MatheusMáthica: "O lado interessante e curioso da Matemática"

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domingo, 31 de janeiro de 2010

Fórmula para todos os triângulos

 
 
 
Autor da imagem: Desconehcido



Referência:

quinta-feira, 28 de janeiro de 2010

Quadrado Mágico 21

Preenche a tabela com os números de 3 a 11, de forma a que todas as linhas, colunas e as 2 diagonais, somem sempre 21...




Boa Sorte...


Referência:
 

Segundo, Blavatsky


"A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números."

Blavatsky

O número dois e os provérbios

"Mais vale um pássaro do que dois voando".
"Homem avisado vale por dois".

"Matar dois coelhos numa cajadada só".
"Mais vale um toma do que dois te darei".

"Dois proveitos não cabem num saco só".
"Entre os dois venha o diabo e escolha".

"Criados e bois, um ano até dois".
"Custa mais sustentar um vício do que educar dois filhos".



"Mais vale um hoje do que dois amanhã".
"Não há dois altos sem um baixo no meio".

"Dois pilotos fazem um barco ir ao fundo".
"Dois sacos vazios não se põe em pé".

"Dois sentidos não assam milho".
"Dois pesos e duas medidas".

terça-feira, 26 de janeiro de 2010

Quantos cubos consegues contar?





6 ou 7? 


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site: Ensinar EVT

Consegues ver um bebé?


Autor da imagem: Desconhecido


Referêncial:

Site: Webix

Quantos círculos você vê aqui?



Relaxe e você conseguirá enxergar alguns círculos…


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site:

Onde está a bola?


 Dentro ou fora da Caixa?


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site: Ensinar EVT

Os Números Reais


São números vezes números
Números mais números
Números menos números
Números divididos por números

São contas, expressões
Somas, subtrações
Divisões , multiplicações
Números que resultam em outros números

 
Existem números que não acabam mais
Por exemplo : os irracionais
Existem números que são pequenos
Por exemplo: alguns decimais

Mas enfim, são números e números
Números que não acabam mais
Como sempre quase todos vão ser
Os números Reais




I.S.R Cabo Frio

Os números de Fibonacci são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia).

Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360º para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a  2 x 360º ÷ 5 = 144º.


Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da seqüência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão freqüentemente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória.

A Matemática de uma Abelha

Mesmo que tenha sido somente em desenho, possivelmente você já viu uma colméia. Lembre-se de que o formato de cada “porta de entrada” é de um hexágono regular ( polígono regular de seis lado ).
Pode parecer uma pergunta tonta mas, as abelhas saberão matemática? O matemático grego, Papus  de Alejandría, matemático grego que viveu do ano 284 ao 305, terá respondido que sim!
O senhor Papus baseou esta afirmação na forma hexagonal que as abelhas dão aos favos.


As abelhas, quando fabricam o mel, têm que resolver vários problemas. Precisam de o guardar em compartimentos individuais, de tal maneira que formem um mosaico sem lacunas, já que têm que aproveitar ao máximo o espaço.
Se só o podem fazer utilizando triângulos, quadrados e hexágonos, porque terão escolhido os hexágonos, se estes são mais difíceis de construir?
A resposta é um problema isoperimétrico (de igual perímetro). Papus demonstrou que, entre todos os polígonos regulares com o mesmo perímetro, tem maior área, aquele que tiver o  maior número de lados.


Desses três polígonos regulares, o hexágono é aquele que, com mesmo perímetro, permite maior área. É só lembrarmos disso para reconhecer que a natureza é sábia e com ela temos muita coisa útil a aprender.
Assim, cada dois hexágonos consecutivos, a abelha consegue construir um terço ( duas paredes ) de um novo alvéolo. Isso representa economia de material para a construção do casulo.
Por este motivo, as abelhas constroem os favos de forma hexagonal, uma vez que, gastando a mesma quantidade de cera, conseguem uma maior superfície para guardar o mel.


segunda-feira, 25 de janeiro de 2010

ARQUITETURA

Há séculos a arquitetura encanta o mundo com suas criações. Se em outros tempos os profissionais da área se valiam unicamente da estética e plasticidade para realizar seu trabalho, o arquiteto moderno dispõe de todos os avanços tecnológicos oferecidos pela ciência para proporcionar à Arte condições de se expandir cada vez mais. 

Hoje, a arquitetura pode ser definida como arte e tecnologia, estética e plasticidade a serviço do homem e do seu bem-estar.  A tarefa do arquiteto é ampla e não está ligada somente aos detalhes externos das construções. A ordenação dos espaços interiores, o tipo de material utilizado, problemas relativos à temperatura e à iluminação dependem de seus conhecimentos para serem resolvidos. Assim, o arquiteto é também responsável pelo conforto, funcionalidade e higiene de uma construção, seja esta um museu, uma mansão, uma escola, seja um conjunto habitacional. 

