Nunca faz parte

O que nunca faz parte de nada?

Referência:

BUCHWEITZ, Donaldo. Matemática. São Paulo: Ciranda Cultural (Coleção Charadinhhas)

Onde está o disco?

Um disco encontra-se dentro de uma das 4 caixas abaixo. Sabendo que só uma das afirmações é FALSA. Você saber informar em qual caixa o disco está?

Boa sorte!

Referência:

Borges, Roberto C. de Mello. Lógica de Programação (Adaptada apostila em doc.)

Um barbante e os furos de uma cartolina

Passa-se um barbante através dos seis furos de uma cartolina. A frente da cartolina, com o barbante, é mostrada na figura abaixo do lado esquerdo.  Qual das figuras abaixo do lado direito não pode ser o verso da cartolina?

Boa sorte!

Referência:

Equipe da OBMEP. Banco de questões: 2ª Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Nivel 1 - lista 2. Ministério da Educação, 2006. (adaptada)

Construir um cubo

Em qual das alternativas abaixo aparecem dois pedaços de papelão com os quais pode-se construir um cubo, dobrando pelas linhas tracejadas e colando pelas linhas contínuas? 

Referência:

Equipe da OBMEP. Banco de questões: 2ª Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Nivel 1 - lista 2. Ministério da Educação, 2006. (adaptada)

Estudantes brasileiros conquistam medalhas de ouro, prata e bronze na Bulgária

Equipe brasileira

A competição reuniu estudantes das universidades mais prestigiosas do mundo 

Estudantes  brasileiros  conquistaram medalhas de ouro, prata e bronze na 18ª. International Mathematics Competition for University Students  2011 (IMC), que aconteceu entre os dias 27 de julho e 3 de agosto na cidade de Blagoevgrad, na Bulgária. 

Renan  Henrique  Finder,  aluno  da  PUC-Rio  conquistou  a  medalha  de  ouro  (First Prize) ficando na 13ª. colocação geral na competição, com 65 de um total de 100 pontos possíveis. Além da medalha de ouro, os representantes brasileiros conquistaram outras 12 medalhas, sendo cinco de prata (Second Prize) e sete de bronze (Third Prize). 

Neste  ano,  a  competição  contou  com a participação de 305 estudantes representando 77 instituições de ensino superior de todo o mundo. A delegação brasileira foi composta pelas equipes olímpicas da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio), Instituto Militar de Engenharia (IME), Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), Unicamp e Fundação Getúlio  Vargas (FGV-Rio), lideradas pelos professores Thiago Barros Rodrigues Costa e Samuel Barbosa Feitosa, ambos de Fortaleza (CE).

A competição, que reúne talentos universitários para a matemática, é extremamente desafiadora. Os participantes devem resolver duas provas aplicadas em dois dias consecutivos com um tempo de cinco horas cada dia. As provas, que devem ser resolvidas em idioma inglês, incluem questões dos campos da Álgebra, Análise Real e Complexa, além de Combinatória, cujas pontuações somadas determinam os vencedores. 
 
“Estamos orgulhosos de que estudantes brasileiros estejam competindo de igual para igual com estudantes vindos das universidades mais prestigiosas do mundo e obtendo resultados de grande destaque. Isto confirma a excelência alcançada pelo Brasil neste tipo de competições de Matemática”, declarou o professor Samuel Barbosa Feitosa.
 
Histórico da competição

O Brasil participa da competição desde 2003, conquistando desde então um total de 84 medalhas, sendo uma de ouro especial (Grand First Prize), 12 de ouro (First Prize), 29 de prata (Second Prize) e 42 de bronze (Third Prize). 

Os estudantes brasileiros foram selecionados através da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), iniciativa que tem desempenhado um importante papel em relação à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em Matemática nas modalidades de ensino fundamental, médio e universitário nas escolas e universidades públicas e privadas de todo o Brasil. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq/MCT) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCT– Mat).

