Raiz quadrada de −1

Toda raiz quadrada, ou qualquer outro tipo de raiz, é assim chamada porque é raiz de alguma equação. Uma raiz é qualquer número que torna verdadeira a equação. 

Por exemplo, a única raiz da equação x-2=0 é o 2, porque 2-2=0 é uma sentença verdadeira.

A equação x²-2=0  possui exatamente duas raízes, ambas reais. A estas damos os nomes  -√2   (menos raiz quadrada de 2) e √2  (simplesmente raiz quadrada de dois). Ambos são números reais  α para os quais α²-2=0  é verdadeira. 

Estes números, no entanto, não são inteiros e nem mesmo racionais. Os gregos da antiguidade já sabiam disso, e perceberam tanto a existência quanto a utilidade dos números irracionais.

O próprio conjunto dos números reais foi concebido para compreender todos os racionais e todos os irracionais, incluindo aqueles que são raízes de alguma equação.

Sendo assim ao perguntarmos qual é a raiz quadrada de  −1, estamos de fato perguntando quais são as raízes da equação  x²+1=0 . Tal número, digamos  α, deve ter a propriedade de tornar verdadeira  α²+1=0.

Mas é imediato que, se existirem, as soluções desta equação não podem ser números reais. Escrita de outro modo, ela equivale a x²-1. O primeiro membro, sendo um quadrado deve ser maior ou igual a zero, enquanto o segundo membro é menor do que zero. Nenhum número real pode ser positivo (ou zero) e estritamente negativo ao mesmo tempo.

Por muito tempo essa equação e outras do tipo foram consideradas sem solução e não encontravam nenhuma aplicação prática. Mas isso não detém os matemáticos. Eles inventam coisas que não tem nenhuma utilidade prática imediata o tempo todo. É muito bom que continuem assim!

Ocorre que, na ânsia de resolver a equação x²+1=0,  se cria para ela uma solução. Que tal chamarmos uma solução simplesmente de  i, de imaginário, pois obviamente estamos falando de um número que não existe a não ser na nossa imaginação.

Então, obviamente, i²+1=0,  mas  (−i)²+1=0 também, logo i  e  −i são as raízes dessa equação. Ou seja,  i  e  −i são as raízes quadradas de −1, porque tornam verdadeira a equação  x²+1=0.

Por comparação com as raízes de  x²–2=0,  parece fazer sentido indicar  i  também por  √−1. 

Depois de inventarmos um novo tipo de número como acabamos de fazer, o próximo passo talvez seja perguntar que propriedades eles possuem com respeito às operações usuais de adição e de multiplicação. Os nossos novos números possuem muitas das propriedades usuais dos números reais, e rapidamente surge uma infinidade de outros números que pertencem ao mesmo território que começamos a desbravar.

Por exemplo, ao perguntarmos qual seriam as raízes de x²+2=0,  percebemos de imediato que  (i√2)²+2=0, sendo então vantajoso combinar os reais com o  i, pois assim podemos resolver mais outra equação para a qual antes não havia solução. As raízes desta são, obviamente,  −i√2  e  i√2.

Não quero me alongar demais nesta discussão, pois deve estar clara a motivação para a criação do conjunto de números que hoje conhecemos como os complexos. Eles ampliam em muito a quantidade de equações que podemos resolver. E apesar do nome assustador, na realidade não há nada de complexo nesses números. De fato, são úteis mesmo na resolução de muitos problemas concretos, embora não tenha sido essa a motivação inicial para criá-los.

Por exemplo, na engenharia e para os profissionais que trabalham com a energia elétrica, os números complexos são extremamente úteis pois simplificam certos cálculos que com muito mais razão mereceriam a denominação de complexos. Os números complexos são imprescindíveis para o projeto e a manutenção de sistemas de produção e de distribuição da eletricidade. Sem eles, portanto, não teríamos o mesmo conforto que temos hoje em dia!