As atividades profissionais do arquiteto estão relacionadas, a priori, com edificações, conjuntos arquitetônicos, arquitetura paisagística e de interiores, planejamento físico, local, urbano e regional. O profissionais moderno, no entanto, cria também logotipos para empresas e produtos, capas de livros, fachadas de lojas, estandes de exposição, entre outros, demonstrando, assim, o quanto pode ser diversificada a sua atividade. 

A matemática é essencial para que o arquiteto possa desenvolver o seu trabalho, e sem ela não seria possível a construção da mais simples casa ou mesmo de um pequeno jardim de inverno.

Referência:

Machado, Antônio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau - Vol 2. S. Paulo: Atual, 1996.

ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS


A administração e, antes de tudo, planejamento, organização e controle. Logo, habilidade com números, espírito de liderança, capacidade de argumentação são atributos indispensáveis ao administrador. 

Nos dias de hoje, um número cada vez maior de empresas privadas e publicas tem contratado profissionais dessa área, pois da atuação destes depende a produtividade e a competitividade nos empreendimentos, o capital investido e o próprio progresso econômico e social. Diante das exigências do mercado, da irreversível globalização da economia, do crescimento das atividades baseadas em alta tecnologia, o papel do administrador vem se tornando imprescindível. 

O administrador pode atuar em cargo executivo, como empreendedor, como instrutor de programas de desenvolvimento gerencial e pesquisador. Na prática, ele elabora e aplica políticas econômicas, administrativas, implementa novos programas de ação, prepara planos de ação, prepara orçamentos para projetos e laudos, planeja e controla pesquisas, desde a montagem até o tratamento estatístico. Pode, ainda, analisar a estrutura de um organização, classificar cargos do pessoal e verificar sua adequação à estrutura a ao porte da empresa. 

A matemática constitui um instrumento de trabalho fundamental para os profissionais da área. O administrador precisa de um amplo domínio da matemática para ser bem sucedido em seu trabalho, que depende, em grande parte, da exatidão dos números.

Referência:

Machado, Antônio dos Santos. Matemática na escola do 2º grau - Vol 1. S. Paulo: Atual, 1996

domingo, 24 de janeiro de 2010

Você consegue explica isso:

Emprestei certa vez a quantia de 100 reais, a dois amigos, sendo 50 a Paulo e outros 50 a Pedro. Paulo pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:


Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 15, ficou devendo 15
Pagou 10, ficou devendo 5
Pagou 5, ficou devendo 0
Soma 50, Soma 50


Repare, que tanto a soma das quantias pagas como a dos saldos devedores são iguais a 50.


Ja o Pedro pagou, igualmente os 50 reais em quatro prestações, do seguinte modo:


Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 18, ficou devendo 12
Pagou 3, ficou devendo 9
Pagou 9, ficou devendo 0
Soma 50, Soma 51


Como se explica isso?

A Poética do Espaço


(...)Que fazemos de mais ao afirmar
que um ângulo é frio e uma curva é quente?
Que a curva nos acolhe e que o ângulo
muito agudo nos expulsa?
Que o ângulo é masculino e a curva é feminina?


Uma pitada de valor muda tudo.
A graça de uma curva é um convite para habitar.
Não se pode fugir dela sem esperança de regressar.


A curva amada tem poderes de ninho, 
é um apelo à posse. 
É um conto curvo. 
É uma geometria habitada. 


Nela, estamos no mínimo do refúgio, 
no esquema ultra-simplificado de
um devaneio do repouso. 


Só o sonhador que
se arredonda a comtemplar aneis 
conhece essas alegrias simples do repouso desenhado.(...)



Gaston Bachelard

sábado, 16 de janeiro de 2010

O Problema da escada.

Uma pessoa encontra-se no degrau do meio de uma escada. Sobe 5 degraus, desce 7, volta a subir 4 e depois mais 9 para chegar ao último.  Quantos degraus tem a escada?

Não ganhei nem perdi.

-COMPREI UM CAVALO POR R$6.000,00 E VENDI POR R$9.598,00. NÃO GANHEI NEM PERDI.

-MAS COMO?
  SE VOCÊ COMPROU POR 6.000 E VENDEU POR 9.598, ENTÃO VOCÊ SAIU GANHANDO! COMO É QUE VOCÊ NÃO GANHOU NEM PERDEU?

-NÃO GANHEI NEM PERDI.

-VOCÊ NÃO FALOU QUE COMPROU POR 6.000?

-COMPREI.

-E VENDEU POR 9.598?

-VENDI.

-ENTÃO VOCÊ SAIU GANHANDO!

-NÃO GANHEI NEM PERDI.

-MAS COMO?

