Os modelos hiperbólicos de crochê

Crochê: modelo de plano hiperbólico

A matemática Daina Taimina, em 1997, encontrou uma forma de criar modelos físicos de espaços hiperbólicos, utilizando crochê, permitindo sentir e explorar de forma facíl, as propriedades da geometria hiperbólica.
 

O agrimensor William Thurston,  ao notar uma das qualidades do espaço hiperbólico, projetou um modelo em papel, o que veio a inspirar Taimina, porém o modelo de Trhurston é difícil de fazer, difícil de lidar, e, inerentemente frágil. Taimina intuiu que a essência dessa construção poderia ser implementada com tricô ou crochê simplesmente aumentando o número de pontos em cada linha.  

Assim, Taimina, imediatamente começou a fazer um modelo. No início, ela tentou tricô, mas o grande número de pontos nas agulhas rapidamente se torna incontrolável e Taimina percebeu que crochê oferecido a melhor abordagem.

Os modelos hiperbólicos de crochê 

Geodésicas - linhas retas

 

A beleza do método de Taimina é que muitas das propriedades intrínsecas do espaço hiperbólico agora tornar-se visível a olho nu e pode ser experimentado ao brincar com os modelos. Geodésica - ou retas - na superfície hiperbólica pode ser costurado na textura de crochê. Observe a figura ao lado, o modelo apresenta linhas amarelas, assim, ao dobrar suas curvas, estaremos produzindo uma linha reta. 

Postulado das Paralelas (uma falácia)

Da mesma forma pode-se ver imediatamente como o postulado das paralelas é violada. No modelo apresentado na figura ao lado, existem três linhas retas que passam por um ponto externo a uma determinada linha (a única na parte inferior). Todas as três linhas superiores nunca se cruzam a linha original. Com esse modelo físico em suas mãos, você pode dobrar ao longo de cada linha e verificar a falsidade do quinto axioma de Euclides. 

 
 

  

Triângulo ideal

Outro aspecto do espaço hiperbólico que pode ser experimentado com modelos Taimina é as propriedades dos triângulos. Na escola aprendemos que os ângulos de um triângulo sempre somam 180º. Isso é verdade em um plano euclidiano, mas isso não é verdade em uma esfera ou em um plano hiperbólico. Em uma esfera, os ângulos internos de um triângulo sempre somam mais de 180º (um fato, o leitor pode verificar por si mesmos através da elaboração de uma bola de praia). Em uma superfície hiperbólica os ângulos de um triângulo somam menos de 180º. Além disso, o triângulo será maior quanto menor for o ângulo. Até que, finalmente, quando os pontos do triângulo são infinitamente distantes um do outro - fazendo o maior triângulo possível - os ângulos vão somar zero graus! Este triângulo Ideal e sua excentricidade angular pode ser visto no modelo apresentado na figura acima.

Pseudoesfera - Cone hiperbólico

Utilizando um pedaço de papel envolvido em um cone possamos fazer um cone hiperbólica. A forma resultante é conhecido como um pseudoesfera. Podemos também obter tal forma usando crochê. Observe a  figura ao lado, em que:

1 - Taxa de aumento é um ponto em cada três;

2- Taxa é aumentanda um ponto em cada dois;

3- Taxa é aumentanda em cada ponto. 

Como a taxa de aumento dos aumentos de pontos, a construção torna-se cada vez mais com ameias. Com efeito, o espaço em torno de qualquer ponto se expande cada vez mais de forma exponencial. Considerando todas as esferas têm a mesma forma - variando apenas em tamanho - as superfícies hiperbólicas podem diferir dramaticamente de um ponto de vista externo. 

O poder dos modelos hiperbólicos de crochê de Taimina permitem fazer a mais exóticas construções hiperbólicas, dessa forma, reside em trazer a matemática abstrata para o reino da experiência esses modelos são destaque na coleção do Smithsonian da American Mathematical Models.

Referência:

Site: The Institute For Figuring