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domingo, 18 de dezembro de 2011

Matemática e um pouco de suas histórias


Os mais antigos registos matemáticos conhecidos remontam às civilizações da Antiguidade oriental. A coleção de tabuinhas da Babilónia, datadas de cerca de 2000 a. C., e os papiros egípcios coevos constituem um importante legado civilizacional revelador dos primórdios da matemática. Estes registos consistem em colecões de regras práticas, procedimentos casuísticos e rotinas, problemas de juros e heranças, cálculo de áreas e volumes...


No período entre o império persa e as expedições de Alexandre, os Gregos, em contato com as civilizações potâmicas do Egipto e do Crescente Fértil, apreenderam os seus saberes, submetendo-os às suas tão peculiares especulações. Na moderna acepção de ciência, a matemática surgiu na Grécia nos séculos V e IV a.C., tendo como precursores Tales e Pitágoras, fundador da escola pitagórica.


A descoberta das diversas relações complexas dos números, como, por exemplo, os sons, levou a escola pitagórica a concebê-los como a essência de todas as coisas. Não só os números eram coisas — a que atribuíam virtudes misteriosas —, como todas as coisas eram números. A sua divisa era "Tudo é número!".


Na concepção pitagórica, o ponto não era desprovido de dimensão, constituindo a mónada, ou elemento mínimo do espaço. A linha e a superfície eram constituídas por mónadas e a medida de qualquer comprimento, tomando outro comprimento como unidade, seria expressa pela razão entre o número das mónadas de um e de outro.


A descoberta do teorema de Pitágoras veio abalar esta teoria, pois continha em si o gérmen da sua negação. O teorema de Pitágoras logo mostrou a impossibilidade de se exprimir a diagonal de um quadrado de lados de comprimento 1, tomando o lado para unidade, segundo a razão atrás mencionada.


Havia segmentos incomensuráveis! A escola pitagórica, rudemente abalada na sua divisa, "Tudo é número!", quis silenciar esta descoberta demolidora. Mas o discípulo Hípaso, por amor à verdade, revelou o segredo. Reza a lenda que morreu num naufrágio, castigado pelos deuses.


Os filósofos gregos tomaram consciência das grandes dificuldades inerentes a conceitos como os de continuidade e infinito. O carácter dedutivo-postulacional da matemática terá tido origens no tempo de Eudoxo (408-355 a. C.), discípulo da Academia de Platão, alcançando a devida consolidação nos Elementos de Euclides, compostos em Alexandria cerca de 300 a. C.


Os Elementos são o primeiro modelo de construção axiomática e um monumento de toda a ciência grega. Partindo de noções abstractas de origem intuitiva, de definições, axiomas e postulados, apresentam um entretecido de proposições rigorosamente demonstradas.


A descoberta de dificuldades no tratamento das grandezas incomensuráveis levou os Gregos a colocarem a tónica na geometria, secundarizando os aspectos numéricos e algébricos da matemática. Esta tradição manter-se-ia durante quase dois milénios.


A ciência, em particular a matemática, teve nos séculos XVII e XVIII um período apoteótico, após um longo interregno. A revolução científica que então ocorreu e à qual se associam os vultos de Galileu (1564- -1642), Kepler (1571-1630), Descartes (1596-1650), Newton (1642- -1727), é um dos mais admiráveis eventos da humanidade. 

A criação da geometria analítica por Descartes e do cálculo diferencial e integral por Newton e Leibnitz constitui um marco importante. O ideal grego de axiomatização e dedução sistemática de algum modo desvaneceu-se. A revolução industrial e a mundialização dos mercados, com as subjacentes necessidades técnico-científicas (de navegação, cartografia, construções navais e militares...), lançaram à matemática novos e prementes desafios. 


Os problemas de mecânica, astronomia, cartografia e as crescentes aplicações da matemática às ciências naturais, fomentadas pela recente descoberta do cálculo diferencial, foram o leitmotiv do desenvolvimento das matemáticas no século das luzes. Os raciocínios logicamente precisos, partindo de definições claras e não contraditórias e de axiomas evidentes, não eram o objetivo primacial dos novos mentores da moderna ciência matemática.


A crença no poder da razão e no valor da intuição, entremeada de algum misticismo, revelava-se fecunda e promissora, abrindo portas a um mundo de insuspeitada riqueza.


No século XIX, a necessidade de consolidação do edifício recentemente erigido conduziu de novo à análise dos fundamentos da nova matemática, em particular do cálculo diferencial e integral e do conceito subjacente de limite. Assim, este século foi caracterizado pelo regresso ao ideal clássico da precisão e do rigor demonstrativo, oscilando o pêndulo para o lado da pureza lógica e da abstracção.