-COMPREI O CAVALO POR R$6.000 E NÃO PAGUEI E VENDI POR R$9.598,00 E NÃO ME PAGARAM. 
  NÃO GANHEI NEM PERDI.

Nome da mulher.

Em um carro estavam, quatro romano e um inglês. Qual o nome da mulher do inglês?

terça-feira, 12 de janeiro de 2010

Winplot

É um software matemático de uso livre desenvolvido por Richard Parris, um programa gráfico muito eficiente e versátil na plotagens de gráficos de funções (de uma ou duas variáveis) em duas dimensões (2D) e em três dimensões (3D).

Além de fácil utilização ele  poder ser rodado em computadores menos modernos. Os resultados saem de forma instantânea e rápido. A interface do programa é em português, porém para escrever uma função, as notações matemáticas devem seguir o padrão inglês. Os menus do sistema são simples, sendo que existe uma opção de Ajuda em todas as partes. Aceita funções matemáticas de modo natural.
   
Na janela principal pode-se encontrar as opções Adivinhar, que é um jogo para que você tente descobrir qual é a função de que o gráfico faz parte. Para obter a resposta do programa, basta apertar a tecla F5. Mostra um Mapeador, que transforma a janela em dois planos, para que você possa trabalhar com domínios e contradomínios.  

Gráficos em Segunda e Terceira Dimensão.

WinPlot apresenta uma quantidade grande de ferramentas para que o aluno trabalhe com funções 2D, com a possibilidade de encontrar raízes, realizar combinações entre funções, rotações, comprimentos de arco, calculo de volume e área, animação, etc.    A opção de 3D apresenta ferramentas para integração, animação, dividir superfícies, combinar superfícies, entre outras. De ambas as dimensões, há a possibilidade de criar gráficos de equações explícitas, paramétricas, implícitas, cilíndricas e esféricas, bem como pode gerar tubos e curvas.   Esta ferramenta ainda lhe oferece a possibilidade de criar órbitas planetárias para realizar cálculos de objetos no espaço. Todos os gráficos podem ser personalizados, com alteração de cores de fundo, fontes, tabelas etc.

GeoGebra

Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo. 

Por um lado, o GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Além disso, ele consegue lidar com variáveis de números, vetores e pontos, achar derivadas, integrais de funções e, até mesmo, oferece diversos comandos para a resolução de contas. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.

Instalação e uso

Apesar de possuir uma instalação repleta de passos, o GeoGebra é fácil de usar (até porque ele está em português). Basicamente, para usá-lo, é necessário encontrar uma opção adequada para o tipo de conta a ser feito (ao clicar em um quadrado, mais opções aparecem), a qual pode estar tanto no menu “Exibir” quanto em “Opções”. Além disso, na parte inferior da janela do programa é possível encontrar um campo de inserção de números, assim como o de números / caracteres especiais e comandos.

segunda-feira, 11 de janeiro de 2010

Nicole d'Oresme

d'Oresme
Nicole d'Oresme (1320--1382)

Um dos pensadores mais originais do século 14, o francês Nicole d'Oresme (1323-1382) foi economista, matemático, físico, astrônomo, filósofo, psicólogo e musicólogo. Também estudou teologia em Paris, posteriormente tornando-se diretor financeiro da Universidade de Paris, em seguida cânone e finalmente supervisor religioso de Rouen. Em 1370, foi apontado como ministro ao Rei Charles V e aconselhou-o em assuntos financeiros.
 
Oresme inventou a geometria coordenada antes de Descartes, encontrando a equivalência lógica entre tabular valores e dispô-los em gráficos. Propôs o uso de um gráfico para representar uma magnitude variável que dependesse de outra. É possível que Descartes tenha sido influenciado pelo trabalho de Oresme, dado que ele foi reimpresso diversas vezes ao longo dos 100 anos após sua primeira publicação.

Outro trabalho de Oresme contém ainda o primeiro uso de expoentes fracionários, logicamente sem a notação moderna. Oresme trabalhou ainda com séries infinitas. Além disso, demonstrou que as razões propostas pela física Aristotélica contra o movimento do planeta Terra não eram válidas e invocou o argumento da simplicidade (da navalha de occam) à favor da teoria de que é a Terra que se move, e não os corpos celestiais. 

No geral, o argumento de Oresme a favor do movimento terrestre é mais explícito e bem mais claro do que o que foi dado séculos depois por Copérnico. Entre outras proezas, Oresme foi o descobridor da curvatura da luz através da refração atmosférica; embora, até hoje, o crédito por esse feito tenha sido dado à Robert Hooke.

Principais obras: 

De configurationibus; 
Algorimus proportionum. 


