Explorando as Abordagens de Conjuntos no Enem 2014

(Enem/2014) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.

Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1.

Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

A) 135

B) 126

C) 118

D) 114

E) 110

Resolução

A questão é facilmente resolvida utilizando a teoria dos conjuntos. Assim, vamos montar o diagrama de Venn da seguinte forma:

Consideramos o seguinte diagrama:

Do texto, 4 páginas são comuns a C1, C2 e C3. Então colocamos o valor 4 no centro do diagrama.

C2 e C3 possuem 5 páginas em comum, no entanto, 4 delas também pertencem a C1. Sendo, portanto, apenas 1 página para a interseção de C2 e C3.

C1 e C2 possuem 10 páginas em comum sendo 4 delas também comuns a C3, logo restam 6 que são exclusivas a C1 e C2.

A mesma análise é feita para C1 e C3. Segundo o enunciado, 6 são comuns a essas duas, mas levando em conta as 4 comuns às três páginas restam duas.

O próximo passo é determinar as páginas que são exclusivas a cada catálogo. Fazemos isso subtraindo os valores das interseções do total de páginas de cada catálogo informado no enunciado, assim:

Em apenas C1  tem-se : 50 - 12 = 38

Em apenas C2  tem-se: 45 - 11 = 34

E em apenas C3  tem-se: 40 - 7 = 33

Dessa forma, podemos completar o diagrama.

O total de originais (U) é obtido somando todos os valores do diagrama, ou seja:

U=4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Portanto, alternativa C é a correta.

Letras Gregas no Ensino da Matemática

 

Durante as aulas de Matemática você já viu algumas das letras gregas e suas pronúncias. Por exemplo:

Os ângulos de um triângulo são geralmente nomeados de alfa, beta e gama, assim como, os planos;

O delta é usado como um operador de diferença ou como uma parte essencial da fórmula de Bhaskara;

A letra grega épsilon, no Cálculo, significa um pequeno valor positivo;

A letra pi representa a razão constante entre a circunferência e o diâmetro do círculo;

A letra fi significa a “razão de ouro”;

A letra grega épsilon, no Cálculo, significa um pequeno valor positivo.

Além disso, é possível observar que algumas letras maiúsculas são as mesmas do nosso alfabeto.

Na tabela abaixo temos a letra maiúscula, minúscula, seu nome em grego, em português (se for diferente) e sua representação fonética:

• Α – α – alpha – alfa –
• Β – β – beta – ,
• Γ – γ – gamma – gama – ,
• Δ – δ – delta –
• Ε – ε- epsilon – épsilon –
• Ζ – ζ – zeta –
• Η – η – eta –
• Θ – θ – theta – teta –
• Ι – ι – iota ,
• Κ – κ – kappa – capa – ,
• Λ – λ – lambda –
• Μ – μ – mu – mi –
• Ν – ν – nu –
• Ξ – ξ – xi –
• Ο – ο – omicron –
• Π – π – pi –
• Ρ – ρ – rho – rô –
• Σ – σ/ς – sigma – ,
• Τ – τ – tau –
• Υ – υ – upsilon – , ,
• Φ – φ – phi – fi – ,
• Χ – χ – chi – ,
• Ψ- ψ – psi –
• Ω – ω – omega –

Um número irracional no denominador?

Por Mateus Oliveira

De modo geral, o denominador (a parte de baixo) de uma fração não pode ter números irracionais. Se isso acontecer com um problema que estiver resolvendo, você vai ter que multiplicar a fração por um ou mais valores que ajudem a remover essa expressão. Mas, qual é o motivo para não deixar um número irracional no denominador?

Por exemplo, se você encontrar 3/√3 na sua solução, vai ser preciso racionalizar para eliminar a √3 do denominador.

A razão pra isso é algo bem simples, pois está relacionado a possibilidade de diminuir o erro (desvio) da conta. É fácil entender… todo número irracional, quando é escrito na forma decimal (0,abcdef…) acaba-se cometendo um erro de aproximação/arredondamento, concorda? 

Pois bem, se esse termo “impreciso” estiver no numerador essa “imprecisão” é dividida, ou seja, o erro é minimizado. Por outro lado, se deixarmos o termo “impreciso” no denominador, maximizaremos o erro/desvio do resultado.