As tentativas de demonstração da independência (relativamente aos restantes) do postulado das paralelas de Euclides (no plano, por um ponto que não está sobre uma recta passa uma e uma só paralela) culminaram, ao cabo de dois milénios, na descoberta das geometrias não euclidianas. 

Bolyai e Lobacthevski desenvolveram uma geometria logicamente coerente a partir da negação daquele postulado, afirmando que, no plano, por um ponto que não está sobre uma reta passa uma infinidade de paralelas. Riemann logo formula uma terceira hipótese — não passar paralela alguma —, construindo uma nova geometria, que Einstein viria a usar para fundar a teoria da relatividade geral. Os fundamentos de toda a matemática tinham de ser revistos. O problema da consistência da geometria euclidiana, até então inquestionável, põe-se com especial acuidade.


As opiniões dividem-se e surgem várias escolas: formalista, intuicionista, logicista. A ideia de que a forma axiomática da geometria de Euclides era o modelo perfeito de estruturação do conhecimento científico levou à axiomatização dos vários saberes matemáticos. Cantor cria a teoria dos conjuntos, onde surgem inesperados paradoxos. Peano formaliza uma axiomática para os inteiros. Hilbert propõe uma axiomática para a geometria, onde a natureza dos entes de que se parte não importa. E no virar do século enuncia 23 problemas que ditam rumos para a matemática do século XX.


As tentativas de axiomatização das várias disciplinas matemáticas não levaram onde se esperava. Muito pelo contrário. Para provar a consistência da sua axiomática para a geometria, Hilbert apoia-se na consistência da axiomática para os inteiros. Mas será esta axiomática consistente? Qual a resposta para esta questão? 


A famosa descoberta de Kurt Gödel, segundo teorema da incompletude, segundo o qual todo o sistema axiomático suficientemente amplo para conter a aritmética sofre da limitação de jamais poder provar a sua própria consistência, surpreende o mundo matemático. Como dizia Heraclito: "Por muito longe que vás, não encontrarás os limites da alma: tão profundo é o seu logos."


Ao longo dos tempos, os matemáticos consideraram os seus objetos, pontos, números, etc., entes em si mesmos. Tendo estes entes desafiado todas as tentativas de definição adequada, foi despertando lentamente nos matemáticos do século XIX a ideia de que a questão do sentido destes objetos não tem sentido em matemática. As afirmações relevantes a eles relativas não se referem à sua realidade substancial, antes às suas relações mútuas. 

O que são de fato pontos, linhas, números, não pode ser discutido dentro das ciências matemáticas. O que importa é a estrutura e relação entre estes conceitos elementares. Um dos mais importantes desenvolvimentos do sistema postulacional moderno foi o abandono do intento de compreensão das coisas em si mesmas. De modo semelhante, em física, os sucessos mais notáveis ficaram a dever-se à adesão ao princípio da rejeição da metafísica do seu corpo de ciência e ao abandono do intento de atingir a essência e verdade última do mundo.


A crise dos fundamentos, que abalou as ciências matemáticas no dealbar deste século, levou Engels a afirmar que "o estado virginal, onde tudo o que era matemático tinha um valor absoluto e era demonstrado de uma maneira irrefragável, foi para sempre perdido; então abriu-se o reino das controvérsias [...]".


O século XX é o século de ouro da ciência e da matemática, com uma assombrosa pulverização e especialização de saberes e o nascimento de muitos novos ramos.  

Apesar da incontestável relevância da matemática, o seu estatuto proeminente na hierarquia das ciências tem sido questionado ao longo da história. Refira-se, a título de exemplo, que, enquanto Descartes e Leibniz defendiam que a matemática esclarece a verdade do mundo e unifica o conjunto das ciências, o filósofo enciclopedista Diderot revelava uma visão antagónica, afirmando que ela mais não faz do que "interpor um véu entre a natureza e o povo".


Seria ligeiro tomar a matemática como mera linguagem, linguagem subsidiária das outras ciências. O carácter generativo da matemática é essencial. A possibilidade de reencontrar a tabela periódica de Mendeleiev a partir de uma equação (a equação de Schrödinger) e do princípio de exclusão de Pauli é, no mínimo, surpreendente. É fascinante que os cálculos de Kepler tenham conduzido à confirmação dos morosos resultados experimentais do astrónomo Tischo Braye e à descoberta das órbitas dos planetas, as belas elipses do grego Apolónio de Perga. 




É admirável que simples cálculos de gabinete levem à descoberta de corpos celestes. Em 1846, Le Verrier comunica à Academia das Ciências de Paris a posição no espaço de um planeta desconhecido que causava perturbações nas órbitas dos outros. E logo o planeta Netuno é descoberto pelo Observatório de Berlim.


Referência:

Autor do texto: Desconhecido
Autores da imagem: Desconhecido
Montagens e adaptações: Matheusmáthica 



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