Referência:

Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Só Matemática

Alberto da Saxônia

Alberto da Saxônia
Alberto da Saxônia (1316-390) 

A família de Alberto, os Ricmestorp, constituía-se de prósperos proprietários de terra. Ele estudou na Universidade de Paris e ganhou fama como professor da faculdade de artes dessa mesma universidade. A obra de Alberto, composta durante os anos em que ele lecionou em Paris, consistia principalmente de livros de problemas e questões sobre os tratados de Aristóteles e alguns sobre lógica e outras questões matemáticas.

Ele escreveu sobre a quadratura do círculo e sobre outros problemas geométricos. Também publicou livros de física e de mecânica, sendo que o Tractatus proportionum tornou-se o mais popular e famoso.

Em Paris, conheceu o matemático Oresme, com quem trabalhou. Também dedicou-se aos negócios relacionados à Igreja durante o papado de Urbano V, sendo posteriormente designado bispo, o que fez com que sua carreira como matemático tivesse fim.        

Principal obra: 

Tractatus proportionum


Referência:

Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Wikipédia

Segundo, Pappus de Alexandria


"As abelhas (...) 
devido a uma certa idéia geométrica (...) 
sabem que os prismas de seção hexagonal
são maiores do que os de seção triangular e quadrada, 
e que haverá mais mel armazenado utilizando o mesmo número de material." 


Pappus de Alexandria

Pappus de Alexandria

Pappus de Alexandria (290-350)  

Pappus foi o que chamamos hoje em dia de "comentarista". Embora fosse o principal matemático grego da sua época, a matemática original que ele criou era muito pequena tanto em estatura quanto em quantidade, em especial quando comparada com grandes matemáticos clássicos como Euclides, Arquimedes e Apolônio. 

A fama de Pappus reside em sua extensa obra denominada The collection, na qual ele reuniu uma lista eclética de obras antigas (algumas atualmente perdidas) de alguns autores muito importantes. Nesse compêndio, ele acrescentou um número considerável de suas próprias explanações e ampliações. The collection contém oito livros, ou capítulos, cada um existindo como uma obra única. 

Alguns dos tópicos abordados por Pappus são: cônicas, geometria plana, mecânica e, de especial interesse para os alunos de cálculo, linhas retas tangentes a certas curvas. No livro que trata de mecânica, Pappus foi o primeiro a definir o conceito de centro de gravidade. No final do livro 7, "The treasury of analysis", ele descreveu (sem verificar) duas fórmulas que relacionam determinados centros de gravidade a volumes de sólidos de revolução e suas áreas de superfície. As fórmulas oferecem atalhos para cálculos extensos e complexos.

Principal obra:  

The collection.




Referência:

Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Wikipédia

Claudio Ptolomeu

Ptolomeu
Claudio Ptolomeu (100 -170) 

Acredita-se que Ptolomeu passou sua vida adulta em Alexandria, mas na verdade temos muito poucas informações sobre sua vida pessoal. Durante sua vida ele compôs obras muito bem elaboradas sobre diversos assuntos, incluindo geografia, música e astrologia. Sua fama, no entanto, reside em seu livro Mathematical collection, culminação de todos os conhecimentos clássicos de astronomia e de trigonometria. 

Ptolomeu iniciou com seu famoso modelo geocêntrico do universo. Em seguida desenvolveu as ferramentas da trigonometria, incluindo a primeira versão da soma crucial e das identidades de diferença, que ele precisaria para seus cálculos astronômicos. A maior parte de sua obra consistia de descrições matemáticas das posições do sol, da lua e dos planetas do universo como eram conhecidas na época clássica.

Cerca de novecentos anos depois, os eruditos árabes acharam essa obra tão importante que lhe deram outro nome, The almagest, que significa, "o maior". Essa obra dominou a astronomia da civilização ocidental por mais de 1300 anos, até a obra de Nicolau Copérnico substituir a teoria geocêntrica pela heliocêntrica. The almagest contém muitas tabelas nas quais uma quantidade pode ser medida e depois relacionada a outra. Por exemplo, na primeira tabela, as primeiras quantidades são ângulos (medidos pela metade) e as segundas são cordas correspondentes, cada uma equivalente ao que chamamos de seno do ângulo.

Muitas dessas tabelas são essencialmente o que chamamos hoje em dia de funções, embora Ptolomeu certamente não as reconhecesse como tais. Ele também escreveu um volume intitulado Optics, que continha diversas das maiores contribuições de Ptolomeu para a ciência. Uma forma de desenvolver uma lei física é observar um efeito, medir os valores, listá-los em uma tabela e encontrar a regra pela qual uma coisa pode ser ligada ou determinada a partir de outra. Ptolomeu tentou fazer isso em relação à refração da luz pela água.

Criou uma tabela de ângulos de incidência e ângulos correspondentes de refração, com valores muito próximos àqueles que encontramos no ar e na água hoje em dia. A regra que produziu esses ângulos, no entanto, frustrou-o, como ocorreu pelos próximos 1400 anos. O matemático holandês Willebrord Snel descobriu a regra em 1621.