Vou utilizar um exemplo que não tem a ver com irracionais, porém vai facilitar a compreensão desse argumento:

Observando a fração 1/1 é fácil notar que o resultado é 1, certo?

Se houver uma imprecisão no numerador, por exemplo 0,99, a fração fica 0,99/1 = 0,99, ou seja, foi desviado somente 0,01 do resultado correto.

Agora suponha que a mesma imprecisão esteja no denominador. Assim, tem-se que 1/0,99 = 1,010101…, ou seja, foi desviado do resultado correto um valor aproximado de 0,010101…

Notou como é melhor (mais exato ou preciso) deixar o termo impreciso no numerador?

Demonstração para um inteiro ímpar

Demonstre que se a é um inteiro ímpar então a²  ≡ 1 (mod. 8)

 

Demonstração

Todos os inteiros são de uma das formas, 4k, 4k + 1, 4k + 2  ou 4k + 3.  

Sendo assim, serão ímpares as formas 4k + 1 e 4k + 3.

Logo,

 a² = (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 

= 8(2k² + k) + 1 = 8n + 1  ≡ 1 (mod. 8)

e

 a² = (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 

= 16k² + 24k + 8 + 1 = 8(2k² + 3k + 1) + 1= 8n' + 1   ≡ 1 (mod. 8)

c.q.d.

Demonstração do mdc (a, m) = mdc (b, m)

Demonstre que, se a ≡ b (mod. m) então mdc (a, m) = mdc (b, m). 

Demonstração

Se a ≡ b (mod. m) então a = xm + r e b = ym + r. Assim, temos duas possibilidade:

Para r = 0, m é um divisor de a ⇒ mdc (a, m) = m. 

Da mesma forma, m é um divisor de b ⇒ mdc (b, m) = m. 

Dessa forma, concluímos que mdc(a, m) = m = mdc (b, m).

Para r ≠ 0, mdc (a, m) = mdc (m, r) e mdc (b, m) = mdc (m, r) de acordo com o algoritmo de Euclides ou processo das divisões sucessivas. 

Dessa forma, mdc (a, m) = mdc (m, r) = mdc (b, m).

c.q.d.

Primo Módulo 6

 Mostre que todo primo (exceto 2 ou 3) é congruente módulo 6 a 1 ou 5. 

Demonstração

Todo número inteiro é expresso por uma das formas 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4 e 6n + 5. 

As formas 6n, 6n + 2, 6n + 4 são características de números pares, inclusive o 2 (para 6n + 2, com n = 0). Portanto, todos esse números, exceto 2, são compostos.

A forma 6n + 3, caracteriza os múltiplos de 3.  Para n = 0, 6n + 3 = 3  que é primo.  Para os demais, 6n + 3 são compostos. 

Assim, as formas 6n + 1 e 6n + 5 podem constituir números primos, exceto o 2 e o 3 conforme relatado acima. 

Deste modo, os restos das divisões dos primos, exceto 2 ou 3, por 6, são 1 ou 5.  

Portanto, podemos conclui que os primos, exceto 2 e 3, são congruentes com 1 ou 5. 

c.q.d.

Primo Módulo 4

 Mostre que todo primo (exceto 2) é congruente módulo 4 a 1 ou 3. 

Demonstração

Todo número inteiro tem uma das formas 4n, 4n + 1, 4n + 2 ou 4n + 3.

Se k é primo, então k = 4n e K = 4n + 2 são pares. Assim, esse números, exceto k =2, são números compostos.

Dessa forma, se k é primo (exceto 2) ele terá uma das formas 4kn+1 ou 4n + 3. 

Portanto, os restos das divisões por 4 serão 1 ou 3, o que implica que são congruentes com 1 ou 3. 

c.q.d.

Divisível por 313

Qual é o maior número de sete algarismos que é exatamente divisível por 313?

Observe este problema por meio de uma perspectiva oposta, sendo assim, refaça a seguinte pergunta: qual é o maior múltiplo de 313 que contém sete dígitos?

Então pegue o maior número de 7 dígitos, divida por 313 e elimine o resto (ou números após a vírgula).

