O que é uma espiral?

Espirais em 2D

Na matemática, espiral é uma curva que gira em torno de um ponto central, afastando-se ou aproximando-se deste ponto, dependendo do sentido em que se percorre a curva.

Espirais bidimensionais

Espirais na natureza

Uma espiral bidimensional pode ser descrita usando coordenadas polares dizendo que o raio r é uma função contínua e monotônica do ângulo. O círculo seria considerado como um caso degenerativo (a função não é estritamente monotônica, mas sim constante).  

Em 2D vemos a espiral na natureza, por exemplo, na concha de um caracol. A espiral é usado também na arquitetura, é um ornamento muito antiga. De acordo com Proclus o grego Perseus foi o primeiro a descrever a curva espiral. No universo alguns dos sistemas de estrelas tem uma forma espiral. E a teoria da espiral é um modelo do nosso sistema solar, que foi construído pelo Alpetragius medieval. Esta teoria é uma variante no sistema de Aristóteles.

Algumas das espirais bidimensionais mais importantes são:

   A espiral arquimediana: r = a + bθ
   A espiral de Cornu ou clotóide
   A espiral de Fermat: r = θ^1/2
   A espiral hiperbólica: r = a/θ
   A espiral de Lituus: r = 1/θ^1/2

  A espiral logarítmica: r = ab^θ; aproximações dessa são encontradas na natureza
  A espiral de Fibonacci e espiral de ouro: casos especiais de espirais logarítmicas.

Espirais tridimensionais

 

Como no caso das bidimensionais, r é uma função contínua monotônica de θ. Para espirais 3D simples, a terceira variável, h (altura), também é uma função contínua, monotônica, de θ.

Espirais em 3D

Por exemplo, se você desenhar um círculo com x = cos (t) e y = sen (t) e puxá-lo uniformemente na direção z, você começa uma espiral espacial chamado espiral cilíndrica ou hélice.

Você pode fazer a hélice cônica com a espiral de Arquimedes ou espiral equiangular. A hélice e o vórtice podem ser vistos como tipos de espirais tridimensionais.

 

Loxodrome

Espiral Esférica

Uma espiral esférica  é uma espiral 3D composta, onde h aumenta com θ de um lado de um ponto, e diminui com θ do outro lado. Podemos dizer também que é a curva na esfera traçada por um navio viajando de um pólo ao outro enquanto mantém um ângulo fixo, mas não reto, em relação aos meridianos de longitude, isto é, mantendo a mesma inclinação de deslocamento. A curva tem um número infinito de revoluções orbitais, com a distância entre elas diminuindo com as aproximação da curva a qualquer um dos pólos.

Por exemplo, temos o loxodrome uma curva sobre a esfera, que corta os meridianos em um ângulo constante. Eles aparecem na projeção de Mercator como linhas retas. Geralmente há uma loxodrome em cada sólido feito pela rotação em torno de um eixo.

Referência:

Site: Wikepédia

Site: 2d curves