Encontrar essa regra é bom, mas um progresso científico substancial pode ser feito se a regra também informar uma maneira de pensamento que faça com que compreendamos o fenômeno claramente. Pierre Fermat descobriu tal informação sobre a refração da luz por volta de 1650. Sua idéia era a seguinte: de todos os caminhos que a luz pode tomar para ir de um ponto a outro, ela sempre segue o caminho que leva menos tempo.
   
Principais obras:  

The Almagest;
Optics

Referência:

Site: Guia para a história do cálculo (complemento dos texto da 10ª edição do livro de Cálculo do Thomas)
Site: Wikipédia

Arte & Matematica - Programa 13 - O Belo

Arte & Matematica - Caos

Arte & Matematica - Forma que se transforma

Arte & Matematica - Forma dentro de Forma

Arte & Matematica - Tempo e Infinito

Arte & Matematica - A Matemática da Música

Arte & Matematica - Música nas Esferas

Arte & Matematica - Número de Ouro

Arte & Matematica - Simetrias


Arte & Matematica - A Ordem no Caos

Arte & Matematica - O artista e o matemático

Arte & Matematica - Arte e Números

Arte & Matematica - Do Zero ao Infinito

sexta-feira, 8 de janeiro de 2010

Consegue ver uma mulher deitada nesta gravura?


Autor da imagem: Desconhecido


Referência:

Site: Burrato Net

Da Vinci, o velho e o burro em auto-retrato...


Você acha que trabalha bastante?

- Rapaz, que pressa é essa?
- Vou trabalhar já estou atrasado!
- Trabalhar? Não me diga que ainda existe esta asneira?
- Claro que existe! E você, não trabalha?
- Nem eu e nem você...
- Calma lá! Eu trabalho.
- Então, vamos ver. Quantas horas você trabalha por dia?
- Oito horas.
- E quantas horas têm o dia?
- Vinte e quatro horas, é lógico.
- Muito bem. O ano tem 365 dias de 24 horas. 

   Se você trabalha um terço do dia, então 1/3 de 365 dias é 121. 
   É o que você trabalha.
   Como existe 52 domingos, então: 121 menos 52 são 69. 

   Assim, você só trabalha 69 dias no ano.
- É! É isso mesmo!
- Quantos dias de férias você tem?
- 30 dias.
- 69 menos 30 são 39. Portanto, você trabalha 39 dias por ano!
- ????????
- Contando o Natal, Ano-Novo, Sexta-Feira Santa, Aniversário da Cidade e outros babilaques mais, nós temos 12 dias de festas onde não se trabalha. Agora veja bem, 39 menos 12 são 27.
Você só trabalha 27 dias por ano!
- ????????
- Sábado você trabalha meio-expediente. Meio dia em um ano são 26 dias certo?
- Exato.
- 27 menos 26 é igual a um. Você só trabalha um dia por ano!
- Que diabo! Mas...de qualquer maneira trabalho um dia por ano, ainda bem!
- Aí é que você se engana. Esse dia é o Primeiro de Maio, DIA DO
TRABALHO, e ninguém trabalha, inclusive você!

Falta fundamentação didática no ensino da Matemática.

A pesquisadora argentina Patricia Sadovsky sugere o fim do professor polivalente e diz que os docentes precisam de mais tempo e espaço para refletir sobre sua prática e o raciocínio dos alunos.

O baixo desempenho dos alunos em Matemática é uma realidade em muitos países, não só no Brasil. A má fama da disciplina se deve, segundo a especialista argentina Patricia Sadovsky, à abordagem superficial e mecânica realizada pela escola. Falta formação aos docentes para aprofundar os aspectos mais relevantes, aqueles que possibilitam considerar os conhecimentos anteriores dos alunos, as situações didáticas e os novos saberes a construir. A pesquisadora defende que é preciso aumentar a participação das crianças na produção do conhecimento, pois elas não suportam mais regras e técnicas que não fazem sentido.

O caminho é um só e passa pela prática reflexiva e pela formação continuada. Para chegar a essas conclusões, Patricia se tornou doutora em didática da Matemática pela Universidade de Buenos Aires. Além de pesquisar quais são as perguntas fundamentais que orientam o trabalho de investigação nas aulas, como se dá a evolução dos conhecimentos nos estudantes e as melhores intervenções que os professores podem fazer, ela coordena um programa de capacitação docente da secretaria municipal de Educação de Buenos Aires. A entrevista a seguir foi realizada numa de suas vindas ao Brasil para participar de encontros no Centro de Educação e Documentação para a Ação Comunitária e na rede privada de São Paulo.