Referência:

Site: OBM

Brasil conquista medalhas de ouro, prata e bronze na Olimpíada de Matemática da Lusofonia

Equipe brasileira

Além do Brasil, participaram do evento as delegações da Angola, Cabo Verde, Moçambique, Portugal e Timor Leste.

O Brasil obteve um excelente resultado na I Olimpíada de Matemática da Lusofonia, que aconteceu entre os dias 20 e 31 de julho na cidade de Coimbra, Portugal, conquistando ­­­­­­­­­­­duas medalhas de ouro, uma de prata e uma de bronze. Os estudantes Carlos Henrique de Andrade Silva de Fortaleza (CE) e Gustavo Haddad Francisco e Sampaio Braga de São José dos Campos – (SP) conquistaram as medalhas de ouro, enquanto Davi Coelho Amorim de Fortaleza (CE) obteve a medalha de prata e Daniel Nishida Kawai de Atibaia (SP) recebeu a medalha de bronze.

A competição internacional realizou-se pela primeira vez este ano envolvendo jovens de até 18 anos de seis países de expressão portuguesa: Angola, Brasil, Cabo Verde, Moçambique, Portugal e Timor Leste. O Brasil foi representado por uma equipe de quatro estudantes, todos vencedores da 32ª. Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), liderados pelos professores Eduardo Wagner e Raphael Constant, ambos do Rio de Janeiro (RJ).

Uma comissão internacional selecionou os problemas entre os propostos pelos países participantes. Durante as provas, realizadas em dois dias consecutivos, os participantes tiveram quatro horas e meia para resolver três problemas de matemática abrangendo disciplinas como Álgebra, Teoria dos Números, Geometria e Combinatória.

A competição objetiva proporcionar uma excelente oportunidade para os jovens demonstrarem suas habilidades em matemática, além de constituir um instrumento de inclusão social, de melhoria da qualidade do ensino e de descoberta de talentos em matemática, fundamental para o desenvolvimento científico e tecnológico nos países de língua portuguesa. As edições seguintes da competição deverão ser realizadas no Brasil e em Moçambique respectivamente.

A participação brasileira na competição é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), iniciativa que desempenha um importante papel em relação à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em Matemática nas modalidades de ensino fundamental e médio nas escolas públicas e privadas de todo o Brasil.  A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCT– Mat).

Referência:

Site: OBM

Arte de Calcular XIX

    77

  x  77  

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     4949

       49  

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Referência:

Kordemsky, Boris A. The Moscow Puzzles: 359 Mathematical Recreations. Scientific American,1992.

Café, o bolo e o gato

Dez minutos antes de colocar o bolo no forno, eu coloquei meu gato do lado de fora da casa. O bolo deve cozinhar por 35 minutos, então eu coloquei o despertador para tocar 35 minutos, após colocar o bolo no forno. Imediatamente fiz um café para mim, o que me tomou 6 minutos. Três  minutos antes de acabar de beber o café  o gato entrou em casa.  Isso foi 5 minutos antes do despertador tocar. O telefone tocou no meio do tempo entre eu acabar de fazer o café e o gato entrar em casa. Falei ao telefone por 5 minutos e desliguei. Eram 3h59min da tarde.
 

A que horas exatamente:

• Coloquei o gato fora de casa?
• Coloquei o Bolo no forno?
• Fui fazer o café? 
• Despertador toca?
• O gato entra em casa?
• Acabei de tomar o café?
• Telefone toca?
• Desligei o telefone?

Referência:

Equipe da OBMEP. Banco de questões: 2ª Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Ministério da Educação, Nível 2. 2006.

A Matemática do caipira

Esta história tem dois personagens: o caipira e o advogado.

Vai lá um dia em que nosso amigo advogado resolve comprar um sitio, de poucos alqueires, com a intenção de construir uma casa e nela passar seus fins de semana. Como não há nascente no sitio, resolve mandar cavar um poço, quando fica sabendo que seu  vizinho, um caipira que ali mora há muito tempo, tem em sua propriedade uma nascente  com água boa e farta. 

