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sábado, 31 de julho de 2010

BOLA DE FUTEBOL TEM A VER COM MATEMÁTICA?

ESTUDANDO AS BOLAS DE FUTEBOL

Você já reparou no formato de uma bola de futebo?
E já observou as figuras que ela contém?
A bola de futebol pode ser vista como modelo de um Sólido Geométrico.
É aí que entra a Matemática!
Sólidos geométricos são estudados em Geometria e também estão presentes em várias outras áreas... 

ONDE TUDO COMEÇOU:

Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.

O icosaedro truncado é um dos treze poliedros conhecidos como sólidos de Arquimedes. O icosaedro truncado pode ser obtido a partir do icosaedro.  



Para se obter o icosaedro truncado tomamos um icosaedro sólido e "cortamos" suas "pontas". Assim a cada vértice do icosaedro corresponde uma pequena pirâmide regular de base pentagonal que é retirada do icosaedro. Veja a lado o icosaedro truncado inserido no esqueleto do icosaedro:  


No lugar de cada pirâmide retirada fica sua base pentagonal. Como o icosaedro tem 12 vértices, o poliedro resultante tem 12 faces pentagonais. Se as arestas laterais de cada pirâmide retirada tem comprimento igual a 1/3 da aresta do icosaedro, resulta que cada face triangular do icosaedro original se transforma em uma face hexagonal regular do icosaedro truncado. Como o icosaedro original tem 20 faces triangulares, o icosaedro truncado fica com 20 faces hexagonais. Observe que nessa estrutura os vértices têm incidência de apenas 3 arestas. Isto influi na confecção da bola de futebol, facilitando a costura dos gomos.
Podemos utilizar um teorema da Geometria Espacial para determinar o número de arestas (lados costurados) e vértices (onde costuras distintas devem ser juntadas) do icosaedro truncado. O Teorema de Euler relaciona o número V de vértices, o número A de arestas e o número F de faces de um poliedro convexo qualquer (como é o caso de nosso icosaedro truncado) através da fórmula

V - A + F = 2

Esta fórmula na verdade nos dá uma informação sobre a estrutura topológica da superfície, sendo que o número 2 que aí aparece é a característica de Euler do poliedro.


"ELEMENTOS" DA BOLA DE FUTEBOL

Em nossa bola de futebol existem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais. Então F = 12 + 20. Segue do Teorema de Euler que V- A + 32 = 2, ou seja, V-A+30=0.

Observe que cada aresta é aresta de exatamente duas faces. Então, contando-se as arestas de todas as faces e somando, tem-se:

2A = 5F5 + 6F6 = 5x12+ 6x20 = 180, onde Fn é o número de faces de n arestas. Temos A = 90. Como V-A+30=0, segue que V = 60.


Portanto as bolas de futebol são poliedros Arquimedianos (inflados), que são formadas por 12 pentágonos (polígonos pretos na figura), 20 hexágonos (polígonos brancos na figura), 90 arestas e 60 verteices.

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