A última avaliação nacional realizada no Brasil mostrou que os alunos de 8ª série mal dominam os conhecimentos básicos de Matemática. Por que parece tão difícil aprender essa disciplina?

PATRICIA SADOVSKY- É claro que há muitos fatores envolvidos nesses resultados, mas a Matemática, não só no Brasil, é apresentada sem vínculos com os problemas que fazem sentido na vida das crianças e dos adolescentes. Os aspectos mais interessantes da disciplina, como resolver problemas, discutir idéias, checar informações e ser desafiado, são pouco explorados na escola. O ensino se resume a regras mecânicas que ninguém sabe, nem o professor, para que servem.

Dominar regras e fórmulas não é essencial?

PATRICIA - Sim, mas a Matemática que os professores utilizam para ensinar exatamente esses conceitos básicos carece de fundamentação. Faltam ênfase no ensino da disciplina e aprofundamento para estabelecer relações matemáticas. Um exemplo do nível de discussão que precisamos está em como ensinar o critério de divisibilidade por quatro. O aluno não entende o sentido de olhar as últimas cifras de um número para saber se ele é divisível ou não por quatro. Para que ele compreenda que isso é certo, o professor precisa mostrar que um número pode ser pensado como múltiplo de 100 mais as suas duas últimas cifras. O número 383, por exemplo, pode ser abordado como 300 mais 83. Portanto é uma questão que envolve mais de uma operação matemática e muitos professores não conseguem se dar conta disso.

Esse é um novo enfoque no ensino, em contraposição ao ensino tradicional?

PATRICIA- Não gosto de colocar o tradicional em oposição ao moderno porque isso pode ser interpretado como uma questão de novo contra velho. Não se trata de discutir sobre inovação. Isso diz muito pouco sobre o que realmente importa, que é ver o aluno como alguém capaz de aprender e contribuir na construção do conhecimento. Este é o cerne da questão: encarar o ensino da Matemática com base na participação ativa, direta e objetiva da criança na elaboração do conhecimento que se quer que ela aprenda. Estudar só faz sentido se for para ter uma profunda compreensão das relações matemáticas, para ser capaz de entender uma situação problema e pôr em jogo as ferramentas adquiridas para resolver uma questão. O aluno que não domina um conhecimento fica dependente do que o professor espera que ele responda. Um exemplo que percebi muito cedo em sala de aula é que as crianças não tinham vínculo nenhum com as unidades, dezenas e centenas porque não entendiam os famosos rituais do "vai um" ou do "pegar emprestado". Afinal, como é que as crianças concebem o sistema de numeração? Essa é a pergunta que os professores se devem fazer antes de ensinar.

O que mais o professor precisa saber nos dias atuais?

PATRICIA - O profissional de hoje precisa ter uma postura reflexiva capaz de mostrar que não basta abrir um livro didático em sala de aula para que as crianças aprendam. O trabalho intelectual do professor requer tomadas de decisões particulares e coletivas baseadas em uma sólida bagagem conceitual.

Qual a principal dúvida dos professores em relação à didática da Matemática?

PATRICIA - O principal problema dos professores, argentinos ou brasileiros, é a formação insuficiente. Não discuto se ela é boa ou ruim, mas tenho certeza de que é insuficiente porque os conteúdos são, hoje, mais complexos. Há 40 anos, esperava-se que um professor de Matemática ensinasse cálculos. Hoje as calculadoras fazem essa tarefa e a sociedade espera desse professor outras competências que possibilitem a formação de crianças autônomas, capazes de ler diferentes formas de representação e de elaborar idéias para novos problemas, além daqueles abordados em sala de aula. Isso tudo requer um profissional com pleno domínio do conteúdo. A questão é que o profissional polivalente (que atua nos primeiros anos da Educação Básica) não tem oportunidade de adquirir esse domínio em quatro anos de formação. Essa é a realidade no Brasil, na Argentina e em outros países. É demais pedir que o professor compreenda a raiz conceitual de quatro áreas disciplinares, como a Matemática, a língua, as Ciências Naturais e as Ciências Sociais. É importante ter consciência de que não basta fazer um curso superior. É preciso investir na formação continuada.

Então, qual o futuro dos professores polivalentes?

PATRICIA - Eu coloco em xeque o papel e o desempenho do professor polivalente. É necessário revisar esse perfil profissional porque ele não atende às necessidades atuais. Outro ponto é revisar a formação. Penso que o ideal seja conceber, no longo prazo, a profissão docente como uma profissão que a todo tempo requer estudo e reflexão. Esse conceito deve ser contemplado de maneira imprescindível na prática docente. Hoje vemos um profissional que trabalha de manhã, de tarde e de noite para ganhar um salário decente. Nessa rotina, fica muito difícil fazer capacitação, refletir constantemente e atualizar-se. A escola deve ser encarada como um espaço de trabalho e de reflexão. Trata-se de uma sugestão concreta para as políticas públicas de Educação: precisamos implementar espaços de reflexão nas escolas.

