinho; 

2º - Dois deles possam, em conjunto, utilizar as chaves que possuem para abrir a porta. 

 Quantas fechaduras são e como são distribuídas as chaves pelos 3 sócios?

Referência:

Site: José Matias 

Os 11 bois brancos

O orgulho de Adriano eram os seus 11 bois brancos. Após a sua morte, a mulher fez saber que o marido queria os bois partilhados entre os filhos Alan, Alex e Aleson, de modo que ficassem com 1/2, 1/4 e 1/6 respectivamente. Não querendo ter de retalhar nenhum dos animais, foram consultar o oráculo da aldeia. Este depressa acabou com os problemas desta família acrescentando o seu único boi aos outros 11. Depois entregou 6 ao Alan, 3 ao Alex, 2 ao Aleson e, finalmente, tirou de volta o seu próprio boi. Há aqui, no entanto, qualquer coisa que não bate certo. O que será?

Referência:

Site: José Matias 
Adaptação: Matheusmáthica

O testamento do tio Sousa

O tio Sousa deixou em testamento, aos seus três sobrinhos, um terreno com 1419 metros quadrados. O testamento dizia 'O Marcos ficará com mais 54 metros quadrados do que o Lucas; o Lucas ficará com mais 39 metros quadrados do que o João'. Com quantos metros quadrados ficou cada um?

Referência:

Site: José Matias 
Adaptação: Matheusmáthica

Ao sair de casa

Um homem saiu de casa e gastou numa loja 1/3 do dinheiro que tinha, gastou noutra 1/5, quando voltou para casa tinha R$ 21,00. Quantos reais tinha inicialmente?

Referência:

Site: José Matias

Gatos e patos

Num terreno, existem 21 animais, entre gatos e patos. Sabendo que o total de patas dos animais é de 54, qual o número de gatos e o número de patos? 

Referência:

Site: José Matias

Usando uma caixa

Ao  longo de um ano, uma pessoa usou uma caixa,  inicialmente vazia, para guardar quantias em dinheiro e, nesse período, não fez retiradas e nem outro  tipo de depósito na caixa. Considere que as quantias depositadas, em  reais, eram numericamente  iguais aos  termos de uma progressão geométrica de razão 2 e que o terceiro depósito foi de R$ 10,00. Ao ser colocado o décimo depósito, o total  contido na caixa era?

Referência:

Vestibular: Novas FATECs, 2º semestre. 2007.

Controlando as calorias

Pelo fato de estar com o peso acima do recomenado, uma pessoa está fazendo o controle das calorias dos alimentos que ingere. Sabe-se que 3 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e uma porção de brócolis têm 274 calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 3 almôndegas e uma porção de brócolis têm 290 calorias. Por outro lado, 2 colhees de sopa de arroz, 2 almôndegas e 2 porções de brócolis têm 252 calorias. Se ontem seu almoço consistiu em uma colher de sopa de arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, quantas calorias teve essa refeição?

Referência:

VESTIBULAR  FATEC. 2º SEMESTRE  2007

Grupo de meninos e meninas

Quinze meninas saem de um grupo de meninos e meninas. No grupo restante, ficam dois meninos para cada menina. Aí então, 45 meninas abandonam o grupo. Ficam então 5 meninas para cada menino. O número de meninas no grupo inicial era:?

Referência:

REMEMBER I .MATEMÁTICA - Estudo dirigido

Possíveis candidatos

Na convenção de um partido para lançamento da candidatura de uma chapa ao governo de certo estado havia 3 possíveis candidatos a governador, sendo dois homens e uma mulher, e 6 possíveis candidatos a vice-governador, sendo quatro homens e duas mulheres. Ficou estabelecido que a chapa governador/vice-governador seria formada por duas pessoas de sexos opostos. Sabendo que os nove candidatos são distintos, o número de maneiras possíveis de se formar a chapa é?

Referência:

UNESP/2003. ANGLO VESTIBULARES

Agência Vivatur

A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda dessa passagem, foi?

Referência:

UNESP/2003. ANGLO VESTIBULARES

Associação de moradores

Uma associação de moradores recebeu certa quantidade de alimentos para ser distribuída com as famílias carentes da comunidade. Os produtos foram acomodados em 50 caixas, contendo 55 pacotes de 1kg de cada alimento: arroz, feijão e textura de soja. Sabendo-se que cada caixa contém 3kg de feijão a mais que de textura de soja e 2kg de feijão a mais que de arroz, pode-se afirmar que a quantidade de arroz distribuída na comunidade foi igual, em quilogramas, a?

 

Referência:

Vestibular: UESB/2008

Câmara Municipal

A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam  o prefeito e os demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores da situação e 4 da oposição será escolhida. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas do tipo descrito é igual a?

 

 

 

 

 

Referência:

Vestibular: UESB/2007