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sexta-feira, 30 de dezembro de 2011

Criação do xadrez, segundo a lenda contada por Malba Tahan

O xadrez e sua lenda
Existem diversas mitologias associadas à criação do xadrez, sendo uma das mais famosas aquela que a atribui a um jovem brâmane indiano chamado Lahur Sessa. Segundo a lenda, contada em "O Homem que Calculava", do escritor e matemático brasileiro Malba Tahan:


"Em um reino muito distante havia um rei que estava muito triste. Sua vida era monótona. Um dia, afinal, o rei foi informado de que um moço brâmane solicitava uma audiência que vinha pleiteando havia já algum tempo. Como estivesse, no momento, com boa disposição de ânimo, mandou o rei que trouxessem o desconhecido à sua presença. E o jovem começou a falar:

 
– Meu nome é Lahur Sessa e venho da aldeia de Namir, que trinta dias de marcha separam desta bela cidade. Ao recanto em que eu vivia chegou a de que o nosso bondoso rei arrastava os dias em meio de profunda tristeza, amargurado pela ausência de um filho que a guerra viera roubar-lhe. Grande mal será para o país, se o nosso dedicado soberano se enclausurar, como um brâmane cego dentro de sua própria dor. Deliberei, pois, inventar um jogo que lhe desse alegria novamente. E é isto que me traz aqui.
 
Tabuleiro de Xadrez
Como todos os soberanos, este também era muito curioso, e não aguentou para saber o que o jovem sábio lhe trouxera. O que Sessa trazia ao rei consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em sessenta e quatro quadradinhos, ou casas, iguais. Sobre esse tabuleiro colocavam-se, não arbitrariamente, duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhes permitiam movimentar-se por vários modos. 
 
Sessa explicou pacientemente ao rei, aos monarcas vizires e cortesãos que rodeavam, em que consistia o jogo, ensinando-lhes as regras essenciais. (...) Depois, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe:
 
– Quero recompensar-te, meu amigo, por este maravilhoso presente, que de tanto me serviu para o alívio de velhas angústias. Diz-me o que queres, qualquer das maiores riquezas, que te será dado.
 
– Rei poderoso, não desejo nada. Apenas a gratidão de ter-te feito algum bem que basta.
 
– Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais. Por favor, diga-me o que pode ser-te dado. Ficarei magoado se não aceitar.
 
– Então, o invés de ouro, prata, palácios, desejo em grãos de trigo. Dar-me-ás um grão de trigo pela primeira casa, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, dezesseis pela quinta, e assim sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro.
 
Todo mundo ficou espantado com o pedido. Tão pouco!
 
– Insensato, chamou-lhe o rei, donde já se viu tanto desamor pelos bens materiais?
 
Chamou então, o rei, os algebristas mais hábeis da corte, e ordenou-lhes que calculassem o valor. Após muito tempo, voltaram. Perguntou-lhes o rei, interrompendo a partida que então jogava:
 
- Com quantos grãos de trigo poderei, afinal, desobrigar-me da promessa que fiz ao jovem Sessa?
 
- Rei magnânimo! - declarou o mais sábio dos matemáticos. - Calculamos o número de grãos de trigo que constituirá o pagamento pedido por Sessa, e obtivemos um número cuja grandeza é inconcebível para a imaginação humana.
 
Avaliamos, em seguida, com o maior rigor, a quantas ceiras corresponderia esse número total de grãos, e chegamos à seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a Lahur Sessa equivale  a uma montanha que, tendo por base a cidade de Taligana, seria cem vezes mais alta do que o Himalaia! A índia inteira, semeados todos os seus campos, taladas todas as suas cidades, não produziria em 2 000 séculos a quantidade de trigo que, pela vossa promessa, cabe, em pleno direito, ao jovem Sessa!
 
O soberano hindu via-se, pela primeira vez, diante da impossibilidade de cumprir a palavra dada.

Lathur Sessa como bom  súdito, não quis deixar aflito o seu soberano, assim, abriu mão de seu pedido, mas mostrou ao rei uma nova maneira de pensar. Ganhou com isso um manto de honra e ainda 100 sequins de ouro.
 
 
Explicação:
 
Assim chegou-se a este resultado:
 
1, 2, 4, 16, 32, 64, ... 
 
A soma dos 64 primeiros termos dessa progressão é obtida por meio de uma fórmula muito simples, estudada em matemática elementar.
 
Aplicada a fórmula, obtemos para o valor da soma:
 
  S = 264 - 1 
 
Para obter o resultado final devemos elevar o número 2 a sexagésima quarta potência, isto é, multiplicar 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2..... tendo esses produto sessenta e quatro fatores iguais a dois.

Depois do trabalhoso cálculo chegamos ao seguinte resultado: 
 
S = 18 446 744 073 709 551 616 - 1 
 
 
Resta agora, efetuar essa subtração. Da tal potência de dois tirar 1. E obtemos o resultado final: 
 
S = 18 446 744 073 709 551 615 
 
Esse número gigantesco, de vinte algarismos, exprime o total de grãos de trigo que impensadamente o lendário Rei prometeu, em má hora, ao não menos lendário Sessa, inventor do jogo de xadrez.




Referência:

TAHAN, Malba: O Homem que Calculava. 64 ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003. 
Site: Wikepédia
Montagem: Matheusmáthica 

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