Como seriam esses espaços de reflexão?

PATRICIA - Eles funcionariam para tirar dúvidas entre os colegas, o coordenador apresentar idéias e ajudar a construir soluções e identificar os problemas. É uma maneira de garantir a formação continuada e transformar o professor em um leitor crítico, não um consumidor passivo da produção didática.

Quando o aluno fica para trás nas aulas de Matemática?

PATRICIA - No momento em que falta uma proposta pedagógica desafiadora. Um dos motivos que fazem os professores se desviarem dessa proposta é aderir aos modismos. Hoje se discute como ensinar baseando-se no contexto cotidiano ou como ensinar levando em conta os problemas do dia-a-dia. Essas duas abordagens só serão válidas se houver profundidade no trabalho. Um jogo não gera necessariamente aprendizagem. Para ser eficiente, ele deve ser concebido como ponto de partida e não como finalização da aprendizagem e, principalmente, os conteúdos matemáticos devem estar explícitos.

As escolas sabem usar os jogos para ensinar?

PATRICIA - Há muitos equívocos. Um deles é difundir a idéia de que ao jogar o aluno está aprendendo um conceito sem perceber, de maneira prazerosa. Ora, há muito prazer em enfrentar desafios e aprender. E isso não se faz economizando esforços. Aprender dá trabalho e deve ser encarado assim. O aluno pode jogar fora da escola, mas não necessariamente vai aprender dentro da escola a complexidade de um conceito só brincando. Por isso, o jogo deve ser sempre um ponto de partida para estabelecer relações matemáticas muito bem definidas pelo professor.

É grande o número de projetos que chegam ao Prêmio Victor Civita envolvendo pesquisa e compra em supermercado. Esses professores podem estar cometendo o mesmo equívoco do jogo?

PATRICIA - Sem dúvida. Ir ao supermercado pode ser uma situação inicial interessante para promover situações de compra e venda, mas vejo falhas quando o aluno deixa de aprender como funciona o sistema monetário e qual é o significado das operações numéricas, quando não entende que a primeira casa depois da vírgula representa o décimo, e a segunda, o centésimo. E isso não se aprende apenas passeando pelo supermercado, mas apresentando problemas e confrontando dados. Pode ser um ponto de partida ir ao supermercado (de verdade ou numa simulação dentro da classe) para registrar preços, reproduzir uma compra e calcular troco. Mas tudo isso tem de ser uma fonte para plantar problemas e sistematizar o conhecimento em sala de aula, não no supermercado.

Como se elabora um bom projeto interdisciplinar de Matemática?

PATRICIA - Primeiro eu pergunto: por que tenho que elaborar um projeto interdisciplinar? Ok, é interessante abordar um conhecimento em disciplinas distintas. Mas na maioria das vezes os conhecimentos matemáticos abordados, necessários para responder um problema interdisciplinar, já são dominados pelos alunos. Esses projetos não contemplam a aprendizagem de um novo saber ou conteúdos matemáticos. Não basta ser interdisciplinar para ser interessante, nem fazer parte do cotidiano para ser pertinente. Fundamental é ter um compromisso de aprendizagem com o aluno.

O que a senhora está pesquisando atualmente?

PATRICIA - Neste momento, estou bastante envolvida em estudar a grande ruptura que se dá no ensino ao passar da aritmética para a álgebra. Essa é uma das fontes do fracasso escolar em meu país e imagino que no Brasil também. Em meus estudos, e nos da pesquisadora Carmen Sessa, na Universidade de Buenos Aires, colocamos em primeiro plano o sentido da ferramenta algébrica a serviço da resolução de problemas e não como um mecanismo de resolução em si mesmo, como vem sendo apresentado. Nos cursos de capacitação, tenho discutido muito com os professores de Ensino Médio a construção do sentido algébrico.

Roberta Bencini (novaescola@atleitor.com.br)
Foto: Gustavo Lourenção

Edição 199 / Fevereiro de 2007


Letra C.

CALCULAR - Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão ou potenciação, visando obter um resultado.

CÁLCULO - Procedimento que leva ao resultado de uma operação.

CAPACIDADE - É a quantidade que um recipiente pode conter, esta quantidade pode ser de óleo, água, etc. Normalmente a capacidade é medida em litros.

CASA DECIMAL - Nos números com vírgula, temos casas decimais à direita da vírgula. Ex.: 7, _ _ tem duas casas decimais. A primeira casa à direita da vírgula é a casa dos décimos. A segunda é a dos centésimos.

CENTENA - Grupo de 100 unidades.