Procura o vizinho e faz a proposta:

A proposta é aceita na hora.

Passa-se o tempo e o advogado resolve implantar no sítio uma criação racional de porcos e, para isso, vai precisar de mais água. Volta a procurar o caipira e lhe propõe trocar o cano de uma polegada por um outro de duas polegadas de diâmetro e pagar 2x reais por mês a ele.

O caipira escuta a proposta, não dá resposta imediata, pensa, e passados alguns minutos responde que não aceita a proposta.

Antes de você seguir enfrente, pense um pouco e responda: 

Se você fosse o caipira venderia a água por 2X?

Responda:

O raciocínio do caipira esta correto? Como verificar isso matematicamente?

O advogado estava tentando ludibriar o caipira?

Caso o caipira esteja correto, quanto deveria receber do advogado? Justifique.

O que é polegada?

Calcule a área de uma circunferência que tenha diâmetro de uma polegada e de duas polegadas.

(Adaptação de Matheusmáthica e Daniela Batista)

Referência:

COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO. Vol. 2 – Matemática. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, Brasilia-DF, 2006.

Uma traça numa bbiblioteca

Numa  prateleira  numa  biblioteca  há  dois  volumes  de  A  História  da  Inteligência Brasileira,  volume  I  e  II,  juntos  e  em  ordem. Uma  traça  se  encontra  na  primeira página  (página 1) do Volume  I  e vai perfurando  em  linha  reta  até  chegar  à última página  (página  500)  do  Volume  II.  

Se  cada  volume  tem  4  cm  de  espessura (incluindo-se as capas) e cada capa tem 0,3 cm de espessura, qual foi a distância que a traça percorreu?

A figura acima ilustra o problema

Referência:

CARRAHER,  Terezinha  Nunes  (org.).  Aprender  pensando:  contribuições  da  psicologia cognitiva para a educação. 7. ed. Petrópolis: Vozes, 1992.

Sexo, amor e matemática

Psicólogos e antropólogos usam cada vez mais contas e equações para tentar desvendar os mistérios do coração. Será que dá certo?

Tentar entender as artimanhas do amor e da sedução por meio de somatórias e equações pode parecer algo de um racionalismo meio pretensioso, mas psicólogos já obtiveram inesperadas revelações usando números. Hoje a matemática está por trás de diversos trabalhos acadêmicos na área, indo desde o estudo de aspectos biológicos do sexo até (por que não?) o amor.

É claro que os assuntos do coração nunca poderão ser todos reduzidos a garranchos numa lousa. A matemática, porém, já se mostrou capaz de identificar padrões e dinâmicas no jogo da sedução. Nesta reportagem, GALILEU mostra alguns exemplos disso e conversa com a matemática Clio Cresswell, da Universidade de New South Wales (Austrália), uma especialista no assunto. Pode ser exagero dizer que os números sempre acertam, mas é inegável que estão tentando e, de vez em quando, conseguem.

Como escolher alguém para casar?

 

Um matemático que trabalhava para o sultão de um obscuro reinado tinha de escolher a melhor esposa para seu monarca numa amostra de cem pretendentes. As mulheres seriam apresentadas a ele uma a uma, e ele podia rejeitá-las. Contudo, no momento em que ele aceitasse uma, não poderia voltar atrás. 

O sábio resolveu atribuir notas às mulheres e montar um ranking de preferência para organizar tudo. Mas qual seria a estratégia a adotar para maximizar a chance de se obter a melhor esposa?

A solução é a seguinte:

1 - Dar notas às primeiras 37 mulheres, e rejeitá-las
2 - Verificar qual a melhor nota entre essas
3 - Retomar a avaliação das outras mulheres
4 - Escolher a primeira que atingir uma nota mais alta que a melhor das 37 primeiras

Usando essa estratégia, o matemático tem 37% de chances de escolher a melhor esposa para o sultão. Pode parecer pouco, mas é bem melhor do que a chance de 1% que ele teria se escolhesse uma por sorteio.