9.999.999 ÷ 313 = 31.948,8786…

Multiplique o componente de número inteiro desta resultante por 313.

31.948 × 313 = 9.999.724

Aí está sua resposta.

O próximo múltiplo de 313 conterá oito dígitos.

31.949 × 313 = 1.000.037

Divisíveis por 2, 3 ou 5

Quantos números de três dígitos inteiros positivos que são divisíveis por 2, 3 ou 5? 

Para ser divisível por 2 e 5, a casa das unidades deve ser 0. Para ser divisível por 3, a soma dos três algarismos deve ser divisível por 3. Como o último algarismo é “0”, os outros dois devem ser divisíveis por 3. Esses dois primeiros dígitos (a casa das centenas e a casa das dezenas) são todos múltiplos de 3 entre 12 e 99. Se a casa das centenas for 0, é apenas um número de dois dígitos. 

 Existem 30 múltiplos de três no intervalo de 12 a 99, pois aplicando a fórmula geral de uma P.A. tem-se que 99=12+(n-1)3 implica que 3n=(87+3), ou seja, n =30. 

 Portanto, existem 30 números de três dígitos inteiros positivos que são divisíveis por 2, 3 ou 5.

A Revolta dos Números

 

Fonte: matheusmáthica

Chovia muito e os números no caderno de Matemática de Júlia estavam cansados de ficar trancados na gaveta. Faz uma semana que ela não vai à escola porque está com gripe.

―Puxa, já não aguento mais! – reclama o 1 – Viver sempre na frente, puxando a fila como soldado, todo mundo me seguindo, um atrás do outro...

― Também não quero continuar o segundo, sempre atrás de você. Quero ao menos uma vez, ser o primeiro. – diz o 2.

― Ué, bem que vocês estão com razão! Quem sabe se é por isso que ando nervoso... Cinco, sempre cinco, com esse bumbum tão grande. Acho bonito o 4, parece uma cadeira de pernas pro ar... Até parece artista de circo.

― Sabem o que mais? Pois vamos fazer uma revolução - propõe o 3.

― Será que dá certo? - pergunta o 0, que estava ali perto, dormindo todo enroladinho.

― Se der, deu; se não der, não deu! Cada um que faça como quiser.

― Independência ou morte! – gritou o 8, tão gordinho, sempre espremido entre o 7 e a carona do 9.

― Mas... – ia falando outra vez o 0.

― Psiu... Você aí, fique quietinho, tá? Nem número é, agora querendo dar ordens.

Quero ver o 0 ficar bravo é dizer que ele não é número, e o 1 tem muita implicância com ele.

― Está bem, nada de brigas, cada um faça como achar melhor.

Não foi preciso segundo aviso: cada número saiu de seu lugar e foi conversar com os outros companheiros que viviam distantes.

Assim, fazia tempo que o 1 desejava perguntar ao 7 se eles eram parentes.

― Nós somos meio parecidos, só que você tem nariz mais comprido que o meu.

― É mesmo, eu já havia notado isso, mais a gente mal tem tempo pra conversar, é só trabalhar. O 9 brincou com o 6.

― Como vai você, meu gêmeo de perna pra cima?

― Oi! Então você não sabe que eu sou de circo?

A brincadeira estava tão animada e gostosa que não notaram as horas passarem. Como a tarde estava bonita e quente, Júlia bem melhor, levantou-se e foi fazer as lições.

(Trecho do Livro “A Revolta dos Números” de Odette de Barros Mott)

APPs e Softwares para o ensino da Matemática: POLY

Fonte: Própria

O Poly é um software de geometria, bastante interessante no estudo de poliedros convexos e que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente com possibilidade de movimentação e dimensionalmente (planificação) como também vista topológica. Assim, possui diferentes modos de visualização dos sólidos, o que contribui para a exploração de arestas, vértices e faces. 

Além disso, existe uma grande variedade de sólidos oferecido pelo Poly permitindo a criação de modelos físicos, ou seja, após a sua impressão basta cortar em torno de seu perímetro, dobrando ao longo das bordas e, finalmente, juntando as faces vizinhas com fita adesiva para ter o sólido formado.

Portanto, é um bom recurso para o estudo de Poliedros em sala de aula. 

Site oficial: http://www.peda.com/poly/

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