CENTÉSIMO - Dividindo-se uma unidade em 100 partes iguais, cada parte é um centésimo dessa unidade. Um centésimo pode ser indicado assim: 1/100 ou  0,01.

CENTILHÃO - É o maior número aceito no sistema de potências sucessivas de dez, registrado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou o número 1 seguido de 600 zeros (embora apenas utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).

CENTÍMETRO - Palavra formada por centi (centésimo) e metro. O centímetro (símbolo: cm) é a centésima parte do metro.

CENTRÓIDE - Centro de massa de uma figura.

CEVIANA - Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. A altura, a mediana ou a bissetriz do triângulo são cevianas particulares. O nome ceviana é homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648-1736).

CILINDRO - Uma região bidimensional no espaço tridimensional formada por uma superfície curva e por duas superfícies planas que são congruentes. Um cilindro circular reto pode ser visto no cotidiano como uma lata de óleo ou de ervilha.

CÍRCULO - Uma figura plana formada pelo conjunto de todos os pontos deste plano situados a uma distância menor ou igual que uma medida conhecida como raio do círculo, a partir de um ponto fixo denominado centro do círculo.

CIRCUNFERÊNCIA - Curva plana e fechada cujos pontos estão eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro. É a linha que envolve o círculo.

CLASSIFICAÇÃO - Forma de separar objetos ou números que possuem certos atributos ou características.

CÓDIGO - Vocabulário ou sistema de sinais convencionais ou secretos utilizado em comunicação.

COEFICIENTE - O fator constante de um monômio. Ex.: 2x³ e ay², 2 e a são os respectivos coeficientes.

COLINEAR - Um número qualquer de pontos são colineares se todos estiverem sobre uma mesma reta.

COMBINAÇÕES - Subconjuntos formados por 2 ou mais elementos escolhidos entre os elementos de um conjunto dado, onde a ordem dos seus elementos não os distinguem um dos outros. Ex.:  representa as combinações de 10 elementos 3 a 3.

COMBINATÓRIA - Ramo da Matemática que analisa diferentes formas de agrupar os elementos de um conjunto e calcular o número desses agrupamentos.

COMPASSO - Instrumento de desenho usado para traçar circunferências.

COMPENSAÇÃO - Um modo de realizar uma estimativa onde se pode ajustar um resultado subestimado (abaixo do valor) ou superestimado (acima do valor), para chegar a um resultado aproximado mais próximo da realidade.

COMPRIMENTO - Medida de uma linha. Pode ser a medida do lado de um polígono, da aresta de uma figura espacial, etc.

COMUTATIVA - Lei que permite mudar a ordem dos termos de uma adição ou multiplicação sem alterar o resultado.  
Ex.:
A + B = B + A
A × B = B × A

CONCÊNTRICO - Figuras concêntricas são aquelas que possuem o mesmo centro.

CONE - Uma figura espacial tendo (em geral) uma base circular delimitada por uma superfície curva obtida pela rotação de uma reta em torno de um eixo fixo, sendo que estas duas retas cruzam-se no vértice do cone.

CONGRUÊNCIA - Característica do que é congruente.

CONGRUENTE - Figuras congruentes são aquelas que têm a mesma forma e a mesma medida.

CONJUGADO - Na adição a + b, chama-se conjugado a adição a - b. Nos número complexos a + bi o seu conjugado será a - bi.

CONJUNTO COMPLEMENTAR - O complementar do conjunto A no universo U será o conjunto que resulta da exclusão de U de todos os elementos de A.

CONSECUTIVO - Números consecutivos são números que se seguem. Ex.: 4, 5 e 6 são números consecutivos.

CONSTANTE - Um valor que não muda. Na fórmula v = 4t + 2. 4 e 2 são constantes, v e t são variáveis. Porém as constantes também podem ser representadas por letras.

CONTAR - Associar objetos de uma forma unívoca aos números naturais.

CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO - É o conjunto de imagens dadas pela função, ou seja, o conjunto dos valores da variável dependente. Representa-se por CD ou Df'.

COORDENADAS NO PLANO - As coordenadas de um ponto no plano são identificadas por um par ordenado P = (x,y) de números, que servem para determinar a posição deste ponto em relação ao sistema considerado de eixos. A primeira coordenada x do par ordenado é a abscissa e a segunda coordenada y é a ordenada.

CORDA - Dois pontos A e B pertencentes a uma curva definem um segmento de reta AB denominado corda.

COROLÁRIO - Consequência imediata de um teorema.

COSSENO (Cos) - Em um triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Ex.: cos 0° = 1, cos 90° = 0.

CRIPTOGRAMA - Um jogo no qual os algarismos são trocados por letras ou outros símbolos de uma operação aritmética.

CUBO - Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada conjunto de três arestas se encontra em um ponto denominado vértice e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As seis faces são paralelas duas a duas.