Com base no conto do sultão, o cientista Peter Todd, do Instituto Max Planck de Pesquisa Psicológica, calculou com quantas pessoas alguém precisa ir para a cama antes de escolher uma e "ser feliz para sempre":

A regra das 12 conferidas (the 12 bonk rule)

1 - Saia com pelo menos 12 pretendentes e atribua notas a eles(as)
2 - Dê um pé na bunda do(a) último(a) e continue "pesquisando"
3 - A partir daí, o(a) primeiro(a) que superar a melhor nota dos 12 da primeira etapa deve ser seu príncipe encantado (ou princesa encantada).

Recomenda-se, porém, não levar esse número muito a sério. Os cálculos de Todd assumem que, durante uma vida urbana, uma pessoa encontra em média entre cem e mil potenciais pretendentes. É claro que muitos deles são descartados antes de chegar na sua cama, e é difícil alguém adotar uma postura tão objetiva na vida afetiva. A regra das 12 conferidas, afinal, serve mais para ilustrar o espírito da coisa. Muitas pessoas podem querer continuar "pesquisando" por mais tempo ou sossegar mais cedo, é claro.

É possível todos ficarem contentes com seus pares?

 

Imagine uma situação em que quatro mulheres (Gisele, Nicole, Jennifer e Pamela) e quatro homens (Brad, Tom, Rodrigo e Woody) naufragam numa ilha deserta e são obrigados a viver lá. Logo a troca de olhares começa a sugerir quem pode se juntar com quem, mas cada um tem uma lista de preferências (veja ao lado). 

Existe alguma maneira de formar quatro casais e depois todos revelarem suas listas, sendo que ninguém queira desistir depois para tentar uma opção melhor? 

Esse é um problema do campo de estudo chamado Teoria dos Jogos, que já rendeu um Prêmio Nobel ao matemático John Nash. Uma situação onde nenhum dos náufragos mudasse sua decisão seria chamada "equilíbrio de Nash" e é isso que estamos procurando.

Mas vamos à solução. Suponhamos que as mulheres combinaram entre si que não iam tomar a iniciativa, apenas aceitar ou rejeitar os assédios. Após algumas idas e vindas, o equilíbrio de Nash seria atingido com os casais abaixo:

Nesta primeira solução, o índice geral de satisfação entre os homens seria maior, já que Tom ficou com sua primeira opção, e Brad e Rodrigo com suas segundas. Gisele, por exemplo, não quer largar Tom porque sabe que não tem chances com Rodrigo.

Se as mulheres tomarem a iniciativa, porém, a configuração dos casais em equilíbrio de Nash seria esta à esquerda:

Agora o índice geral de satisfação está maior entre as mulheres. Moral da história: num grupo onde as mulheres não tomam a iniciativa (apenas aceitam ou rejeitam investidas), os homens sempre serão mais felizes em média, numa situação de equilíbrio.

Sites de relacionamento funcionam?

Basicamente, o que fazem os sites de relacionamento é atribuir um perfil numérico para pessoas com base em questionários de múltipla escolha. São feitas desde perguntas como "que tipo de musica você gosta?" até coisas mais diretas sobre que tipo de parceiro se está procurando. Um algoritmo matemático então calcula "distâncias" entre tipos de pessoas e indica para um determinado cliente quais são os perfis mais próximos. 

Parece OK, não?

O problema é que esse método está sujeito a um efeito que os matemáticos apelidaram de "maldição da dimensionalidade". Pode parecer que quanto mais perguntas tem o questionário, mais preciso ele vai ser, mas na prática acontece outra coisa. Elevar o número de perguntas aumenta a tendência dos perfis de se posicionarem em distâncias semelhantes uns dos outros. 

