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terça-feira, 16 de agosto de 2011

A bolha de sabão em números

Como a arte inspirou a matemática (e vice-versa) no estudo de figuras geométricas

No século 19, o alemão Karl Weierstrass (1815-1897) conseguiu seu título de doutor honoris causa por desenvolver uma série de ferramentas matemáticas e dar maior rigor às provas de teoremas. Ele já tinha passado dos 40 anos, idade considerada tardia para descobertas matemáticas, e lecionava havia 14 anos no ensino secundário quando publicou seus trabalhos e foi reconhecido como um grande talento matemático. Logo em seguida, recebeu vários convites e escolheu lecionar na Universidade de Berlim. Sua fama de excelente professor atraía estudantes de todas as partes do mundo.

Os trabalhos de Weierstrass foram aplicados muito tempo depois pelo matemático brasileiro Celso Costa, da Universidade Federal Fluminense, que tentava descobrir em seu doutorado uma nova figura geométrica. Para chegar a ela, usou os estudos, particularmente funções, desenvolvidas pelo matemático alemão. O que Costa buscava era algo que vinha movimentando pesquisadores de todo o mundo por 200 anos: descrever matematicamente a forma de novas superfícies mínimas.

A idéia surgiu no começo dos anos 80, quando o brasileiro estava no cinema. "Eu assistia a um filme sobre escola de samba e um sambista desfilava com um bizarro chapéu de três abas. Naquele momento tive a inspiração crucial e final do modo como a figura geométrica da superfície que eu buscava se apresentava no espaço." No século 18, quando tiveram início as pesquisas sobre esse tema, foram descritas três superfícies mínimas: o plano, o catenóide e o helicóide (veja ilustração acima). Depois disso, ninguém descobriu mais nenhuma.


O material utilizado nos primeiros trabalhos era a película de sabão, que acabou sendo útil para a construção da teoria matemática sobre essas superfícies.

E aquela mistura de água com sabão e a argola que se usa para soltar bolhas no ar ainda pode ser usada para explicar o que são superfícies mínimas. A película que se forma na argola antes que ela seja movimentada no ar é a primeira das superfícies mínimas: o plano. A segunda (catenóide) é obtida quando assopramos a argola e a película forma um bojo, antes de chegar a se fechar em bola. Devemos imaginar que a borda inicial formada pela argola seja mantida, ou seja, a superfície é limitada pelas duas bordas e vazada. A terceira (helicóide) é obtida se deformarmos a argola em forma de hélice. As formas que a película vai adquirir no espaço são as superfícies mínimas, ou as superfícies de menor área que cobre um determinado bordo (nesse caso, a argola).

A nova superfície descoberta em 1982 por Costa, (figura ao lado) que levou seu nome, teve grande repercussão no mundo da matemática por resolver um problema antigo. Muitos matemáticos tentavam provar a existência (ou não) de superfícies como a do brasileiro. Além disso, a partir dela, foi possível desenvolver técnicas que permitem hoje a solução de muitos outros problemas na área de superfícies mínimas. O trabalho acabou dando origem a uma série de pesquisas que resultaram na descoberta de novas superfícies, teoremas e novos problemas matemáticos.

Para cada superfície mínima existem equações que geram o objeto em três dimensões. Para as três primeiras figuras descobertas no século 18, as equações eram relativamente simples e facilmente relacionáveis com o objeto em 3D. Mas as equações da superfície Costa já apresentam muitas complicações para a visualização da figura em três dimensões. Então, a partir da descoberta do brasileiro, Hoffman e Meeks, dois americanos da Universidade de Massachusetts, fizeram a imagem computacional exata da superfície. Posteriormente, a descoberta do brasileiro acabou influenciando também o desenvolvimento da computação gráfica.

A superfície Costa tem a forma de um toro - como as bóias do tipo pneu que os banhistas usam para flutuar nas piscinas - com três buracos. Depois de visualizada por computador, foi a vez dessa curiosa superfície geométrica inspirar vários artistas pelo mundo, que acabaram ganhando prêmios com esculturas da superfície Costa, seja em material permanente - metal ou concreto - ou em blocos de gelo nos festivais de inverno dos países frios.

As superfícies mínimas descobertas até o século 18


Até a descoberta de Costa, além do plano, as outras duas superfícies descobertas e provadas matematicamente como sendo mínimas eram o catenóide e o helicóide. Elas são superfícies completamente mergulhadas no espaço tridimensional e não têm linhas delimitadoras que fazem interseção entre si.

Helicóide
Catenóide
Curva que, ao ser girada em volta do eixo, dá origem ao respectivo helicóide descoberto por Meusnier em 1776.

Curva que, ao ser girada em volta do eixo, dá origem ao respectivo catenóide descoberto em 1740 pelo matemático alemão Leonhard Euler (1707-1783).








Por Carmem Kawano
Imagens: Alexandre Camanho
 
 
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Referência:

Revista Galileu, Edição 187 - Fev/07

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