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terça-feira, 27 de julho de 2010

Conchas marinhas: a simplicidade e beleza da sua descrição matemática

O crescimento gnomónico
Todos nós já reparámos que a concha de qualquer molusco pequeno é idêntica à concha de um molusco grande da mesma espécie, com excepção do tamanho. Uma é um modelo exato, à escala, da outra. As conchas, com a sua forma auto-semelhante, podem ser representadas por superfícies tridimensionais, geradas por uma fórmula relativamente simples, com alguns parâmetros livres. Maravilhosamente, apesar da simplicidade dessas equações, é possível gerar uma grande variedade de tipos diferentes de conchas. Quais? Todos eles! (com muito poucas excepções: algumas espécies vivas e fósseis de Vermicularia e amonitas fósseis do género Didymoceras.) Isto mostra como muitas das formas que surgem na natureza são simples consequência da aplicação de geometria tridimensional a regras de crescimento básicas.
O molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha (a extremidade aberta ou "de crescimento"); e fá-lo de maneira a que a nova concha seja sempre um modelo exato, à escala, da concha mais pequena.
       
Estas condicionantes juntas têm uma consequência matemática: quase todas as conchas seguem um modelo de crescimento baseado numa espiral equiangular:

A superfície da concha é uma superfície tridimensional que pode ser vista como o resultado do deslocamento de uma curva C (a curva geratriz, que habitualmente é uma elipse) ao longo de uma espiral helicoidal H (a curva estrutural); o tamanho da curva C vai aumentando à medida que se desloca sobre H:
 
A forma de C descreve o perfil das secções da concha e da abertura da concha enquanto H determina a forma global da concha. Nem sempre C é uma elipse. É o caso da maravilha japonesa que é gerada por uma curva triangular.
Porquê H é uma espiral logaritmica helicoidal? Basicamente porque o molusco não alarga a sua concha de modo uniforme: adiciona somente material numa das extremidades da concha. Uma versão bidimensional deste fenómeno pode ser observado no crescimento dos cornos dos animais. Essencialmente é uma versão tridimensional deste fenómeno que conduz às estruturas em espiral das conchas dos moluscos. 

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