Dessa forma, a pessoa mais distante e a pessoa mais próxima de um cliente acabam caindo em números irrisoriamente semelhantes. Dá quase no mesmo que simplesmente sortear um par perfeito. Mas, quem sabe, o destino não se encarrega de juntar as almas gêmeas?

Sexo no casamento tem algum padrão? 

Uma crença disseminada nos EUA é a de que o seguinte experimento é real:

A partir da lua-de-mel, jogue um grão de feijão num jarro ao lado da cama, cada vez que fizer sexo. Continue enumerando as noites de alegria com os feijões até completar um ano de casado. A partir do segundo ano, comece a tirar grãos de feijão do jarro (ao invés de pôr) cada vez que tiver sexo. A crença popular é de que, ao final do casamento, seja por morte ou divórcio, ainda haverá grãos sobrando no jarro.

Um pouco assustador, não? 

Com a intenção de testar se essa teoria de botequim poderia se encaixar na realidade, o matemático americano J. David Martin foi para a lousa. Ele tentou encontrar uma função para descrever a teoria dos feijões com números que não fossem muito absurdos - sem nenhum declínio abrupto. Não conseguiu. 

Mesmo com a hipótese de um dedicado primeiro ano com mil "eventos coitais", não havia como desenhar uma curva de declínio minimamente realista. Martin então tentou um cenário diferente: o casal só deve começar a retirar os feijões do jarro depois de dois anos de casamento. Pode parecer assustador, mas nessa hipótese algumas curvas de declínio pareciam mais realistas.

O trabalho de Martin pode parecer sem propósito, mas ganhou aplicação no estudo de doenças como câncer de colo de útero e problemas de infertilidade. Quanto à vida conjugal, recomenda-se deixar os feijões de lado se o assunto é sexo.

Mathematics and Sex

Sem medo dos números


A matemática é uma ciência exata, mas tem muito a dizer sobre o comportamento humano, acredita a britânica Clio Cresswell, autora de "Mathematics and Sex". Ela esclarece para GALILEU que não há motivo para temer os números.

GALILEU: Você se depara com ceticismo das pessoas em acreditar que a matemática pode revelar algo sobre amor ou sexo?

Clio: Sim, e isso é uma das coisas que quero mudar. Muita gente acha que matemática é só um método para quantificar coisas, mas na verdade é uma entre as várias formas humanas de expressão, como a pintura ou a dança. Se você está falando de amor, às vezes a poesia pode expressar algo que você não consegue dizer em prosa. A matemática é apenas uma outra maneira de explorar padrões complexos em nossas vidas. É uma maneira de tomar consciência desses padrões, e não significa ser escravo deles. É só uma questão de tomar consciência de nossa humanidade.

 

GALILEU: Dá para levar a sério a regra das 12 conferidas, por exemplo?

Clio: Eu faço piada com a regra dos 12, mas há algo de belo nela. Se vivêssemos numa sociedade de grupos pequenos, como vivíamos uns 200 anos atrás, você realmente não encontraria muitas pessoas fora do seu círculo local. Naquela época, se você se casasse com a primeira ou segunda pessoa que encontrasse, poderia ser muito feliz. Hoje, porém, temos oportunidade de encontrar pessoas em qualquer lugar do mundo. Mas, se há tantas pessoas com quem posso me relacionar, será que tenho de sair com mil homens antes de encontrar o meu? Não. É preciso só de uma pequena amostra. Dependendo da cultura, 12 pode ser um número alto ou baixo, mas a regra indica que talvez você não tenha de procurar muito.

 

GALILEU: A matemática pode substituir o horóscopo?

Clio: As pessoas lêem horóscopo, mas têm medo de misturar matemática e amor. Só que a matemática prevê a bolsa de valores muito melhor do que a astrologia. Acho que as pessoas têm que ter a cabeça aberta para tudo.

Por: Rafael Garcia

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Rafael Garcia. Revista Galileu. Edição 187 - Fev/07