terça-feira, 28 de junho de 2011

O problema dos três marinheiros


Um navio que voltava de Salvador, foi atingida por uma violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, pela sua bravura, deu-lhes certo número de moedas. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros.

No meio da noite um marinheiro resolveu tirar sua parte. Dividiu as moedas em 3 partes e sobrou uma moeda, que jogou ao mar, retirando a sua parte. Mais tarde outro marinheiro fez o mesmo, jogando também a moeda que sobra ao mar. Mais adiante o terceiro marinheiro repete a operação, retirando a sua parte e jogando a moeda sobrante ao mar. Pela manhã o almoxarife divide as moedas em três partes, distribui entre os 3, e fica como paga pelo trabalho, com a moeda que sobra. 


Quantas eram as moedas inicialmente e quantas moedas cada marujo levou?




(adaptada)

Referência:

TAHAN, Malba: O Homem que Calculava. 64 ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2003.

3 comentários:

  1. Sejam:

    x: quantia inicial de moedas na caixa
    a: quantia inicialmente levada pelo 1º marujo
    b: quantia inicialmente levada pelo 2º marujo
    c: quantia inicialmente levada pelo 3º marujo
    y: quantia dada pelo almoxarife a cada um dos 3, no final

    Assim, tem-se que:

    {x = 3a + 1
    {2a = 3b + 1
    {2b = 3c + 1
    {2c = 3y + 1

    Tirando "c" em função de "y" na última equação e fazendo as substituições até chegar na 1ª equação, temos o seguinte:

    2c = 3y + 1
    c = (3y + 1)/2

    2b = 3c + 1
    2b = 3.[(3y + 1)/2] + 1

    Resolvendo, temos:

    b = (9y + 5)/4

    2a = 3b + 1
    2a = 3.[(9y + 5)/4] + 1

    Resolvendo, encontramos:

    a = (27y + 19)/8

    x = 3a + 1
    x = 3.[(27y + 19)/8] + 1

    Resolvendo, chegamos à seguinte expressão:

    x = (81y + 65)/8

    Donde:

    x = 81y/8 + 65/8
    x = (80y + y)/8 + (64 + 1)/8
    x = 80y/8 + y/8 + 64/8 + 1/8
    x = 10y + y/8 + 8 + 1/8
    x = 10y + 8 + (y + 1)/8

    Como "y" é um valor inteiro (pois representa uma quantidade de moedas - e não temos "meia" moeda, nem "1/3" de moeda), temos que "x" também é um valor inteiro.
    Mas, para que "x" seja inteiro, o quociente da divisão "(y + 1)/8" deve ser inteiro e, portanto, "y + 1" tem que ser "múltiplo de 8".
    Assim, "y + 1" deve ser escrito na forma:

    y + 1 = 8k , com k ∈ Z ("k" é inteiro)

    Logo, temos:

    y = 8k - 1

    Fazendo a substituição, vem:

    x = 10y + 8 + (y + 1)/8
    x = 10.(8k - 1) + 8 + 8k/8
    x = 80k - 10 + 8 + k
    x = 81k - 2 , com k ∈ Z

    Como "x" é um número entre 200 e 300, ou seja:

    200 < x < 300

    devemos ter k = 3, pois para valores menores que k = 3, obteremos resultados inferiores a 200; e para valores maiores que k = 3, obteremos resultados maiores que 300.

    Assim, temos:

    x = 81.3 - 2
    x = 243 - 2
    x = 241 moedas

    Resposta 1: Inicialmente, as moedas eram em número de 241.

    241 = 3a + 1
    a = 80

    160 = 3b + 1
    b = 53

    106 = 3c + 1
    c = 35

    70 = 3y + 1
    y = 23

    1º marujo ---> a + y = 103 moedas
    2º marujo ---> b + y = 76 moedas
    3º marujo ---> c + y = 58 moedas
    almoxarife ---> Recebeu 1 moeda
    atiradas ao mar ---> 3 moedas

    Total = 103 + 76 + 58 + 1 + 3 = 241 moedas

    Resposta 2: O 1º marinheiro levou 103 moedas; o 2º levou 76 moedas; e o 3º levou somente 58 moedas.

    Abraço! ;)

    ResponderExcluir
  2. Muito bom Júnior! Vi uma solução apresentada pelo Professor Cristiano que utiliza alguns artifícios e consegue uma solução menos trabalhosa.
    Veja em:
    https://www.youtube.com/watch?v=VZLZMspFgxU
    Hilton



















    conseguiu uma solção menos trabalhosa.

    ResponderExcluir

Questão 178 da prova azul do segundo dia do Enem 2020

(Enem 2020) Suponha que uma equipe de corrida de automóveis disponha de cinco tipos de pneu (I, II, III, IV, V), em que o fator de eficiênc...