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segunda-feira, 6 de junho de 2011

Puzzles de metal

Puzzle de metal
Os puzzles de metal são muito difundidos no exterior mas no Brasil ainda não são muito conhecidos. Estes jogos artesanais consistem numa estrutura composta por duas ou mais peças de meta. Deste conjunto de peças entrelaçadas, o jogador deve separar uma delas - a peça problema - do resto do conjunto - a estrutura suporte - sem fazer deformações ou cortes.

A primeira impressão que temos quando confrontados com um puzzle de metal parece indicar que a peça problema não poderá sair da estrutura suporte por se encontrar encerrada, mas a solução destes jogos não encerra qualquer segredo ou arte mágica: trata-se apenas de encontrar o caminho de saída que deve ser percorrido pela peça problema ao longo da estrutura suporte. No entanto, a busca desse caminho põem o jogador frente a desconcertantes problemas relacionados com o espaço tridimensional nos quais nunca havia reparado.


A melhor forma de encarar estes problemas é de uma forma lúdica: experimentar até encontrar a solução. Durante as primeiras tentativas o jogador pode ser confrontado com a solução de uma forma totalmente casual e inadvertida, sem compreender como conseguiu soltar a peça problema e sem saber como voltar à posição inicial recolocando a peça problema. Estas situações geram uma grande curiosidade que convida à prática do jogo e a tentar compreender a sua lógica; chegamos ao ponto em que, como em muitas situações análogas, o jogo encontra a Matemática.

O universo dos puzzles de metal oferece uma rica variedade de jogos com estruturas e formas diferentes. A estrutura suporte dos puzzles é comum a uma grande variedade de puzzles e algumas delas estão muito difundida.

Solução tipo
Detalhe do ponto crítico da estrutura suporte

No puzzle da figura ao lado é apresentada uma situação como a seguinte: Na estrutura suporte, que à primeira vista parece formar um cerco sem saída, podemos encontrar certos locais críticos por onde a peça problema pode escapar. Esses locais encontram-se em setores da estrutura suporte a que chamamos de "anel base" e "anel travão".

  
Solução-chave do puzzle

A adequada disposição destes setores configura um espaço pelo qual a peça problema pode libertar-se da estrutura suporte, mediante uma sequência de movimentos que, neste caso, é a seguinte: Deslizar a peça problema ao longo do segmento base, introduzir parcialmente a peça problema no anel travão, rodear o anel base e voltar a sair do anel travão.




À disposição das peças da estrutura suporte e ao movimento da peça problema para se libertar chamamos solução tipo e constitui, com as devidas particularidades, uma característica comum a alguns puzzles de metal.
  
Na solução tipo deste puzzles radica precisamente a relação entre eles e os conhecimentos matemáticos, dado que os puzzles de metal podem ser definidos como  "estruturas topológico-métricas", a possibilidade de resolução deste tipo de puzzles requer que se cumpram determinadas condições ao nível da sua estrutura, que remetem para conhecimentos no âmbito da topologia e da geometria.

Os puzzles de metal como estruturas topológico/métricas

A natureza topológica dos puzzles, isto é, a forma como as peças se interlaçam, é de capital importância para a sua caracterização. Além dos aspectos topológicos temos que ter em conta aspectos relacionados com a forma e a medida das peças, uma vez que o material de que são feitos é rígido e as regras para a resolução destes jogos não permitem deformações como as que são permitidas nas transformações topológicas.

Aspectos topológicos

A topologia é o ramo da Matemática que estuda as propriedades do espaço que permanecem inalteradas quando neste se produzem determinadas alterações chamadas transformações topológicas. Do conjunto de transformações topológicas possíveis, os alongamentos (estiramentos), as contracções e as torções designam-se por transformações contínuas, uma vez que não se produzem cortes nem auto-intersecções.

Decomposição de um puzzle topologicamente
Os puzzles de metal não admitem estas transformações. Mas, para analisar a sua estrutura, vamos supor que os puzzles de metal sejam flexiveis. Assim, imaginemos que as suas peças são elásticas isto permitiria separar as suas peças mediante transformações topológicas contínuas e comprovar que se trata de uma estrutura composta por peças individuais e independentes que não se encadeiam, observe a figura ao lado.

Poderíamos dizer, em certo sentido, que a peça problema, na posição inicial do jogo, já se encontra separada da estrutura suporte, uma vez que os estado inicial do puzzle da figura 5 é topologicamente equivalente ao estado final, ao qual se chegou sem necessidade de fazer qualquer corte de segmentos. Esta é uma condição topológica necessária para que um puzzle de metal possa ser resolvido. 

Geometria dos puzzles de metal

A geometria é o ramo da Matemática que se encarrega do estudo das formas e das medidas. Dessa forma, há aspectos geométricos determinantes na elaboração e resolução destes puzzles, por exemplo,  as peças dos puzzles têm formas e medidas que devem verificar uma certa relação entre elas, de modo a cumprir uma dupla função: determinar o grau de dificuldade do puzzle e fazer com que a sua resolução seja possível. 

  As restrições geométricas que impedem uma solução trivial são:
Restrições geométricas

a) O diâmetro do anel base deve ser maior ou igual ao diâmetro do anel travão. Isto impede que a estrutura suporte se possa desmontar.

b) O diâmetro maior da peça problema deve ser maior ou igual ao diâmetro do anel travão. Isto impede a saída da peça problema por simples deslizamento da mesma.



Condições geometricas para solução
Condições geometricas

Existem três relações geométricas que permitem que o puzzle tenha solução. Estas encontram-se diretamente relacionadas com os movimentos necessários para libertar a peça problema e estabelecem-se entre um determinado setor da peça problema, que chamamos de setor chave, e o ponto crítico da estrutura suporte.
  
a) A forma e as dimensões do sector chave da peça problema devem permitir a passagem pelo anel travão.

b) O comprimento do setor chave da peça problema deve ser maior que a distância que existe entre o anel travão e os extremos salientes do anel base.

c) A forma e as dimensões do anel base devem permitir que esse anel possa passar pelo interior do sector chave da peça problema.     

Estas três condições geométricas devem verificar-se simultaneamente, se uma delas não se cumprir o puzzle não tem solução, é geometricamente impossível.

Outros modelos dos puzzles de metal

Apresentadas as condições topológicas e geométricas para a construção e resolução dos puzzles de metal, é possível combiná-las de forma criativa para obter novos modelos de puzzles ou explorar possíveis soluções de puzzles complexos a partir de outros mais simples.
  
Assegurando que se mantêm as relações geométricas entre o setor chave da peça problema e o ponto crítico da estrutura suporte, um puzzle pode tomar diferentes formas, mediante transformações contínuas, sem que se altere a solução chave.

Referência:

Site: Matemática (sapo)

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